數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘要：文章將新版課程標(biāo)準(zhǔn)的貫徹實(shí)施作為研究背景，以初中階段函數(shù)問題為例，從指導(dǎo)學(xué)生獲取圖象有效信息、指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象兩個(gè)層面分析數(shù)形結(jié)合思想在解題教學(xué)中的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；函數(shù)

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，“數(shù)”與“形”均屬于數(shù)學(xué)信息，“數(shù)形結(jié)合”思想的具體應(yīng)用是數(shù)學(xué)信息間的等價(jià)轉(zhuǎn)換，在解題實(shí)踐中學(xué)生可以借助較為直觀的“形”去理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，也可以借助抽象且精確的“數(shù)”繪制出數(shù)學(xué)圖形，由此可見“數(shù)”與“形”二者間優(yōu)勢互補(bǔ)、相輔相成[1].于初中生而言，其空間觀念素養(yǎng)尚未完全形成，薄弱的空間想象力并不利于學(xué)生快速解決函數(shù)類問題，所以筆者嘗試將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于函數(shù)問題解題教學(xué)之中，通過滲透數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生獲得數(shù)量關(guān)系與直觀圖形相結(jié)合的解題經(jīng)驗(yàn).

1 指導(dǎo)學(xué)生獲取函數(shù)圖象有效信息

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，無論題干中的還是圖象中的有效信息，均是學(xué)生解題的關(guān)鍵信息[2].因此，筆者在函數(shù)問題解題教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，重視指導(dǎo)學(xué)生獲取函數(shù)圖象中的有效信息，同時(shí)提高學(xué)生對圖象的應(yīng)用意識.

1.1 例題呈現(xiàn)

例1 S果園計(jì)劃新購進(jìn)A，B兩種果樹苗共計(jì)45棵，其中A品種果樹苗的單價(jià)為7元/棵，購買B品種果樹苗所需費(fèi)用y（單位：元）與購買數(shù)量x（單元：棵）之間存在如圖1所示的函數(shù)關(guān)系.

①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②假定S果園計(jì)劃購買B品種果樹苗不少于22棵、不多于35棵，那么總費(fèi)用最低為多少？如何分配兩種果樹苗的購買數(shù)量？

1.2 教學(xué)指導(dǎo)過程

在例1的解題教學(xué)中，筆者結(jié)合題目所給出的函數(shù)圖象向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想，并利用該數(shù)學(xué)思想方法幫助學(xué)生捋順解題思路.

在第①小問的解題教學(xué)中，首先，筆者給予學(xué)生一定的讀題時(shí)間，并提出啟發(fā)性教學(xué)問題.以此實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的滲透.

師：“第①問中要求我們求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，那么在實(shí)際解題中則需將什么作為參照？”

教學(xué)說明：在第①問中，我們可以根據(jù)例題所給出的函數(shù)關(guān)系圖，并結(jié)合圖中數(shù)據(jù)列出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

其次，筆者引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)關(guān)系圖中獲取有效信息.有效信息包括0≤x≤45；當(dāng)x為20時(shí)，y為160，當(dāng)x為40時(shí)，y為288；等等.為強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知，幫助學(xué)生理清思路，在本環(huán)節(jié)中筆者還板書了有效信息，以此為學(xué)生解題提供思路指引.

最后，筆者鼓勵學(xué)生結(jié)合函數(shù)關(guān)系圖與有效信息，分別設(shè)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并大膽求解.解題過程如下：

已知函數(shù)圖象中有兩條直線段，分情況討論.

（1）當(dāng)0≤x≤20時(shí)，直線過原點(diǎn)，因此設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x，將圖中的x=20與對應(yīng)的y=160代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=k1x，可得k1=8.

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=8x（0≤x≤20）.

所以，y與x的函數(shù)關(guān)系式為

y=6.4x+32（20＜x≤45）.

教學(xué)說明：在上述解題教學(xué)中筆者關(guān)注了數(shù)形結(jié)合思想方法在函數(shù)解題教學(xué)中的滲透，設(shè)計(jì)了三次滲透活動，依次為“教學(xué)啟發(fā)滲透→教學(xué)引導(dǎo)滲透→教學(xué)鼓勵滲透”.與此同時(shí)，在每一個(gè)階段的教學(xué)滲透中筆者均強(qiáng)調(diào)了結(jié)合題目所給出的函數(shù)圖象，使學(xué)生在解題過程中能夠?qū)㈥P(guān)注點(diǎn)放在函數(shù)圖象上，并基于函數(shù)圖象中的相關(guān)數(shù)據(jù)設(shè)函數(shù)關(guān)系式.

在第②問的解題教學(xué)中，筆者仍就沿用了啟發(fā)滲透→引導(dǎo)滲透→鼓勵滲透的教學(xué)滲透方式：

首先，筆者提出啟發(fā)性教學(xué)問題.

師：結(jié)合題意我們應(yīng)該設(shè)什么為未知數(shù)？

教學(xué)說明：以此促使學(xué)生的思路進(jìn)入正確軌道，即設(shè)S果園購買B品種果樹苗x棵.

其次，筆者引導(dǎo)班級學(xué)生結(jié)合題意歸納有效信息.如S果園購買A品種果樹苗為（45-x）棵，購買A品種果樹苗的費(fèi)用為7（45-x）元；如依據(jù)第②問中所給出的數(shù)據(jù)，可知x的取值范圍為22≤x≤35；再如第②問中要求我們求出購買果樹苗的費(fèi)用，那么則需設(shè)S果園新購買的果樹苗總費(fèi)用為W元.

最后，筆者鼓勵學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象與函數(shù)關(guān)系式列出等式，即總費(fèi)用W=A品種果樹苗購買費(fèi)用+B品種果樹苗購買費(fèi)用.

解題過程如下：

設(shè)購買B品種果樹苗x棵，則x的取值范圍為22≤x≤35.設(shè)S果園新購買的果樹苗總費(fèi)用為W元，則

W=7（45-x）+（6.4x+32）=-0.6x+347.

因?yàn)?0.6＜0，所以W隨x的增大而減小.

若x=35，則S果園新購買的果樹苗總費(fèi)用W取值最小，此時(shí)費(fèi)用W=326（元），45-x=10（棵）.

所以購買10棵A品種、35棵B品種果樹苗時(shí)總費(fèi)用最低，為326元.

此外，在解題過程中當(dāng)學(xué)生化簡等式后，需要基于-0.6＜0探究總費(fèi)用W與A品種果樹苗數(shù)量x之間的關(guān)系，此環(huán)節(jié)筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)圖象的性質(zhì)“k的正負(fù)決定增減性”想象函數(shù)圖象去判定W取值最小的情況，從而提升空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念素養(yǎng).

2 指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象

初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的考查要求學(xué)生畫出函數(shù)圖象，并基于所繪制的函數(shù)圖象進(jìn)行解題.在此類函數(shù)問題中，學(xué)生是否能夠正確畫出函數(shù)圖象影響著后續(xù)的解題正確率，所以函數(shù)圖象的繪制是順利解決函數(shù)問題的基礎(chǔ)[3].如果從數(shù)形結(jié)合思想滲透的層面上看，題干為學(xué)生呈現(xiàn)的大多是抽象的“數(shù)”，學(xué)生需要利用現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)將抽象的“數(shù)”等價(jià)轉(zhuǎn)換為直觀的“圖”，由此可見，學(xué)生繪制函數(shù)圖象的過程等同于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的過程.

2.1 例題呈現(xiàn)

例2 2022年4月23日是世界第27個(gè)讀書日，D學(xué)校為了培養(yǎng)初中生的閱讀興趣計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種圖書，經(jīng)調(diào)查甲種類圖書的購書費(fèi)用y元與購書本數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系滿足“購書100本，費(fèi)用為2 400元；購書150本，費(fèi)用為3 300元”的條件，已知乙種類圖書每本25元.

①結(jié)合題意畫出函數(shù)圖象；

②結(jié)合函數(shù)圖象求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

③已知D學(xué)校本次計(jì)劃購進(jìn)400本圖書，同時(shí)保證甲、乙兩種類圖書的本數(shù)分別不少于100本，問D學(xué)校如何購買圖書才能將購買圖書的費(fèi)用控制在最少，最少需要花費(fèi)多少元？

2.2 教學(xué)指導(dǎo)過程

為強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，對于第①問，筆者給予學(xué)生一定的讀題時(shí)間，并提示學(xué)生應(yīng)用描點(diǎn)法結(jié)合題中所給出的已知條件，畫出如圖2所示的函數(shù)圖象.在教學(xué)時(shí)間允許的情況下，筆者還鼓勵學(xué)生回顧一次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，如一條直線、所在的象限等，意在調(diào)動學(xué)生的想象，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念素養(yǎng).

教學(xué)說明：本小問考查學(xué)生是否能夠基于抽象的“數(shù)”繪制出直觀的“圖”，符合數(shù)形結(jié)合思想的核心內(nèi)涵，所以在解題教學(xué)實(shí)踐中筆者僅需提示學(xué)生繪圖的技巧（描點(diǎn)法）即可.

對于第②問，筆者首先指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象與題目中所給出的已知信息列出函數(shù)解析式，并強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象在解題過程中的重要性.

教學(xué)說明：使學(xué)生明確函數(shù)圖象可以作為快速解題的一個(gè)工具，由此向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想.

其次，筆者指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合甲種類圖書的購書本數(shù)x的取值范圍分別設(shè)函數(shù)解析式，即y=k1x與y=k2x+b.

最后，筆者提示學(xué)生應(yīng)用待定系數(shù)法自主將函數(shù)圖象中的兩點(diǎn)分別帶入函數(shù)解析式中，繼而獲得y與x的函數(shù)關(guān)系式.解題過程如下：

當(dāng)0≤x≤100時(shí)，設(shè)y=k1x，將點(diǎn)（100，2 400）代入y=k1x中，求得k1=24，則函數(shù)關(guān)系式為y=24x（0≤x≤100）.

所以函數(shù)關(guān)系式為y=18x+600（x＞100）.

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為

教學(xué)說明：在上述解題教學(xué)中，筆者強(qiáng)調(diào)了

函數(shù)圖象的應(yīng)用對解決函數(shù)類問題的重要性.學(xué)生需要結(jié)合函數(shù)圖象明確甲種類圖書的購書本數(shù)x的取值范圍，才能夠順利地求出兩個(gè)函數(shù)解析式，繼而獲得y與x的函數(shù)關(guān)系式.而學(xué)生繪制函數(shù)圖象、結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式的過程即是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法實(shí)現(xiàn)解題的過程.

對于第③問，筆者則將反思解題過程作為數(shù)形結(jié)合思想滲透的切入點(diǎn).解題過程如下：

設(shè)購進(jìn)甲種類圖書m本，總費(fèi)用為W元.

因?yàn)橘忂M(jìn)甲乙兩種類圖書的數(shù)量均不低于100本，

所以甲種類圖書的數(shù)量取值范圍為100≤m≤300.

所以總費(fèi)用為W=18m+600+25（400－m）=－7m+10 600（100≤m≤300）.

因?yàn)?7＜0，所以W隨m的增大而減小，當(dāng)m=300時(shí)，W最小，此時(shí)W=－7×300+10 600=8 500，即當(dāng)D學(xué)校購進(jìn)甲種類圖書300本、乙種類圖書100本時(shí)，所花費(fèi)的購書總費(fèi)用最少，為8 500元.

在學(xué)生完成解題后筆者設(shè)計(jì)了兩次反思活動，引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程：

師：思考在解答第③小問的過程中我們應(yīng)用到了哪些基礎(chǔ)知識？

教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生提煉第③問的解題過程，在本問中除題干的已知條件，學(xué)生還需透過“k”值的正負(fù)情況結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)判定所花費(fèi)的購書費(fèi)用W的增減性.

師：結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)我們可以找出函數(shù)的什么性質(zhì)？

教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生反思尋找“W隨m的增大而減小”的過程，從而使學(xué)生從解題過程中提煉出運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的解題經(jīng)驗(yàn)[4].

綜上所述，本文圍繞初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題解題教學(xué)，從獲取圖象有效信息、繪制函數(shù)圖象兩個(gè)維度論述了數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用.通過本文上述的案例分析得以明確，數(shù)形結(jié)合思想能夠被作為函數(shù)類問題的一種解題工具.與此同時(shí)，教師在解題教學(xué)實(shí)踐中，若想使班級學(xué)生均能夠重視函數(shù)圖象的作用，提升學(xué)生的空間觀念素養(yǎng)，還需重視教學(xué)啟發(fā)與教學(xué)引導(dǎo)，將學(xué)生置身于獲得數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)的解題情境之中，開展有所啟發(fā)且留有余地的解題教學(xué)，從而使學(xué)生在少量的習(xí)題練習(xí)中快速地內(nèi)化數(shù)形結(jié)合思想.

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