注重貫通教學(xué)，關(guān)注思維品質(zhì)

摘要：正方形的問(wèn)題綜合度比較高，本身包含平行、角平分線、垂直平分線、直角三角形、等腰三角形等，稍加條件就可以出現(xiàn)全等、相似等關(guān)系.正方形中的線段關(guān)系問(wèn)題是正方形問(wèn)題中的典型題型.通過(guò)總結(jié)這類(lèi)問(wèn)題的基本解題策略，可以顯著提升學(xué)生的思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：正方形；線段關(guān)系；貫通教學(xué)；思維品質(zhì)

以正方形為背景的線段長(zhǎng)度問(wèn)題是考試中的熱點(diǎn)問(wèn)題，解法靈活，能夠考查學(xué)生的邏輯推理能力和幾何直觀，本文以一道探究正方形中線段關(guān)系的問(wèn)題為例，闡述思考過(guò)程，探究不同解法，給出探究線段關(guān)系問(wèn)題的基本解題策略，幫助學(xué)生提高推理能力，提升思維品質(zhì).

1問(wèn)題呈現(xiàn)

如圖1，在正方形ABCD中，P是邊CD上的任意一點(diǎn)，連接BP，作PE⊥BD于E，連接AE.用等式表示線段AE與BP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

2問(wèn)題探究

條件給出的圖形是正方形，BD是對(duì)稱軸，△DAB，△DBC是等腰直角三角形，PE⊥BD，出現(xiàn)了一個(gè)新的等腰直角三角形DEP，三者均相似，△EBP，△PBC是直角三角形.問(wèn)題是兩條線段的數(shù)量關(guān)系，可以先特殊化，猜測(cè)出結(jié)論.當(dāng)正方形確定時(shí)，AE與BP的長(zhǎng)度都取決于點(diǎn)E的位置.將點(diǎn)E特殊化到端點(diǎn)或中點(diǎn)，當(dāng)E在點(diǎn)D時(shí)，AE＝AD，BP＝BD，則BP＝2AE；當(dāng)E在BD中點(diǎn)時(shí)，如圖2所示，AE＝12AC，BP＝BC，則BP＝2AE.

3解題思路

求兩條線段的關(guān)系，容易想到如果分別求出兩條線段，就可得關(guān)系.很明顯本題缺少已知數(shù)據(jù)，無(wú)法求出具體長(zhǎng)度，所以題目要求的是關(guān)系，既是關(guān)系，就可以先設(shè)一條，再用它表示其他所有相關(guān)的線段.

3.1量化法

法1：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，與E有關(guān)的一條線段為x，在直角三角形中用勾股定理表示出AE，BP，消去x，即可得AE與BP之間的數(shù)量關(guān)系.

將AE構(gòu)造在直角三角形中，如圖3所示，作EM⊥AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，設(shè)EM＝x，可得EN＝DN＝AM＝1－x，在Rt△AEM中，AE2＝x2＋（1－x）2＝2x2－2x＋1.在Rt△BPC中，BP2＝1+（2x－1）2＝4x2－4x＋2，可得BP＝2·AE.此處可以求出AE、BP長(zhǎng)度的三角形不唯一.

法2：以B為原點(diǎn)，直線BC為x軸，直線AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖4），則A（0，1），C（1，0），D（1，1），設(shè)E（x，x），則P（1，2x－1），可求AE2，BP2，與法1同.

如果不求出線段長(zhǎng)，能否求出它們的關(guān)系呢？那就要把兩條線段放到圖形中去探究.放到三角形中是最常見(jiàn)的想法，通過(guò)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例可以求得線段的關(guān)系.

3.2相似法

AE是△ABE，△ADE，△AME的邊，BP是△BPC，△PEB，△BDP的邊，可以發(fā)現(xiàn)這里有相似的三角形，從而得到對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系.

法1：在△ADE和△BDP中，ADBD＝DEDP＝12，∠ADE＝∠BDP＝45°，可得△ADE∽△BDP，所以BP＝2AE.

法2：可通過(guò)證△AME∽△PEB得到結(jié)論，即BEEP＝2ME2EN＝MEEN＝MEAM，∠BEP＝∠EMA＝90°，易得△AME∽△PEB，BPEA＝EPMA＝2.

如果相似三角形也找不到，還有沒(méi)有其他方法得到線段關(guān)系呢？觀察特殊化的結(jié)論，兩條線段間是2倍關(guān)系，很容易聯(lián)想到等腰直角三角形，那么如果能把兩條線段集中到一個(gè)三角形中，證明是等腰直角三角形即可.

3.3變換法

法1（旋轉(zhuǎn)變換）：如圖5所示，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABQ，連接EQ，則兩條目標(biāo)線段可集中到△AQE中.

思路：由SAS可得△ABQ≌△ADE，則∠ABQ＝∠ADE.∠ABQ＋∠ABD＝∠ADE＋∠ABD＝90°，易得BQ∥EP，四邊形BQEP是平行四邊形，則BP＝EQ＝2AE.

法2（平移變換）：如圖6所示，將△BPC平移至△AFD，將兩條目標(biāo)線段集中到△AEF中，證明它為等腰直角三角形.

思路：延長(zhǎng)CD至F，使DF＝CP，可得△AFD≌△BPC，則BP＝AF.在△EFP和△EAD中，由PF＝DP＋DF＝DP＋PC＝DC＝AD，∠EPF＝∠EDA＝45°，EP＝DE，得△EFP≌

△EAD.繼而可得EF＝EA，∠PEF＝∠DEA.由∠PEF－∠DEF＝∠DEA－∠DEF＝90°，得△AEF為等腰直角三角形，BP＝AF＝2AE.

法3：如圖7所示，將△ADE沿BD翻折至△CDE，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為BP與CE的關(guān)系.可放在△CDE，△BDP中證相似，也可放在一個(gè)四邊形中證四點(diǎn)共圓.

思路：連接CE，可證CE＝AE，由∠BEP＝∠BCP＝90°，可得B，E，C，P在以BP為直徑的圓上.設(shè)半徑為R，弦CE所對(duì)的圓周角∠CBE＝45°，則所對(duì)的圓心角∠COE＝90°，CE＝2R，BP＝2R，則BP＝2AE.

法4：在上述圓中，易得∠EBP＝∠CEP，故可將線段CE構(gòu)造在一個(gè)直角三角形中，利用相似得出結(jié)論.

思路：如圖8所示，連接CE，作CG⊥EP交EP于G，由∠CBP＝∠CEP，∠BCP＝∠G＝90°，得△BCP∽△EGC，則BPEC＝CPGC＝2，BP＝2CE＝2AE.

4教學(xué)反思

4.1重視解題方法的積累，形成解決問(wèn)題的一般策略

教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生重視方法的積累，重視解題后的反思，形成解題的一般策略，而不是沉溺于題海，憑習(xí)慣解題，題目稍一變化就不會(huì).求線段關(guān)系的策略，最常見(jiàn)的是放在直角三角形中，知兩邊或知一邊和另兩邊的關(guān)系，用勾股定理解決；也可將斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后用勾股定理，當(dāng)一個(gè)三角形缺少條件時(shí)往往要找和其他三角形的關(guān)系，借助全等或相似解決.學(xué)生還可以根據(jù)線段的特征選擇相應(yīng)的策略，如求垂線段，可理解為求三角形的高，利用等積法求解；出現(xiàn)角平分線時(shí)，可配合角平分線的性質(zhì)定理求解.除了放在三角形中，也可將線段放在特殊四邊形或圓中求解，與圓有關(guān)的線段又可結(jié)合垂徑定理、圓冪定理求解.

4.2挖掘多種解法的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)使學(xué)生獲得教學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱‘四基’）的獲得與發(fā)展，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱‘四能’），形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.”［1］本題的一題多解貫通了初中幾何的幾乎所有板塊，具有代表性，教學(xué)中應(yīng)給予學(xué)生充分的時(shí)間、空間思考，鼓勵(lì)他們調(diào)用學(xué)過(guò)的所有數(shù)學(xué)知識(shí)解決，并進(jìn)行歸納，挖掘多種解法的聯(lián)系和共同點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通.兩條線段的重要數(shù)量關(guān)系往往伴隨著特殊圖形出現(xiàn)，如含有30°的直角三角形、中位線、三角形重心、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等.如果這些都沒(méi)有，那就要構(gòu)造特殊圖形讓它們產(chǎn)生聯(lián)系，放在一個(gè)三角形或圓中，可以通過(guò)變換構(gòu)造全等，正方形既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，為這些變換提供了可能.如果放一個(gè)三角形中有困難，那就放兩個(gè)三角形中，用雙勾股或相似來(lái)解決，題中兩個(gè)相似的等腰直角三角形（△DAB，△DEP）可看成互相旋轉(zhuǎn)縮放后得到，則類(lèi)似于手拉手模型，生成另一對(duì)相似三角形（△ADE和△BDP）.如果相似也找不到，那就各自放在特殊圖形中表示出來(lái)，設(shè)一個(gè)變量為x，這是量化法.它雖然計(jì)算量要相對(duì)大一些，但卻是學(xué)生較易選擇的方法.以上方法涉及了幾何中的三角形、四邊形、圓三大板塊的知識(shí)，結(jié)合了全等、相似、勾股定理、幾何變換等基本方法，將初中幾何和代數(shù)貫通起來(lái)，可以有效構(gòu)建知識(shí)體系，激活學(xué)生的思維，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)，不可只以解決一個(gè)問(wèn)題為目標(biāo)，使用單一的解題方法，這樣學(xué)生難免只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林.在復(fù)習(xí)階段，更要讓學(xué)生盡可能動(dòng)用所有學(xué)過(guò)的知識(shí)，綜合貫通，才能將所學(xué)知識(shí)真正內(nèi)化.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.