初中數學對稱美的認知及應用探究

摘要：本文中選取數學中的對稱美，探討初中數學對稱美的內涵與體現，著力分析圖形、公式與解題方法中的對稱美，并以典型例證呈現進一步做分析，體現了數學美在培養學生數學審美素養、鍛煉創造性思維、促進學生全面發展等方面的教育價值.

關鍵詞：初中數學；對稱美；審美

1 問題的提出

為了落實“立德樹人”的教育宗旨，2020年國務院在《深化新時代教育評價改革總體方案》中提出要“培養德智體美勞全面發展的社會主義接班人，有機整合相關學科的美育內容，進一步強化學校美育育人功能，構建德智體美勞全面培養的教育體系”.《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求“學生在數學美方面有一定的了解和認識，在數學學習中發現數學美、認識數學美、體會以及欣賞數學美，使學生受到美的感染與啟迪，促進學生德智體美的全面發展，進而推進素質教育”[1].數學學科天然地具有文化屬性，具有獨特的美及美學價值，對完善和充實德育工作非常必要.

因此，本文基于提升學生核心素養的現實要求，借鑒學術界對數學美相關理論的研究成果，以初中數學對稱美為切入點，分析其表現形式與應用探究，以期為在數學教學實踐中落實數學美提供參考.

2 數學對稱美的內涵與體現

數學美分為形態美和神秘美，在有關數學理論、圖形的研究中，只要我們有意識地關注研究數學的理論和圖形，那么無論在公式、定理，或者是法則中，都可以接觸到數學的美［2］.對稱美是數學美的重要特征，對稱思想更是數學中的重要思想和方法，體現了數學美的內涵，展示了數學的規律性，對數學學科的發展有著積極的促進作用.數學在某些圖形、公式等方面表現出來的形式，也具有對稱美.

2.1 圖形的對稱美

圖形的對稱具備直觀的特點.初中數學知識中的一些幾何圖形具備著對稱性質就能夠展示出明顯的對稱美.空間圖形所展示出來的中心對稱、平面圖形所展示的軸對稱等都展示出了顯而易見的對稱性質.在幾何圖形的對稱性質方面，圓雖然只是一個概念性的圖形，但它卻擁有著豐富的性質，圓既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.

2.2 公式的對稱美

公式的對稱性指的是一些公式中的運算符號的可交換性，將公式中的一些符號相互交換，公式依然還是成立的.這些可以互相交換的符號之間就具有對稱美.這種對稱性雖沒有幾何圖形的直觀性，但表現形式卻是靈活生動的，也展示出公式所表達的相關內涵.如完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，把式子中的a，b互相交換，等式仍然成立.公式中的這種對稱性，不僅顯示出公式的靈活和美觀，還深刻描述了公式代表的事物的本質屬性.

2.3 解題思想方法的對稱美

對稱美是人類審美的體現，對稱的解題思想不僅已經成為一種深刻的領悟，而且還是一種探索性的發現解決問題方法的利器[3].在初中數學解題中考慮對稱思想方法的作用，巧妙運用思想方法中的對稱美，不僅能夠啟發學生學會合適的解題方法，而且還能培養學生的創新思維能力，起到事半功倍的作用.

3 初中數學對稱美的典型例證

對稱美是初中數學美的重要組成內容，而圓的相關知識點是初中數學圖形知識的一個重要組成部分，在中考中也占據了很大的比重，因此借助圓的典型例題來分析數學中的對稱美.

3.1 圓的對稱性

《九章算術》中記載了“圓材埋壁”一題：“今有圓材，埋在壁中，不知其大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”將其翻譯成現代白話文：“如果線段AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，BE=1寸，CD=10寸，那么直徑AB的長為多少寸？”請補全示意圖，并求出AB的長.

該題目所求的是圓的直徑.早在古希臘畢達哥拉斯學派就發現了和諧之美，稱一切立體圖形最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形[4].圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線，而且所有過對稱中心的直線都是對稱軸，因而它有無數條對稱軸.因此，先作出相關圖形，再從圓的對稱性質尋求答題的突破口.

如圖1，依據題意，分別連接OC，OD.

在⊙O中，CD⊥AB，且AB為⊙O的直徑.

在⊙O中，OC和OD均為半徑，設半徑為r.

在Rt△CEO中，根據EO2+CE2=OC2，即（r-1）2+52=r2，得r=13，所以直徑AB=2r=26.

根據圓的垂徑定理求出CE的長，AB既是⊙O的直徑，同時也是對稱軸，垂直平分了弦CD.因此，在Rt△CEO中，EO2+EC2=OC2，由對稱性同理可得EO2+ED2=OD2，運用勾股定理將圓的半徑求出，可得直徑AB的長.此題是一道古代數學問題，考查了垂徑定理和勾股定理的應用，其中展示了圖形的對稱美.

3.2 掌握對稱解題思想方法

《九章算術》中“圓材埋壁”的問題直接觸及了學生新知識的生長點，考慮到垂徑定理的證明需要借助圓是軸對稱圖形，在接下來的環節可以讓學生動手去體驗圓的對稱性.利用垂徑定理和勾股定理求解，能夠找到題目的潛在規律，從而抓住問題的本質內容，化難為易，就可以得到比較巧妙的解題思想方法.

由此可見，如果能夠合理運用對稱的思想，那么就能巧妙地解決數學中比較難的問題.對稱思想可以幫助學生在解題時發散多種思維來思考問題的可能性，利用問題中圖形的對稱性質，多方面尋求解決數學問題的辦法.而采用對稱性的數學思想方法發散思維，能夠拓展學生思維的高度，培養學生優異的數學思維品質.

4 結論與啟示

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的實施，在數學學科教學方面越來越重視數學文化的呈現，數學文化必然伴隨著數學美的教學要求.學生分析和運用數學圖形、公式的對稱性，增強對這些問題中數學對稱思想的靈活運用，有利于形成數學審美素養，建立正確的解題思路，培養思維的創造性與靈活性.

4.1 培養學生數學審美素養

數學的對稱美體現了數學的形式美，數學對稱美能夠讓學生直觀地體會到數學的美，發散和開闊學生對美的想象.教師在教學中展現相關的數學對稱美，能夠讓學生在學習的過程中享受到美感，激發學生對學習產生新的興趣，改善學生的數學思維品質，提升學生的審美素養.

4.2 加強幾何圖形對稱性質的掌握

初中數學幾何中的對稱圖形是典型的視覺對稱美圖形，圖形的對稱美是比較直觀的，可以給人一種美的感覺.圖形的對稱美能夠培養學生幾何圖形審美能力，學生由具體的對稱圖形向抽象邏輯思維過渡，熟練掌握對稱圖形的性質.教師引導學生在平時解題的過程中，學會合理運用幾何圖形的對稱性質，把握相應的數學知識，體會到數學對稱美.這樣既增強了學生美的意識，又能夠讓學生在審美的過程掌握幾何圖形的對稱性知識.

4.3 引導學生靈活運用數學公式

公式是數學知識體系中的重要組成內容，其中蘊含著豐富多彩的對稱美，同時它還是數學問題推理論證的重要依據.只有理解了數學公式，才能夠合理運用它們去解決數學問題.合理分析數學公式中的對稱美，有助于學生在理解公式的基礎上，尋求靈活的記憶方式.隨著對公式的理解，學生能夠發現數學知識之間存在著千絲萬縷的聯系.這種關系能夠讓學生牢固地記憶相關數學知識.而這關聯的知識內容需要學生自身的潛心探求，仔細挖掘，建立聯系，促使學生對數學產生學習的興趣.

4.4 借助對稱美培育學生創造性思維

對稱美能幫助學生沖破思維定勢，利用對稱美解決數學問題，能夠培養學生創造性思維.在解題時巧妙地利用內在問題的對稱性，合理運用對稱思想感悟數學知識潛在的聯系，從新的角度思考數學問題，融會貫通地運用數學知識，從而培養學生創造性思維.美的形象也能夠培養學生審美感知能力，對數學知識形成一定的記憶點，利用數學對稱美的學習，有利于學生加深對數學基礎知識的理解，從而發展學生的數學創造思維，實現學生各個方面的均衡發展.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]米山國藏.數學的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986：94-95.

[3]徐本順，殷啟正.數學中的美學方法[M].南京：江蘇教育出版社，1990：70.

[4]吳茂煥.初中數學滲透數學美的路徑和方法[J].初中數學教與學，2021（16）：3-6.