指向高中數學抽象核心素養的教學設計

摘要：本文以“直線與平面垂直”的教學過程為例，通過生活實例引出課題，激發學生的學習熱情；通過動手操作探究，用“問題串”的形式循序漸進地引導學生積極思考，讓學生的數學思維更深入，培養學生分析問題和解決問題的能力.

關鍵詞：優化課堂；數學教學；核心素養

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）06-0068-04

收稿日期：2024-11-25

作者簡介：

梁甜甜，碩士研究生，從事中學數學教學研究；

張昕麗，副教授，從事中學數學教學研究.

本案例以“直線與平面垂直”為主題.中國學生發展核心素養需要通過課程改革、教學實踐、教育評價三個渠道加以落實，而課程、課堂、評價是學生發展所必需的數學核心素養的主渠道[1].因此，“直線與平面垂直”的整個教學過程需要充分發展學生的數學抽象核心素養.基于這一認識，設計如下教學.

1前期分析

1.1課標理念解讀

課標要求：在直觀認識和理解空間中點、線、面的位置關系的基礎上，概括直線與平面垂直的定義；通過動手操作和初步感知，歸納直線與平面垂直的判定定理；能運用線面垂直的定義和判定定理證明一些空間幾何的簡單命題[2].

課標中明確了這部分教學重點是學生對于空間概念的理解，遵循循序漸進的原則，利用多媒體或者教具展示，學生能夠更好地理解空間中圖形表示的方法.

1.2教學內容解析

研讀教材，有助于教師準確把握教學內容、厘清教學脈絡，同時也是培養學生數學抽象素養的重要途徑之一[3].本節課選自高中數學人教A版必修二第八章《立體幾何初步》第六節第二課時，線面垂直是空間中線線垂直關系的延續，也是探究面面垂直的基礎.所以，本節內容在數學教材中對于知識的連接性起著橋梁的作用，通過本節課的學習，學生能夠增強“降維”的轉化思想，從而發展空間想象力.

基于此，本節課的教學重點是理解線面垂直的定義，除此之外，還要掌握其判定定理，并能用線面垂直的判定定理進行證明.

1.3教學目標

結合生活實際，概括線面垂直的定義；在動手操作過程中，總結歸納出線面垂直的判定定理，學會用數學的眼光觀察現實世界；能夠在探究過程中，感悟線面垂直與線線垂直的互相轉化，以此落實數學抽象、直觀想象等核心素養.

1.4學生學情分析

在前幾節已經學習了線線垂直和線面平行的相關知識，學生有了一定的觀察和推理能力，但他們把空間問題轉化為平面問題的意識不強，

難以聯想到借助線線垂直來刻畫線面垂直.因此，

發現及驗證直線與平面垂直的判定定理是本課的教學難點.

1.5教學策略分析

在立體幾何中，我們真正做的是把某種真實存在的立體幾何事物，在理念中逐步分解成平面上某些特定平面圖形的組合來加以明確刻畫[4]．在教學過程中，教師給學生提供一個包含某個概念的情境，或者給學生提供關于這個概念的一組特例，學生共同討論，補充意見，在情境或特例中抽象出概念[5].

本節課主要采用啟發式教學法，從實際生活中線面垂直的形象，抽象出線面垂直的定義.教師通過“問題串”，引導學生在動手操作中探究判定定理，并吸引學生注意力，以期達到發展學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養的要求.2教學過程

2.1創設情境，導入新課

數學來源于生活，又服務于生活.教師應引導學生把事物抽象成數學圖形，用數學的眼光來觀察.

問題1將升國旗的旗桿與橋柱抽象成一條直線，直線與平面之間有什么樣的位置關系？

問題2兩個實例都以直線與平面垂直的形象呈現，你還能再舉出生活中類似這樣的例子嗎？

學生舉出一些生活中的例子，引出本節所要探究的直線與平面垂直.

設計意圖創設情境，吸引學生注意力.學生在生活中可能會發現很多直線與平面垂直的形象，以此引出課題，培養學生用數學的眼光觀察生活情境.

2.2觀察發現，歸納定義

問題3如何定義一條直線與一個平面垂直？

引導學生通過復習線面平行的研究思路，將空間問題平面化，即線面垂直也可以轉化為考查一條直線和平面內直線的位置關系.

以旗桿與地面垂直的形象為例進行探究，在陽光的照耀下，旗桿AB會在地面上投射出影子BC.

問題4AB與BC所在的直線有怎樣的位置關系？

問題5通過動畫演示觀察，隨著時間不斷改變，BC的位置關系是否發生變化？

問題6這些影子所在的直線有什么樣的共同特征？

設計意圖引導學生觀察旗桿隨時間改變，探究AB與BC垂直的位置關系，通過BC所在直線的共同特征，即都過點B，總結出直線AB與水平面上任意一條過點B的直線都能垂直.既然在地面上有過點B的直線，引導學生思考還存在一類不過點B的直線.

問題7不妨在地面內任意畫不過點B的直線CD，直線AB與直線CD有怎樣的位置關系？

師生活動通過討論交流，學生探究出直線CD與直線AB是異面直線，由異面直線垂直的概念，得到直線AB與直線CD相互垂直.由此，總結直線與平面垂直的定義，即如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，那么直線l與平面α垂直.

2.3啟發思考，理解定義

問題8線面垂直指的是直線l要與平面α內的所有直線都垂直，如果把“所有直線”改成“無數條直線”，是否還滿足垂直關系？

為了使學生更深刻地理解定義，教師應從概念進行剖析.如果無數條直線是平面內的一組平行直線，與這組平行直線垂直的直線可以與這個平面平行，也可以在這個平面內，甚至與平面相交，但不一定垂直.

設計意圖通過交流，探究結論，學生能夠更深刻地理解定義，以此培養學生嚴謹的科學態度.

為了研究與表述的方便，教師可補充一些輔助性知識.對于直線與平面垂直的圖形表示，數學研究中通常畫一個平行四邊形來表示平面，再畫出直線與平行四邊形的其中一邊垂直.如圖1，直線l叫作平面α的垂線，平面α記為直線l的垂面，點P是它們唯一的公共點，記為垂足.

問題9在同一平面內，過一點與已知直線垂直的直線有幾條？

問題10在空間內，過一點與已知直線垂直的直線有幾條？過一點與已知平面垂直的直線有幾條？師生活動在同一平面內，過一點與已知直線垂直的直線有且僅有一條，在空間中，過一點與已知直線垂直的直線能得到無數條.教師引導學生動手操作，學生發現過一點作某個平面的垂線，只能作出一條.通過反證法來證明，假設過點A有兩條直線垂直于平面α，垂足分別為點C，D.那么A，B，C三個點構成一個三角形，如果垂直，這兩個角各為90°.此時，三角形的內角和大于180°（如圖2），故假設不成立，于是驗證得到過一點與已知平面垂直的直線只有一條.過一點作垂直于已知平面的直線，該點與垂足間的線段叫作點到平面的垂線段.垂線段的長度叫作點到平面的距離（比如棱錐的高）.

設計意圖教師通過反證法證明命題成立，引導學生驗證猜想，吸引學生的注意力；通過回憶引導學生發現棱錐的高就是點到平面的距離，而這個距離就是點到平面的垂線段，進一步讓學生理解垂線段的意義，促進知識遷移.

2.4操作交流，探究定理

問題11如何判斷一條直線是否與平面垂直？若以探究旗桿與地面為例，利用手里有限的工具，如何驗證旗桿是否與地面垂直？

預設學生可能回答利用定義來證明，通過思考，發現利用定義不能驗證旗桿與地面內的每一條直線都垂直.教師可以類比線面平行判定的探究，引導學生將無限驗證轉化為有限驗證.

師生活動拿出課前準備的三角形，將三角形的三個頂點分別記作A，B，C，過△ABC的頂點A翻折紙片，所折的痕跡記為AD，將翻折后的三角形豎起放在桌面上（BD，DC與桌面接觸）.

問題12沿點A翻折三角形，如何翻折才能使AD⊥α？

師生活動學生沿點A進行各種翻折，充分觀察、思考與討論，發現只有當AD⊥BC時，AD⊥α.當AD與BC不垂直時，AD無論怎樣翻折，始終與桌面所在平面α不垂直.

問題13當AD⊥BC時，繞AD無論如何折，AD與桌面所在平面α始終垂直嗎？

學生動手操作，發現翻折之后AD始終與桌面所在的平面α垂直.

問題14在翻折之后，AD⊥BD，AD⊥CD的關系改變了嗎？

師生活動如圖3，當AD⊥BC時，保持BD不動，DC緊貼平面α，讓△ACD部分繞AD旋轉，在旋轉時發現AD⊥α的關系未發生改變，除此之外，發現AD與平面α內任意一條過點D的直線都有垂直的關系．

通過操作觀察，BD，DC交于點D，所以BD與DC是兩條相交直線.

問題15為什么一條直線與平面內兩條相交直線垂直，就說直線與平面垂直？

師生活動教師引導學生思考基本事實的推論2，兩條相交直線就可以確定一個平面，并且這兩條相交直線能夠表示這個平面內的所有直線，即當AD垂直于平面α內過點D的任意兩條相交直線時，AD就垂直于平面α．

設計意圖通過學生不斷探究，發現三角形紙片中的垂直關系，滲透“無限”轉化為“有限”的思想，有助于學生發現判定的本質．

思考根據以上探究，判定直線與平面垂直，需要幾個條件？

教師引導學生指出判定直線與平面垂直需要三個條件，分別是平面內有兩條直線、兩條直線相交、平面外的直線與兩條相交直線都垂直.

根據這三個條件，可引導學生嘗試總結線面垂直判定定理.即如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那這條直線與這個平面垂直.

根據圖形表示，讓學生把定理的文字語言轉換成符號語言.

mα，nαm∩n=Pl⊥m，l⊥nl⊥α.

利用定理，能夠檢驗旗桿AB與平面垂直的情況，找到地面上兩條相交直線，驗證這兩條相交直線都與AB垂直即可.

設計意圖讓學生根據線面垂直的判定定理，回歸生活實例解決問題，提高其解決問題的能力.

預留課后思考直線與平面垂直的判定定理中兩條相交直線能否改為兩條平行直線？請從向量的角度解釋原因.

設計意圖讓學生深刻理解線面垂直的判定定理，為什么一定是兩條相交直線，而不是兩條平行直線，提高學生思考問題的能力.

2.5鞏固練習，學以致用

例題已知：如圖4，a∥b，a⊥α，求證：b⊥α.

根據所畫的圖形（圖4），讓學生獨立思考，找到證明此問題的思路，要證明結論成立，關鍵是證明出b也垂直于這個平面內的兩條相交直線.學生試著寫證明過程，教師在多媒體展示完整步驟，讓學生校正.

證明在平面α內任取兩條相交直線m，n，

因為a⊥α，所以a⊥m，a⊥n.

因為a∥b，又mα，nα，且m，n是兩條相交直線，

所以b⊥α.

設計意圖分析題目，畫出圖形，嘗試書寫證明過程，以此促進學生思考，檢測學生運用新知的能力.

2.6課堂小結，凝練升華

詢問學生學習的收獲，教師補充通過線面垂直與線線垂直之間的互相轉化，體會了“轉化”的數學思想方法.

設計意圖回顧本節課學習的內容，建立知識框架，對記憶進行強化，使學生在輕松愉悅的狀態下結束課程.

2.7布置作業，課后拓展

必做題：課本練習題1，2，3.

選做題：課時達標檢測.

設計意圖根據作業難度系數由易到難布置，使學生適應本課教學.設置分層作業，使學生在掌握基本知識之后，作進一步拓展，落實學生的數學抽象核心素養.

3結束語

本節課主要以“問題串”的形式啟發學生，將“無限”轉化為“有限”，深入體會轉化和類比的思想方法，整個過程啟發學生結合具體實例歸納出線面垂直的定義，并使其在實踐中探索出線面垂直的判定定理.本節課以提升學生能力為中心設計教學，通過追問形式不斷引導學生思考，逐層深入；通過例題鞏固應用，達到揭示問題本質的效果.整個過程保證了學生思維的順暢，為每一步探究作準備.

參考文獻：

［1］"孔凡哲，史寧中.中國學生發展的數學核心素養概念界定及養成途徑[J].教育科學研究，2017（06）：5-11.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 辛金平.研讀教材，落實數學抽象素養[J].中學數學教學參考，2019（13）：36-38.

［4］ 章建躍.在一般觀念引領下探索空間幾何圖形的性質（續）“立體幾何初步”內容分析與教學思考[J].數學通報，2021，60（03）：2-7，21.

［5］ 喻平，徐時芳.核心素養指向的數學教學過程設計[J].數學通報，2022，61（03）：1-6，21.

［責任編輯：李慧嬌］