小學(xué)高年級利用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題

【摘要】利用數(shù)量關(guān)系解決實際問題，是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，也是中小學(xué)生感到困難和害怕的題型之一，尤其到了高年級，在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)融會貫通的情況下培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，讓學(xué)生能夠優(yōu)化方法、根據(jù)題目靈活解決數(shù)學(xué)問題的研究具有十分重要的意義。本文探索數(shù)量關(guān)系解決實際問題的教學(xué)策略是認(rèn)真審題準(zhǔn)確捕捉數(shù)量關(guān)系；利用線段圖形的輔助，將抽象的數(shù)學(xué)問題形象化；加強(qiáng)分析與綜合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)量關(guān)系；線段圖形；綜合能力；思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心在于探索數(shù)量關(guān)系和空間形式。基于此，數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中顯得至關(guān)重要，它不僅是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、技能、思想和活動經(jīng)驗，并以此為基礎(chǔ)發(fā)展數(shù)學(xué)思維，其中數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和問題解決能力至關(guān)重要。新課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)量關(guān)系與問題解決等概念整合，構(gòu)建了以數(shù)量關(guān)系為核心的教學(xué)主題，這有助于學(xué)生全面理解和掌握重點(diǎn)內(nèi)容，進(jìn)而提升問題解決能力。教師采用多樣化的教學(xué)方法，如啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索數(shù)量間的關(guān)系，并通過具體案例激發(fā)學(xué)生的興趣和思考，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，特別是在邏輯思維、問題解決和創(chuàng)新意識方面，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動探索精神。數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用對小學(xué)數(shù)學(xué)解決實際問題的教學(xué)具有重要意義，為學(xué)生提供了更有效的學(xué)習(xí)途徑，這不僅符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，也有利于課程標(biāo)準(zhǔn)的實施。

一、將小學(xué)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于教學(xué)的重要性

心理學(xué)研究指出，學(xué)生更容易從具體圖表中獲取信息，相較于抽象文字材料。考慮到兒童思維發(fā)展的特點(diǎn)，小學(xué)高年級學(xué)生正處于形象思維向抽象思維過渡的關(guān)鍵階段，他們更偏好通過直觀的實物或圖像來理解知識，這與數(shù)形結(jié)合的教學(xué)理念相契合。數(shù)形結(jié)合思想強(qiáng)調(diào)“數(shù)”的精確性與“形”的直觀性相結(jié)合，讓學(xué)生通過幾何圖形來掌握數(shù)學(xué)規(guī)律和定理，以形象的方式輔助理解抽象數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)抽象思維。此外，數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生將抽象數(shù)學(xué)問題具體化，簡化問題解決過程，提升解題效率，并激發(fā)創(chuàng)造性思維。因此，數(shù)形結(jié)合思想不僅符合小學(xué)高年級學(xué)生的思維發(fā)展需求，而且有助于提升他們的形象思維、抽象思維和邏輯思維能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的整體提高。

二、探索有效的數(shù)形結(jié)合教學(xué)策略

探索有效的數(shù)量關(guān)系解決實際問題的教學(xué)策略，關(guān)鍵在于將抽象的數(shù)學(xué)概念與學(xué)生的生活經(jīng)驗相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的思考，提高他們解決問題的能力。以下是一些有效的教學(xué)策略：

1.從讀題分析與理解過程中找出對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系

在解析題目并深入理解的過程中，識別并建立相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系至關(guān)重要。培養(yǎng)小學(xué)生細(xì)致審題的習(xí)慣和分析能力是一項長期的任務(wù)，它需要通過持續(xù)的練習(xí)和指導(dǎo)來逐步發(fā)展。在解決實際問題時，認(rèn)真審題顯得尤為重要。許多小學(xué)生在初次閱讀題目時可能會感到困惑，但隨著他們反復(fù)閱讀并深入思考，問題往往會變得容易解決。對于高年級學(xué)生面臨的復(fù)雜問題，除了需要認(rèn)真審題和分析之外，能夠準(zhǔn)確捕捉和應(yīng)用數(shù)量關(guān)系更是能夠極大地提高解題效率，就如同為解題過程增添了強(qiáng)大的助力。例如“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”這類問題中，可以分為幾小類：

（1）蘋果樹的棵數(shù)是桃樹的5/7。

（2）美術(shù)組人數(shù)的4/5相當(dāng)于書法組的人數(shù)。

（3）工人要挖一條水渠，一星期挖了24米，占全長的2/5。

關(guān)于這一類問題，我們首先要學(xué)會找單位“1”和關(guān)鍵字。關(guān)鍵字我們歸結(jié)為兩個—“是”和“的”。很明顯，在第2、3題中，“相當(dāng)于”和“占”其實也充當(dāng)著“是”的意思，所以題目中遇到它們，就馬上清楚這是關(guān)鍵字，“的”字就非常容易找到了，是幾分之幾（或百分之幾）前面那個“的”。單位“1”一般是后面那個量，我們記作“是”的后面“的”的前面。如上面3道小題，單位“1”分別是桃樹、美術(shù)組、全長。其中第2小題要做些小改動：“書法組的人數(shù)相當(dāng)于美術(shù)組人數(shù)的4/5”就能和第1小題的模式一樣了。找到關(guān)鍵字，接下來我們就來將一段文字轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語句。我們知道求一個數(shù)的幾分之幾，百分之幾是用乘法的，“是”字表示“=”，所以“蘋果樹的棵樹是桃樹的5/7”→蘋果樹的棵樹=桃樹×5/7。“美術(shù)組人數(shù)的4/5相當(dāng)于書法組的人數(shù)。”先轉(zhuǎn)化成“書法組的人數(shù)相當(dāng)于美術(shù)組人數(shù)的4/5”再轉(zhuǎn)化成→書法組的人數(shù)=美術(shù)組人數(shù)×4/5。“工人要挖一條水渠，一星期挖了24米，占全長的2/5”轉(zhuǎn)化成簡單的模式：“一星期挖了24米占全長的2/5。”→ 24=全長×2/5。

通過找關(guān)鍵字，再將題目的關(guān)鍵句轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語句，那整個題目的數(shù)量關(guān)系就一目了然了。有了數(shù)量關(guān)系，問題就能輕松解答了。同樣，遇到求一個數(shù)的幾倍、百分之幾（或幾折、幾成）都是同類型題目，解題策略也是一致的。

2.重視線段圖畫圖的過程體驗，從中理解問題解決的數(shù)理

在攻克實際問題的過程中，對于那些蘊(yùn)含復(fù)雜文本和抽象數(shù)量關(guān)系的問題，我們可以巧妙地運(yùn)用線段圖來輔助解答。線段圖的優(yōu)勢在于它能將題目中的數(shù)量關(guān)系從繁復(fù)的語言描述中提煉出來，以一種直觀而生動的方式呈現(xiàn)，使得理解和分析變得更加清晰和形象。在解決“已知比一個數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個數(shù)”和“已知兩個量的和（差），其中一個量是另一個量的幾分之幾，求這兩個數(shù)”這兩類問題時，可以借助線段圖來分析解決。對應(yīng)題目如下：

（1）如圖1，五年級開展植樹活動，五（4）班植樹的棵數(shù)比五（3）班多1/4。已知五（4）班植樹15棵，五（3）班植樹多少棵？

（2）小紅和小華一共畫了21幅畫，小紅畫的幅數(shù)是小華的3/4。兩人各畫了多少幅畫？

遇到這類數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的題型，我們選擇畫線段圖分析會更有助于理解數(shù)理和題意。首先找到單位“1”，根據(jù)上面的方法，我們知道第1小題單位“1”是五（3）班植樹的棵數(shù)，第2小題單位“1”是小華畫的幅數(shù)。畫圖分析而且為了便于比較，一般把單位“1”那個量畫在上面比較好。那五（3）班平均有幾份呢？題目中的關(guān)鍵句就很重要了，“五（4）班植樹的棵數(shù)比五（3）班多1/4”，說明3班有4小份，4班比它多了1小份，4班有5小份。

我們從圖1可以分析到：4班種植的棵樹應(yīng)該是3班的棵樹加上多出來的部分（多出來的部分是3班的1/4）。轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語句是：4班的棵樹=3班的棵樹+3班棵樹的1/4，數(shù)量關(guān)系是：4班的棵樹 = 3班棵樹的5/4（3班的棵樹是單位“1”，把單位“1”平均分成4份，4班有這樣的5份，所以是3班的5/4） 。根據(jù)數(shù)量關(guān)系，我們可以利用方程來解答。

解：設(shè)五（3）班植樹的棵樹是x棵。

有了上面方法，做第2小題就容易多了。小紅和小華一共畫了21幅畫，小紅畫的幅數(shù)是小華的3/4。兩人各畫了多少幅畫？首先先確定單位“1”是小華畫的幅數(shù)，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系“小紅畫的幅數(shù)是小華的3/4”知道，小華有4小份，小紅是這樣的3小份，再結(jié)合另一個數(shù)量關(guān)系“小紅和小華一共畫了21幅畫”把線段圖補(bǔ)充如圖2：

根據(jù)數(shù)量關(guān)系，我們可以利用方程來解答。因為兩個量都不知道，所以假設(shè)單位“1”是小華的幅數(shù)，根據(jù)第一個關(guān)系，小紅的幅數(shù)是x。又根據(jù)第二個數(shù)量關(guān)系“一共畫了21幅畫”，列出方程如下：

解：設(shè)小華畫了x幅，小紅畫了x幅

小紅：3/4×12=9（幅）或21-12=9（幅）

從線段圖也可以看出，兩人總共畫了7小份，共21幅，可以先求出1小份是多少，再求小紅和小華分別畫多少幅。解題如下：

21÷（4+3）=3（幅）

小華：3×4=12（幅）

小紅：3×3=9（幅）

通過線段圖的輔助，可以將抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，學(xué)生在畫線段圖的過程中可以理清數(shù)量之間的關(guān)系，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系解決問題。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該多培養(yǎng)學(xué)生的畫線段圖能力，重視學(xué)生線段圖畫圖的過程體驗，讓學(xué)生從中理解問題解決的數(shù)理。

3.加強(qiáng)分析與綜合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材解讀專家王永春教授提出了他對問題解決的獨(dú)到見解：問題解決的核心在于應(yīng)對現(xiàn)實世界中的挑戰(zhàn)以及探索那些開放性的問題。他強(qiáng)調(diào)，這種能力不僅僅局限于解答封閉性的問題，更關(guān)鍵的是能夠應(yīng)對生活中的實際情境和那些需要創(chuàng)造性思維的開放性問題。對于這類題目要正確地解答，在教學(xué)過程中培養(yǎng)和加強(qiáng)學(xué)生分析能力與綜合能力很有必要。

（1）情境化問題解決：將問題設(shè)置在真實的情境中，能夠讓學(xué)生更加深入地參與學(xué)習(xí)過程。例如在解決與圖形面積相關(guān)的實際問題時，可以提出這樣的問題：“如果教室的面積是50平方米，需要多少塊邊長為0.5米的正方形地磚來鋪滿教室地面？”通過將問題與學(xué)生熟悉的教室環(huán)境聯(lián)系起來，并結(jié)合繪圖分析，學(xué)生能夠更直觀地理解鋪磚問題實際上是關(guān)于面積的計算，從而從地磚面積與教室面積之間的數(shù)量關(guān)系出發(fā)進(jìn)行思考。

（2）實施“學(xué)生為中心”的教學(xué)理念：為學(xué)生提供充足的探究時間和空間，堅持“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”這一理念。僅僅依賴記憶而沒有充分理解的知識不是真正的掌握。教師不應(yīng)單方面地“灌輸”知識，而應(yīng)激發(fā)學(xué)生的潛力，鼓勵他們自主探索。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可以讓學(xué)生通過觀察、實踐操作、反復(fù)驗證等活動來解決數(shù)學(xué)問題。例如在教授圖形知識時，可以讓學(xué)生通過折疊、剪切、拼接等動手操作來探索和解決問題。這樣，學(xué)生在交流和探索中構(gòu)建知識，進(jìn)而理解并掌握。

（3）滲透數(shù)學(xué)思想與方法：在適當(dāng)?shù)臅r機(jī)，向?qū)W生傳授一些基本的數(shù)學(xué)思想和方法，如符號化思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、優(yōu)化思想等。同時，教授學(xué)生一些具體的數(shù)學(xué)方法，如觀察法、實際操作法、歸納法等。掌握了這些思想和方法，學(xué)生在面對實際問題時將更加從容，能夠運(yùn)用多種分析方法，從而更有效地解決問題。

三、教學(xué)實踐結(jié)論

在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，解決實際問題是一個至關(guān)重要且富有挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域，而運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來攻克這些問題是一種關(guān)鍵的策略。相較于單純的題海戰(zhàn)術(shù)或機(jī)械記憶，掌握一種有效的解題策略顯得更為重要。在解題的過程中，學(xué)生應(yīng)該善于審題和分析，學(xué)會通過繪制線段圖等方法將復(fù)雜問題簡化，從而識別并建立問題中的數(shù)量關(guān)系。同時，學(xué)生還需學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法來輔助問題的分析和解決。一旦學(xué)生掌握了這些方法，他們的分析能力和解題技巧將得到顯著提升，這不僅對他們當(dāng)前的學(xué)習(xí)大有裨益，也將對他們未來的學(xué)習(xí)和生活產(chǎn)生深遠(yuǎn)的積極影響。

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