數列中的創新問題

摘"要：新高考數學命題中，創新無處不在.數列作為一個“主力”，更是創新與應用的一個重要知識點，有效考查考生的數列“三技”和關鍵能力，充分體現高考的選拔性與區分度.結合實例，就數列中的幾類創新問題加以剖析，就條件追溯、結論探究、結構不良以及存在探索等創新問題加以創新應用，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：數列；創新問題；數學思維

高考中數列模塊知識的考查，一直沿著創新與改革的方向前進，由原來傳統的考查數列基礎知識或數列遞推關系式等問題，變革成題型上的創新與知識的交匯，使得數列知識對“四基”的落實與“四能”的要求提高，這也成為高考創新性與應用性方面的一個亮點.

1"條件追溯問題

例1"（開放性問題）已知數列{an}的首項為a1，且滿足Sn+Sn－1=3n2+2n+4（n≥2），其中Sn為其前n項和.試寫出一個實數a1=""""，使得對任意的n∈N*，不等式anlt;an+1恒成立.

分析：根據題設條件，利用不等式anlt;an+1恒成立的結論，以a1為參數加以合理逆推分析，合理構建相應的不等式組，通過求解不等式組來確定參數a1的取值范圍，進而確定一個滿足結論的條件值，達到條件追溯的目的.

解析：依題，當n=2時，可得a1+a2+a1=3×22+2×2+4=20，則有a2=20－2a1.

當n≥3時，由Sn+Sn－1=3n2+2n+4可知，Sn－1+Sn－2=3（n－1）2+2（n－1）+4=3n2－4n+5.

以上兩式對應相減，可得an+an－1=6n－1，則有an+1+an=6（n+1）－1=6n+5.

以上兩式對應相減，可得an+1－an－1=6（n≥3）.

所以數列{an}從第二項起，相應的奇數項和偶數項分別是公差為6的等差數列.

當n=3時，由an+an－1=6n－1，可得a3=6×3－1－a2=17－（20－2a1）=2a1－3.

而對任意的n∈N*，不等式anlt;an+1恒成立，則只需滿足a1lt;a2，

a2lt;a3，

a3lt;a2+6.

則有a1lt;20-2a1，

20-2a1lt;2a1-3，

2a1-3lt;20-2a1+6.

解得234lt;a1lt;203，所以a1的取值范圍為234，203.

故填答案6答案不唯一，只要是區間234，203內的一個實數即可.

點評：解決數列中的條件追溯問題時，往往以結論為條件來參與合理的推理與運算，進而尋找結論成立的必要條件.在實際解決此類條件追溯問題時，要充分考慮條件與結論之間的邏輯推理是否可逆.

2"結論探究問題

例2"（開放性問題）（2023年江蘇省南通市高三下學期2月第一次調研測試（一模）數學試卷）寫出一個同時滿足下列兩個條件的等比數列{an}的通項公式：an="""".

①anan＋1lt;0；"②|an|lt;|an＋1|.

分析：根據題設條件，通過構造等比數列{an}并設出對應的公比q，通過兩個條件分別確定公比q的取值情況，結合數列首項的選取來確定一個滿足題設兩個條件的等比數列{an}的通項公式.

解析：可構造等比數列{an}，設公比為q.

由條件①anan＋1lt;0可知，公比q為負數.

又由條件②|an|lt;|an＋1|可知，|q|gt;1，所以q可取－2.

設a1=－2，則an=－2·（－2）n－1=（－2）n，故填答案（－2）n（答案不唯一）.

點評：解決數列中的結論探究問題時，往往要根據給出的不同條件加以分類討論，進而確定數列中對應元素的基本特征，為進一步確定數列的基本性質提供條件.在實際解決此類條件追溯問題時，要全面考慮所有條件，不能出現遺漏.

3"結構不良問題

結構不良問題，即問題的題干條件不充分或不完整，需要選擇給出的某些條件（或選一或選二等），根據呼應的一些條件來探索原問題的某些條件加以補充完整，進而在所選擇條件組成的題目背景下，進行合理邏輯推理與數學運算等加以解題.

例3"（2023年湖南省部分學校高考數學聯考試卷（5月份））在①Sn－Sn－1=Sn+Sn-1（n≥2），②（n－1）Sn=nSn-1（n≥2）這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.

問題：設數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且"""".

（1）求Sn.

（2）若bn=（－1）n·2n+1Sn+n，求數列{bn}的前2n項和T2n.

分析：（1）根據題設條件，首先對結論不良問題的條件加以補充或選擇，兩個不同條件①②的選擇都可以，分別利用平方差公式或關系式的恒等變形等，進而加以分析與求解數列的前n項和Sn.（2）由（1）的結論得到數列的前n項和Sn的表達式，綜合數列的遞推關系式，利用裂項相消法來變形與應用，得以求得數列的和.

解析：（1）若選①，因為Sn－Sn－1=Sn+Sn-1（n≥2），

所以（Sn+Sn-1）（Sn－Sn-1）

=Sn-Sn-1

=Sn+Sn-1，解得Sn－Sn-1=1（n≥2）.

則數列{Sn}是首項為S1=a1=1，公差為1的等差數列，

所以Sn=n，即Sn=n2（n≥2）.

因為S1=a1=1也滿足上式，所以Sn=n2.

若選②，方法1：累乘法.

因為（n－1）Sn=nSn-1（n≥2），變形可得Sn=nn-1Sn-1（n≥2）.

所以Sn=nn-1·n-1n-2·…·21·S1=n（n≥2），即Sn=n2（n≥2）.

因為S1=a1=1也滿足上式，所以Sn=n2.

方法2：常數列法.

因為（n－1）Sn=nSn-1（n≥2），變形可得Snn=（Sn-1）n-1（n≥2）.

所以數列Snn是一個常數列，可得Snn=S11=1，則有Sn=n，即Sn=n2（n≥2）.

因為S1=a1=1也滿足上式，所以Sn=n2.

（2）由（1）可得Sn=n2.

則有bn=（－1）n·2n+1Sn+n=（－1）n·2n+1n2+n=（－1）n·1n+1n+1.

所以T2n=－1+12+12+13－13+14+14+15－…－12n-1+12n+12n+12n+1=－1+12n+1=－2n2n+1.

點評：解決數列中的結構不良問題時，注意補充條件或選擇條件只是解決此類問題的第一步，基于條件的補充或選擇，從而構建一個完整的問題，與正常試題的解答基本相當.在實際解決此類結構不良問題時，不同的條件的補充或選擇，將對應不同的解題過程與結論.

4"存在探索問題

例4"已知數列{an}中，a2=1，設Sn為數列{an}的前n項和，2Sn=nan.

（1）求{an}的通項公式.

（2）令cn=an+3an+1an+2×2an+1，是否存在正整數n，使得不等式c1+c2+…+cn－1+cngt;20222023恒成立？若存在，求出最小正整數n的值；若不存在，請說明理由.

分析：（1）根據題設條件，通過數列的通項公式與前n項和公式之間的關系，確定數列中連續兩項的比值，利用累乘法來確定數列的通項公式；（2）由（1）的結論確定cn的表達式，利用裂項處理，通過數列求和轉化，結合不等式恒成立的存在性探索來分析，進而確定使得不等式恒成立時的條件，確定滿足條件的最小正整數n的值.

解析：（1）依題意，2Sn=nan，a2=1.

當n=1時，2a1=a1，即a1=0；當n=3時，2（1+a3）=3a3，即a3=2.

當n≥2時，有2Sn－1=（n－1）an－1，所以2（Sn－Sn－1）=nan－（n－1）an－1=2an.

化簡可得（n－2）an=（n－1）an－1，則當n≥3時，可得anan-1=n-1n-2.

所以an=anan-1·an-1an-2·…·a3a2·a2=n-1n-2·n-2n-3·…·21·1=n－1.

上式中，當n=2或n=1時，a2=1，a1=0也滿足上式，所以{an}的通項公式為an=n－1，n∈N*.

（2）存在正整數n，使得不等式恒成立，最小正整數為8.由（1）知，an=n－1，n∈N*，

所以cn=an+3an+1an+2×2an+1=n+2n（n+1）×2n=（2n+2）-nn（n+1）×2n=1n×2n-1－1（n+1）×2n，

所以c1+c2+…+cn－1+cn=11×20－12×21+12×21－13×22+13×22－14×23+…+1（n-1）×2n-2－1n×2n-1+1n×2n-1－1（n+1）×2n=1－1（n+1）×2ngt;20222023.

要使得不等式c1+c2+…+cn－1+cngt;20222023恒成立，則有（n+1）·2ngt;2023.

又n∈N*，當n=7時，8×27=1024lt;2023；當n=8時，9×28=2304gt;2023，

所以存在正整數n，使得不等式c1+c2+…+cn－1+cngt;20222023恒成立，此時最小正整數n的值為8.

點評：解決數列中的存在探索性問題時，往往直接根據探索問題的存在性，利用數列中的基礎知識與基本公式加以綜合與應用，合理邏輯推理與數學運算，進而得以判斷存在探索問題.在實際解決此類存在探索性問題時，往往借助邏輯推理與數學運算等，在假設存在條件下，得到的結論吻合題設條件則存在；否則就說明不存在.

數列中的創新問題，場景復雜多變，自身既有生活現實意義又有科學嚴謹態度，是把數學基礎知識與現實生活實際巧妙聯系起來的一些有效嘗試，是探究與創新的一個基本思維，更是考查學生的創新意識與創新應用的重要場景.此類創新問題，以數列基礎知識為背景，融入創新元素與創新意識，使得數學應用、創新應用在數學思維、技巧方法等層面得以真正的發酵，引導學生關注現實生活中無處不在的數學應用場景.