逆向思維在初中數學解題中的應用探究

【摘要】解題教學是初中數學重要組成部分，教師在此過程中關注對學生逆向思維的培養，能幫助他們實現舉一反三、觸類旁通，順利實現高階思維的發展，現已成為教育改革背景下培養重點.文章在分析逆向思維特點以及培養重要性的基礎上，從初中階段數學解題常見題型出發，探討逆向思維在幾何題目、一元一次不等式題目、方程題目、三角形題目中的具體應用方法，旨在為教師教學設計提供幫助.

【關鍵詞】逆向思維；初中數學；解題應用

《義務教育數學課程標準（2022版）》（以下簡稱《新課標》）要求學生具備“會用數學的思維思考現實世界”的品質.在這樣的背景下，教師需要關注對學生思維的培養.目前，在解題教學中仍存在學生參與意識不足、缺乏正確解題習慣等問題，不利于學生發展.為此，教師要在深入分析《新課標》的基礎上，依據學科特征，帶領學生運用逆向思維解決問題，從根本上落實核心素養，提高學生問題解決能力.

一、逆向思維概述

逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式.《道德經》中提及“反者道之動”，表示萬事萬物都有正反兩面，并各向相反方向循環轉化.逆向思維是一種超越傳統思維界限的思維方式，強調質疑現有假設，從反方向思考問題，并勇于挑戰常規.

二、培養學生逆向思維的重要性

在初中數學教學期間，通過解題教學培養學生逆向思維，對其能力發展、素養提升具有積極作用：

第一，培養學生逆向思維有助于其思維品質的優化.在思維的領域中，正向思維和逆向思維是對立統一關系，兩者可以相互驗證，共同進步，這一關系能夠應用于初中數學教學中.學生在教師的引導下運用逆向思維解決問題，能夠實現思維的靈活發展，在遷移的過程中提升思維的靈動性，展現逆向思維的普遍性、批判性、新穎性、探索性以及創造性等特點，幫助學生順利過渡至高階思維.

第二，有助于提高問題解決效率.解題教學是初中數學教學中重要組成部分.在教育改革背景下，教師不僅要引導學生掌握學科知識，同時要啟發學生在理解的基礎上實現活學活用、靈活運用，能結合所學知識處理生活中的實際問題.通過逆向思維的引導與培養，學生可以在積累中獲得豐富經驗，牢筑數學思想，感受數學知識之間的內在規律與轉化特點，巧妙利用逆向思維處理問題，繼而實現解題能力的順利提升.

第三，有利于創造性人才的培養.《新課標》要求學生在學習中要創造性地解決問題.在解題教學中，教師通過逆向思維的培養，可以幫助學生突破思維定式，學會從不同角度分析并思考問題，期間學生創新能力與創造能力將得到有效發展，這與教育改革背景下人才培養目標一致.同時，學生順利通過解決問題能夠進一步強化自身情感體驗，逐步生成主動參與數學學習的內驅力.

三、逆向思維在初中數學解題中的應用

逆向思維的培養并非一蹴而就，巧妙應用初中數學解題教學滲透逆向思維，是促進學生思維形成、發展的重要途徑.教師在教學期間要從不同形式的練習出發，分析逆向思維解決問題的具體方法，筆者選擇幾何題目、一元一次不等式題目、方程題目、三角形題目、函數問題等經典內容，對逆向思維解題的具體方法進行深入總結：

（一）逆向思維在解幾何題目中的應用

幾何是初中數學常見考核題型，要求學生能夠掌握基本公理和圖形基本性質.當前，大部分學生在解決此類問題期間，習慣從已知條件中尋找線索，再利用這些線索結合所學知識進行求解.但隨著教育改革的不斷推進，大部分題目逐漸強調對學生核心素養的考查，在原題中并不會直接給出已知條件，從而導致大部分學生無法順利解決問題.對此情況，教師則可以利用逆向思維，引導學生從結論出發，由反方向進行推理，追尋問題的答案.

比如，在講解蘇科版九年級上冊“直線與圓的位置關系”一課期間，教師根據本課重點知識為學生設計了這樣一道練習題：

如圖1所示，已知AB是圓O的直徑，BC切圓O于B點，AC交圓O于P點，E點在BC上，CE=EB，求證：PE是圓O的切線.

在解決本題前，教師可以首先帶領學生對題目進行審讀，并表示：從結論分析，如果想要證明PE是圓O的切線，需要將其轉化為證明垂直關系的問題，因此可以先連接線段OP，OE，接下來繼續證明∠OPE=90°即可.根據教師的指引，學生可以根據等量代換的方式，在圖中尋找與∠OPE相等的角，通過三角形全等或三角形相似的方式進行證明.期間，教師可以設計問題，啟發學生思考∠OPE和∠OBE存在于哪兩個三角形當中？怎樣做輔助線？這樣，基于教師的啟發，學生通過逆向思維可以獲得：依據題干信息可以發現E是BC的中點，可運用平行線性質定理得到∠APO=∠POE，∠APO=∠A，∠A=∠EOB，即可得出∠POE=∠EOB.最后，教師可以指導學生對解題步驟進行整理，再提出新的問題，引導學生討論：除運用邊角邊定理進行證明，如果想用邊邊邊定理應如何表示？這樣，在解決問題的過程中，學生能夠進一步掌握增添輔助線的方法，運用逆向思維順利解決有關幾何的相關問題.

（二）逆向思維在解一元一次不等式題目中的應用

不等式、不等式組的參數問題主要涉及不等式（組）有解問題、無解問題、解的范圍問題，解決此類問題，要掌握不等式組的解法口訣以及在數軸上熟練表示出解集的范圍.有部分類型題目，如按照常規的計算步驟進行計算，會導致學生陷入困境當中.因此，教師需要嘗試改變解題思路，指導學生在逆向思維訓練中建立轉化思想，能夠從反方向思考問題，對一元一次不等式進行簡化，由此降低問題的難度，順利解決問題.

比如，在講解蘇科版七年級下冊“一元一次不等式組”一課期間，教師設計了這樣一道問題，如下：

若關于x的不等式（m-1）x>m-1可以化成“xa”的形式，在x<1的情況下求m的取值范圍.

從本題中可以發現，要想解決問題需要應用不等式的逆應用原則，即“不等式的兩邊都乘（或除以）同一個不為0的數，根據不等號方向的改變（或不變）情況，可判斷某個數的符號.”但本題中符號的方向卻發生了“突變”，按照常規思路無法順利解決問題.因此，教師要指導學生基于逆向思維，由“不等式兩邊同時乘或除以一個小于0的數，符號改變（變向）”這一角度進行逆向推理，繼而對系數進行判斷.類似地，還有“已知關于x的不等式3x-m+1>0的最小整數解為2，則實數m的取值范圍是多少？”基于逆向思維，學生需要理解：一元一次不等式（組）的特殊解問題，主要考查是否會利用逆向思維法解決含有待定字母m的一元一次不等式組的特解問題.其基本思路為先解關于x的一元一次不等式組的解集，然后根據題目中的含著幾個整數解條件，由這些整數解可推斷待定字母m的取值范圍.

（三）逆向思維在解方程題目中的應用

方程是初中階段數學學習的重要內容，目前大部分學生在解答方程類題目的過程中，由于自身思維的差異性，常常無法順利建立數學模型，且容易出現計算失誤的問題.對此現象，教師在培養學生運算能力的同時，要適當融入逆向思維訓練，啟發學生基于學科特征，從相反的方向思考問題，在深度探究中把握數學知識的本質特征.

（四）逆向思維在解三角形題目中的應用

在初中數學的實踐教學中，學生很容易受到題干及外在條件的限制，無法基于問題的反方向來展開思考.而通過逆向思維法的合理運用，學生能夠突破常規，進一步提高解決問題的成功率與準確率.三角形是初中階段數學學習的主要平面圖形之一，其包含了三角形函數、三角形全等等相關內容，對于思維尚處于發展時期的中學生而言，利用逆向思維解決問題能夠幫助他們更好地構建數學模型，掌握解決三角形問題的基本方法.

比如，在講解蘇科版八年級上冊“全等三角形”一課期間，教師為學生設計了這樣一道題目：

如圖2，E和F是等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的兩動點，已知∠EAF=45°，且CD垂直于BC，CD=BE.

基于逆向思維解決問題，首先，要從第一小問出發.在本題中如果想要證明兩個三角形全等，需要先思考有哪些滿足三角形全等的條件.通過對題目的審讀，學生可以發現基于等腰直角三角形性質，有AB=AC，且已知條件給出CD=BE.故只要兩組對應邊之間的夾角相等，便可證明兩個三角形全等.因此，在教師的引導下，學生能夠了解到“解決此問題的關鍵是要證明∠B和∠ACD相等”.故而，在逆向思維的引領下，學生根據分析題干，得到∠B=45°的已知條件，再由“CD垂直于BC”推導出∠DCF為直角，且∠ACB是等腰直角三角形的底角，因此∠ACB=45°.完整的解題步驟如下，

證明：在等腰直角三角形ABC中，

∠B=∠ACB=45°，AB=AC.

∵CD⊥BC，

∴∠ACD=∠DCF-∠ACB=45°，

∴∠B=∠ACD.

又∵BE=CD，

∴△ABE≌△ACD（SAS）.

這樣，基于逆向思維通過需要尋找與之相關的條件，證明兩個三角形全等，能幫助學生快速地尋找到解決問題的方法.類似地，對于第二小問，學生也可以從EF和DF的位置關系出發，證明AE=AD，∠EAF=∠DAF，由此得到問題的答案.

結 語

綜上所述，在教育改革背景下培養學生的逆向思維尤為關鍵.教師需要在解題教學中，帶領學生參與系列解題活動，掌握運用逆向思維解決問題的一般方法，從問題的相反處出發，進行逆向推理，繼而獲得問題的答案，提高解決問題的效率.文章中利用四組經典題型，對逆向思維在初中數學解題中的應用策略進行探討，具有一定參考價值.在后續實踐中，教師需要靈活調整，根據學生的認知能力與學習能力選擇合適教學方法，確保解題教學質量能得到穩步發展，學生逆向思維水平也能在過程中實現提升，落實核心素養，為后續參與高中階段數學學習奠定基礎.

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