小學生有序思考與全面思考能力的培養策略探究

【摘要】數學教育的重要任務之一是培養學生的數學思維，而采用科學的方法培養學生的數學思維能力，正是深化教育教學改革、發展核心素養的必然要求.搭配問題作為排列組合中較為簡單的問題類型，是培育小學生數學思維和發展其核心素養的優質教學素材.文章以服裝搭配、數字組合、車票設置、砝碼稱重四個問題為例，探討了如何通過搭配問題來培養學生有序思考與全面思考的策略.

【關鍵詞】數學核心素養；搭配問題；數學思維

引 言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）強調“強化課程綜合性和實踐性，推動育人方式的變革”，鼓勵學生通過社會生活中熟悉的情境問題，感悟數學的思想方法和應用價值，進而培養他們運用所學思想方法解決問題的能力，并體驗解決問題的樂趣，從而提升學生的數學核心素養.生活中搭配問題普遍存在，如服裝搭配、比賽場次的設定、電話號碼、車票設置、分食物、選圖書、旅游路線選擇、自助餐食物選擇、座位分配等，這些問題具有涉及面廣、綜合性強等特點.在搭配問題的教學實踐與案例研究中，我們發現了許多深層次、有趣且值得思考的數學問題.通過學習搭配問題的相關知識，學生可以為后續學習概率與統計打下基礎，同時培養他們的全面意識、抽象能力、敏銳觀察、有序思考和準確表達等能力，使數學核心素養在數學學習過程中得到顯著提升.以人教版小學數學三年級下冊“數學廣角———搭配（二）”教學為例，教材首先系統且有步驟地將一些重要的數學思想方法融入實踐活動中，隨后通過學生日常生活中常見的事例來呈現這些思想方法.通過簡單的操作和直觀手段，向學生滲透數學知識的本質及思想方法，逐步培養小學生有序思考和全面思考數學問題的意識.這樣，學生不僅能夠積累基本的數學活動經驗，還能學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學思維思考現實世界，用數學語言表達現實世界.

一、服裝搭配問題看分類

《課程標準》中指出：“能夠運用符號運算、形式推理等數學方法，分析并解決數學問題和實際問題.”服裝搭配問題正是一個典型的例子，它集中體現了數學思考和有效分類的邏輯推理過程，能夠有效培養學生有順序、有層次、有邏輯地進行全面思考的能力.

以人教版小學數學三年級下冊“數學廣角———搭配（二）”教學為例，教材中呈現了2件上裝和3件下裝的實物情境，要求學生選取上裝與下裝進行搭配.問題是：“一共有多少種不同的穿衣方法？”這一情境貼近學生的日常生活，教學時，教師可以積極引導學生用多種方式對數學問題進行思考與表達，并在學生展示和交流的過程中，特別強調并突出有效的分類思考方法.

教學實例中發現，學生有多種分類表示方法，主要呈現的方式有符號表示法：例如用□1和□2表示上裝，用○1、○2和○3表示下裝.先用□1和○1、○2、○3分別搭配，得出三種搭配（即□1和○1、□1和○2、□1和○3）；再用□2和○1、○2、○3分別搭配，同理得出另三種搭配，共有6種不同的搭配方法.字母表示法：例如用A1和A2表示上裝，用B1、B2和B3表示下裝，字母表示法和用符號表示法一樣，同樣得出6種不同的搭配方法.連線法：上裝A1和下裝分別連成3條線，上裝A2和下裝又分別連成3條線，共有6條線，也能得到6種不同的搭配方法.計算法：2×3=6（種）或3×2=6（種）.

在學習過程中，學生利用符號、連線、運算等多種方法展現了自己對數學問題的理解和表達，這些方法均體現了學生在分類中的有序思考過程.教師在學生分組匯報交流結束后的點評環節，為了挖掘更深層次的數學內涵和教材前后知識點的邏輯聯系，可以重點關注計算法，讓學生在應用乘法的同時體會數學是一門研究數量關系的學科.首先教師應鼓勵學生用完整的數學語言來表達他們的思考過程，其次教師帶領學生進一步分析用符號、字母和連線等抽象表示方法的數學算理，最后闡述“2×3”和“3×2”的數學意義.這一過程不僅體現了數感、量感、符號意識的培養，還培養了學生的數學思維，使他們能夠用數學的方式思考現實世界，并用數學語言來表達對現實世界的理解.

二、數字組合問題辨重復

人教版小學數學三年級下冊“數學廣角———搭配（二）”中呈現的例題是“用0，1，3，5能組成多少個沒有重復的兩位數？”在解決這個問題時，關鍵是要讓學生理解數字組合的具體要求，即必須使用0，1，3，5這四個數字來組成不重復的兩位數.重要的是，這些組合不能包含如11，22，55這樣的重復數字，并且兩位數的十位上不能是0.在教學中，教師通常會按照一定的規律來引導學生，將復雜的問題簡化，從而滲透化繁為簡的數學思想.

《課程標準》中強調：“重視學生直接經驗的形成，處理好直接經驗與間接經驗的關系.”在三年級學習“數學廣角———搭配（二）”時，學生已經基于二年級對簡單排列與組合的學習，具備了一定的知識基礎和實際經驗，例如他們知道如何用沒有0的三個數組成不重復的兩位數.當面對含有0的四個數字組合時，教師可以引導學生借助已有的知識和經驗，進一步學習如何進行數字組合，確保在組合過程中不重復也不遺漏.為了達成這一目標，教學中教師常采用的方法是“固定數位法”，既可以先固定十位，也可以先固定個位，具體選擇固定十位還是個位，應讓學生根據自己的習慣和喜好來決定.在授課時，教師不必刻意要求學生采用某種特定的方法.例如，在設計導學卡時，可以提供兩列沒有任何標注的空白格子，鼓勵學生用自己的方法盡快找出所有不同的兩位數.這樣的設計能夠讓學生通過自己動手操作，在實踐中分辨并避免組合中的重復現象，進而加深對數字組合問題的理解.

在課堂教學中，教師利用導學卡進行授課，通過接近學生最近發展區的教學實踐促進學生積極樂觀的表現和深層次、有序的思考.學生在實踐操作過程中，教師從旁巡視指導，觀察學生解決問題的情況.在課堂匯報環節，多數學生選用了固定十位法，他們首先確定1在十位上，得到10，13，15；接著確定3在十位上，得到30，31，35；以此類推，最終得出9個不重復的兩位數.在總結評價時，教師引導學生從數學計算的角度思考：如果先固定十位，那么對于每一個固定的十位數字，都有3種不同的個位數字與之組合，因此有3組3種不同的組合（即10，13，15；30，31，35；50，51，53），這可以用算式“3×3=9種”來表示得到的結果.如果先固定個位，則有1組不同的三個數的組合（即10，30，50）和3組不同的兩個數的組合（即31，51；13，53；15，35），此時計算方式是“1+3×2=7種”.這種將導學卡中直觀的列表形式抽象成數學算式的表達方法，羅列有序，層次清晰，有效地避免了在寫數過程中出現重復的現象，同時也更深入地挖掘了搭配問題中的數學原理.通過這種教學方法，不僅培養了學生認真觀察、仔細分析、樂于思考的學習習慣，還使學生體驗了有序思考、全面思考的數學方法.

三、車票設置問題找遺漏

設置情境：某縣正在規劃建設的城市快道（牛心山至詩鄉門），計劃在這條快道上設置12個公共汽車站.問題是需要設計多少種不同的車票，以滿足這些站點之間的乘客需求.這個數學問題緊密貼合學生的生活實際，是搭配問題的一種實際應用，也是對該知識點深化和延伸的體現，具有一定的挑戰性.在教學時，教師可以引導學生從簡單的情況入手，先思考如果只有3個站點，那么可以設置多少種不同的車票.接著，可以讓學生逐步思考4個站點、5個站點……的情況，以幫助他們找到其中的規律.在匯報環節，多數學生都能很快計算出站點較少時車票的種類數，但當站點數不斷增加時，很多學生可能會出現錯誤.這主要是因為對規律的理解不夠深刻，導致出現遺漏現象.

《課程標準》指出要讓學生“探究自然現象或現實情境所蘊含的數學規律，經歷數學‘再發現’的過程.”為了讓學生準確把握車票設置問題中的規律，并且不出現遺漏現象，教師可以利用線段圖引導學生進行分析（如圖1）：

假如A是公共汽車的始發站，從A到B站之間只能設置一種車票，記為AB.從A站到C站之間可以設置三種車票，記為AB，AC，BC.同樣地，從A站到D站之間可以設置六種車票，記為AB，AC，AD，BC，BD，CD.也就是說，兩個站之間可以設置1種車票，三個站之間可以設置3種車票，四個站之間可以設置6種車票.

站牌A到E之間又可以設置多少種車票呢？通過進一步探究，學生很快發現站數與所設置的車票數的規律，即：設置車票數=站數×（站數-1）÷2.學生經歷了數學問題的“再發現”過程，匯報自己的發現時，思路就更加清晰了，遺漏現象也少了.這時，教師及時板書記錄學生的發現：

兩個站應設計的車票數：2×（2-1）÷2=1（種），三個站應設計的車票數：3×（3-1）÷2=3（種），四個站應設計的車票數：4×（4-1）÷2=6（種），…，十二個站應設計的車票數：12×（12-1）÷2=66（種）.匯總得到，從牛心山至詩鄉門之間的單項車票共有66種，那么對于這段城市快道上雙向行駛的公共汽車一共可以設置多少種車票的數學問題，學生也能迎刃而解了.

可見，車票設置問題轉化為線段計數問題，不僅使學生能夠深刻體會數形結合的思想，還能有效培養學生的轉化思維.在學生主動計算的過程中，他們的有序思考和全面思考的能力也得到了提高.通過經歷數學問題的探究和再發現過程，學生培養了敏銳觀察、有效思考、準確表達的學習習慣，這些習慣使數學核心素養在數學學習過程中得以真實發生，充分展現了深度數學課堂的有效性.

四、砝碼稱重問題思列舉

《課程標準》強調學生“理解數據的意義與價值，會用數據的分析結果解釋和預測不確定現象，形成合理的判斷或決策.”在砝碼的稱重問題中，也蘊含著許多與數據相關的數學問題.假設有1g，2g，3g，5g，10g的砝碼各一枚，那么在天平上能稱出多少種不同質量的物體？要求學生列舉出這些砝碼中有多少種不同的搭配方式.

在教學過程中，學生學習興趣濃厚，但容易出現錯誤.這些錯誤往往源于沒有認真分析問題中隱含的不確定現象，沒有進行一一列舉，以及沒有找到砝碼之間的搭配規律.為了幫助學生克服這些困難，教師在分析學生的學情后，可以從兩個砝碼的組合入手，設計如下導學單（如下表）：

完成要求：（1）給定的砝碼1g，2g，3g，5g，10g各一枚；（2）請在能稱出物體重量的對應位置畫“√”，不能稱出的對應位置畫“×”；（3）如果所稱出的物體重量有重復，請用“○”標注；（4）請寫出你所稱出的物體的重量，并完整說明理由.

利用導學單進行教學，學生思路清晰，能迅速識別兩個砝碼組合時可能出現的重復和不能稱出的重量.在導學單的引導下，學生準確、有序、無遺漏地列舉出所有能稱出的物體重量.學生依據導學單安排進行討論交流，合作完成導學單上的任務后，教師再讓學生根據導學單進行表述.

利用兩個砝碼能夠稱出的不同物體的質量的種類有：1g+2g=3g；1g+3g=4g；1g+5g=6g；1g+10g=11g；2g+3g=5g；2g+5g=7g；2g+10g=12g；3g+5g=8g；3g+10g=13g；5g+10g=15g，一共可以稱出10種不同質量的物體.

同理，我們再來分析3個砝碼、4個砝碼、5個砝碼的稱重規律.在教學中，讓學生充分展開討論，并利用2個砝碼的稱重經驗作為啟示.他們得出了以下結果：3個砝碼可以稱出10種不同質量的物體；4個砝碼可以稱出5種不同質量的物體；5個砝碼可以稱出1種特定的總重量；1個砝碼能稱出5種不同質量的物體.綜上所述，用1g，2g，3g，5g，10g的砝碼各一枚，能稱出的不同稱重方法總數為：10+10+5+1+5=31（種），減去相同質量物體的重復情況（如8g=3g+5g或8g=1g+2g+5g）.經過這樣的計算，用1g，2g，3g，5g，10g的砝碼各一枚能稱出的物體重量有1g，2g，3g，…，21g，共21種.

砝碼的稱重問題深層次地闡述了搭配中的學問，對學生來說確實存在一定的難度.因此，可以在課外興趣小組或課后服務興趣班中，針對學習有余力的學生進行專項訓練，旨在培養他們的邏輯思維能力和數學思辨能力.

結 語

綜上所述，在搭配問題的教學中，教師應注重利用生活中的實踐問題作為教學情境，使學生深刻感受到數學在現實生活中的應用和價值.同時，教師應充分發揮學生的主觀能動性，尊重學生的主體地位，鼓勵學生自主探索、整理知識并表達思考過程.此外，教師還可以引導學生參與操作、觀察、猜測等活動，使小學生理解事物排列數的基本思路和方法，初步培養學生有序、全面地思考問題的意識，體會排列的思想方法，并感受搭配在解決數學和生活問題中的重要作用.

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