本原性問題驅(qū)動下初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)策略

【摘要】專題復(fù)習(xí)是一種重要的復(fù)習(xí)形式，如何設(shè)計好一節(jié)專題復(fù)習(xí)課是教育界同行一直關(guān)注的問題.文章概述了本原性問題驅(qū)動下初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)工作的開展，對平面幾何中的定值問題這一專題的復(fù)習(xí)做了一些嘗試和思考，提出基于本原性問題驅(qū)動的專題復(fù)習(xí)的實施策略，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】本原性問題驅(qū)動；初中數(shù)學(xué)；專題復(fù)習(xí)；平面幾何中的定值問題

引 言

專題復(fù)習(xí)是一種重要的復(fù)習(xí)形式，一線教師經(jīng)常將專題復(fù)習(xí)課當(dāng)成習(xí)題課，將同一類型的題目再整理、再練習(xí)，學(xué)生面對專題復(fù)習(xí)也很迷茫.如何設(shè)計好一節(jié)專題課，如何讓專題課深入淺出，更容易被學(xué)生接受是這些年來教育界同行一直關(guān)注的問題.現(xiàn)代教育學(xué)借鑒哲學(xué)中對于“本原”的理解和思考方式提出了本原性問題驅(qū)動的理念.這是從教學(xué)方法的設(shè)計角度出發(fā)的，對學(xué)習(xí)活動中最為原始、樸素、本質(zhì)的觀點、思想和方法進行引導(dǎo)，從而激發(fā)學(xué)生對最本質(zhì)的問題的主動性探索和認知，激發(fā)學(xué)生展開學(xué)習(xí)的原動力.本原性問題驅(qū)動下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，指的是教師在課堂教學(xué)中設(shè)計系列問題，環(huán)環(huán)相扣，把學(xué)生的學(xué)習(xí)分層引向深入，進而有效地激發(fā)學(xué)生理解和體驗數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

下面結(jié)合平面幾何中的定值問題這一專題的設(shè)計談?wù)剬虒W(xué)的實踐和思考.

一、教學(xué)之困

（一）專題涉及內(nèi)容之寬泛

一節(jié)專題課的內(nèi)容涉及方方面面，一個專題涉及不同的題型、不同的知識點，甚至多種思想方法.在教學(xué)中如何把握、如何理清思路、如何引導(dǎo)學(xué)生深入思考都是每一節(jié)專題課前教師必須思考的問題，對教師來說是不小的挑戰(zhàn).

（二）教學(xué)形式之僵化

在日常教學(xué)中，專題課的形式較為單一，一些教師追求對數(shù)學(xué)知識與方法的全面講解，表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)知識與方法的簡單堆積與重復(fù).將專題課簡單上成了習(xí)題課，缺乏條理和連貫性，教學(xué)收效甚微，無法形成解決一類問題的策略，更無法直指要害給學(xué)生留下深刻印象.

二、教學(xué)之行

（一）課堂實施

在平面幾何中，定值問題就是研究圖形運動過程中不變量的問題，常常與動態(tài)問題相結(jié)合，通常會去探求不變的角度、線段的和差倍分、圖形面積等.

1.基于簡單情境的初步感知：合作與激發(fā)

已知條件 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為線段AB的中點.

問題（1） 如圖1，AC=BC，一直角的頂點與點D重合，繞著點D轉(zhuǎn)動，點E，F(xiàn)分別在線段AC，BC上，且ED⊥DF.運動過程中有哪些不變的量或不變的關(guān)系？

師：大家一起來說說看.

生：有很多不變的量，∠A，∠B，∠C，∠EDF的度數(shù)均不變；還有很多線段的長度也不變，如AD，BD，AC，BC，如果把CD連起來，CD的長度也不變.

師：有同學(xué)補充嗎？

生：四邊形CEDF的面積應(yīng)該也保持不變.

師：你是如何猜到的？

生：在∠EDF繞著點D轉(zhuǎn)動的過程中，可以取臨界狀態(tài)，如當(dāng)點F與B重合時，則點E就與點C重合，這時四邊形CEDF就變成了△BDC，面積恰好是Rt△ABC面積的一半.或者觀察運動過程中的特殊位置，當(dāng)∠EDF繞著點D轉(zhuǎn)動到角兩邊分別與直角三角形兩直角邊垂直時，這時四邊形CEDF就變成了一個正方形，面積恰好也是Rt△ABC面積的一半.

師：通過觀察計算一些臨界狀態(tài)或者特殊位置，我們猜想得出四邊形的面積是定值，所以在碰到問題不知如何處理時，我們可以先通過一些特殊的位置或者狀態(tài)進行大膽猜想.但是光有猜想還不行，能否把特殊情況推廣到一般情形呢？也就是說我們該如何嚴格證明四邊形的面積是一個定值？

生：連接CD后，運動過程中△EDC和△FDB好像總是全等的.

師：你是如何發(fā)現(xiàn)圖2中三角形全等的？圖形運動過程中除了有不變的量還有哪些不變的關(guān)系嗎？

生：連接CD之后，易得∠ECD=∠B=45°，∠CDB=∠EDF=90°，由此可知∠EDC=∠FDB.同時CD=AD=BD，故△EDC和△FDB是全等的，所以在轉(zhuǎn)動過程中四邊形CEDF的面積與△BDC的面積是相等的，是一個定值.

設(shè)計意圖 平面幾何中的定值問題的實質(zhì)是探索動態(tài)過程中的不變量，教師首先選取教材中的問題作為引入，讓學(xué)生有似曾相識的感覺，拉近與學(xué)生的距離，其次提出了一個本原性問題：運動過程中有哪些不變的量或不變的關(guān)系？這一問題揭示了定值問題的本質(zhì)，即：探索動態(tài)過程中的不變量.當(dāng)然這一問題的解決并不輕松，引導(dǎo)學(xué)生可從多個方面去考慮，不變的角、線段、面積，也就說明了平面幾何中定值問題經(jīng)常涉及的題型有角度為定值、線段的和差倍分是定值、面積是定值等.探究哪些量是定值的過程可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光.當(dāng)考慮到面積時，學(xué)生憑借幾何直觀作出了大膽的猜想，猜想四邊形CEDF的面積可能是一個定值，稍后教師以“你能否大膽猜想一下四邊形CEDF的面積是Rt△ABC面積的幾分之幾？”這樣的小問題驅(qū)動學(xué)生進一步思考，激發(fā)學(xué)生強烈的好奇心和求知欲，選取特殊的位置或臨界狀態(tài)推測這一定值，動中取靜、以靜制動.最后，教師要求學(xué)生用嚴格的邏輯證明將結(jié)論推廣到一般情形.面對這一要求，部分學(xué)生不能立刻找到思路，這時教師試圖引導(dǎo)學(xué)生回到最先提出的問題，即“圖形運動過程中除了有不變的量還有哪些不變的關(guān)系嗎？”通過分析運動過程中不變的關(guān)系，這里不變的關(guān)系包含角之間的關(guān)系、線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系，還有面積之間的關(guān)系等，構(gòu)造全等三角形，理清證明的思路，從而將特殊推廣到一般，使學(xué)生初步感知解決定值問題的一般策略和路徑.

2.基于變式的認知深入：建構(gòu)與優(yōu)化

問題（2） 已知條件不變，如圖3，若∠B=60°，直角∠EDF繞點D轉(zhuǎn)動過程中有哪些不變的量或不變的關(guān)系？

追問1：與（1）中一樣的結(jié)論我們不再重復(fù)，試圖尋找不同的結(jié)論，問題（1）中DE=DF的結(jié)論在這張圖中還成立嗎？

追問2：DE和DF沒有相等關(guān)系，可不可能存在其他關(guān)系呢？

追問3：我們?nèi)绾尾孪脒@兩條線段之間的關(guān)系？大家打算選取什么樣的特殊位置呢？

追問4：有了初步的猜想后，我們?nèi)耘f要進行嚴格證明，對于兩條線段的長度之比，你打算如何證明呢？

追問5：通過以上兩個問題的探討，對于解決這一類問題，同學(xué)們有沒有什么想法？說說看.

設(shè)計意圖 多方面滲透從特殊到一般的思想方法，讓學(xué)生學(xué)會把結(jié)論推廣到更一般的情況，認識問題的本質(zhì)，加深對學(xué)科知識的理解和思考.

4.基于遷移的方法應(yīng)用：延伸與拓展

新問題 如圖7，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點，OA=8cm.動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運動，與此同時，動點Q從點O出發(fā)，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運動.連接PQ，交OT于點B.經(jīng)過O，P，Q三點作圓，交OT于點C，連接PC，QC.設(shè)運動時間為ts，其中0

（2）四邊形OPCQ的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

（二）課后延伸

教師繼續(xù)以問題驅(qū)動學(xué)生拓展學(xué)習(xí)：針對以上問題，你還有其他方法嗎？能否也用幾何方法來解決呢？請大家課后思考.

設(shè)計意圖 解決問題的方法往往不是唯一的，思考問題的角度也不一定是唯一的，引導(dǎo)學(xué)生從多維度去思考問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面幾何中的定值問題有時可以用代數(shù)方法去計算求解，有時也可用幾何方法去證明.教師在專題復(fù)習(xí)中要幫助學(xué)生歸納總結(jié)解決一類問題的策略與方法，但不要帶給學(xué)生思維上的枷鎖，要遵循本原性問題的開放性和發(fā)展性原則，讓學(xué)生得到多重的數(shù)學(xué)體驗.

三、教學(xué)之思

數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)是初三后期復(fù)習(xí)中的“重頭戲”，本原性問題驅(qū)動下的教學(xué)為師生打開了專題復(fù)習(xí)的新思路，讓專題復(fù)習(xí)之路走得更加平穩(wěn)扎實.

（一）明確問題本質(zhì)，尋求解決策略

在本原性問題的引導(dǎo)過程中，層層深入，加深對問題數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.本節(jié)課在探究平面幾何中的定值問題時，教師始終引導(dǎo)學(xué)生分析圖形運動過程中的不變量和不變關(guān)系，幫助學(xué)生明確問題本質(zhì)，通過自主探索、合作交流找到解決這類問題的基本策略和方法，先特殊探求，再理性證明，讓專題復(fù)習(xí)不再漫無目的.

（二）完善課堂結(jié)構(gòu)，滲透數(shù)學(xué)思想

在教學(xué)中教師要善于運用本原性問題引導(dǎo)學(xué)生揭示知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，用“聯(lián)系”的觀點提升學(xué)生思維的深刻性.本原性問題的設(shè)計需要經(jīng)過反復(fù)推敲，好的問題設(shè)計有利于完善課堂結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生參與到課堂中來，充分發(fā)揮學(xué)生的聰明才智，集思廣益讓課堂立體而飽滿，在探索思考解決問題串的過程中滲透數(shù)學(xué)常用的思想方法.如本節(jié)課中學(xué)生能夠明晰定值問題中常見的題型，經(jīng)常涉及從特殊到一般、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

（三）注重循序漸進，發(fā)展核心素養(yǎng)

本原性問題的設(shè)計應(yīng)該更加注重問題的層次性和關(guān)聯(lián)性，可以從簡單的問題出發(fā)，層層深入，循序漸進，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考、用數(shù)學(xué)的語言去表達，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，注重提升學(xué)生的課堂感受，發(fā)展核心素養(yǎng).

結(jié) 語

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，好的數(shù)學(xué)問題可以直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生深入思考，甚至觸類旁通.“本原性問題驅(qū)動課堂教學(xué)的理念”為專題復(fù)習(xí)提供了新的思路，同時對廣大教學(xué)工作者提出了不小的挑戰(zhàn).能否通過提出本原性問題引發(fā)學(xué)生思考，這要求教師全面了解學(xué)生學(xué)情、深刻理解課標(biāo)、深度剖析問題本質(zhì)、明確專題素養(yǎng)導(dǎo)向，在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的專題復(fù)習(xí)課中做學(xué)生探究活動中的組織者、引導(dǎo)者、合作者，讓課堂自然生成，讓核心素養(yǎng)的提升有章可循.

【參考文獻】

[1]楊玉東.“本原性數(shù)學(xué)問題驅(qū)動課堂教學(xué)”的比較研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2004.

[2]徐文彬.本原性學(xué)科問題驅(qū)動課堂教學(xué)的理論與實踐[J].教育理論與實踐，2007（12）：38-40.

[3]楊玉東，黃偉勝.初中數(shù)學(xué)教師專業(yè)能力必修[M].重慶：西南師范大學(xué)出版社，2012.

[4]鄭毓信.“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”十講之五：思維的深刻性與“聯(lián)系的觀點”[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（12）：30-32.

[5]張乃建.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“問題鏈”的有效設(shè)計策略探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（27）：41-43.