注重貫通教學，關注思維品質

摘要：正方形的問題綜合度比較高，本身包含平行、角平分線、垂直平分線、直角三角形、等腰三角形等，稍加條件就可以出現全等、相似等關系.正方形中的線段關系問題是正方形問題中的典型題型.通過總結這類問題的基本解題策略，可以顯著提升學生的思維品質.

關鍵詞：正方形；線段關系；貫通教學；思維品質

以正方形為背景的線段長度問題是考試中的熱點問題，解法靈活，能夠考查學生的邏輯推理能力和幾何直觀，本文以一道探究正方形中線段關系的問題為例，闡述思考過程，探究不同解法，給出探究線段關系問題的基本解題策略，幫助學生提高推理能力，提升思維品質.

1問題呈現

如圖1，在正方形ABCD中，P是邊CD上的任意一點，連接BP，作PE⊥BD于E，連接AE.用等式表示線段AE與BP之間的數量關系，并證明.

2問題探究

條件給出的圖形是正方形，BD是對稱軸，△DAB，△DBC是等腰直角三角形，PE⊥BD，出現了一個新的等腰直角三角形DEP，三者均相似，△EBP，△PBC是直角三角形.問題是兩條線段的數量關系，可以先特殊化，猜測出結論.當正方形確定時，AE與BP的長度都取決于點E的位置.將點E特殊化到端點或中點，當E在點D時，AE＝AD，BP＝BD，則BP＝2AE；當E在BD中點時，如圖2所示，AE＝12AC，BP＝BC，則BP＝2AE.

3解題思路

求兩條線段的關系，容易想到如果分別求出兩條線段，就可得關系.很明顯本題缺少已知數據，無法求出具體長度，所以題目要求的是關系，既是關系，就可以先設一條，再用它表示其他所有相關的線段.

3.1量化法

法1：設正方形的邊長為1，與E有關的一條線段為x，在直角三角形中用勾股定理表示出AE，BP，消去x，即可得AE與BP之間的數量關系.

將AE構造在直角三角形中，如圖3所示，作EM⊥AB于點M，交CD于點N，設EM＝x，可得EN＝DN＝AM＝1－x，在Rt△AEM中，AE2＝x2＋（1－x）2＝2x2－2x＋1.在Rt△BPC中，BP2＝1+（2x－1）2＝4x2－4x＋2，可得BP＝2·AE.此處可以求出AE、BP長度的三角形不唯一.

法2：以B為原點，直線BC為x軸，直線AB為y軸建立平面直角坐標系（如圖4），則A（0，1），C（1，0），D（1，1），設E（x，x），則P（1，2x－1），可求AE2，BP2，與法1同.

如果不求出線段長，能否求出它們的關系呢？那就要把兩條線段放到圖形中去探究.放到三角形中是最常見的想法，通過相似三角形的對應線段成比例可以求得線段的關系.

3.2相似法

AE是△ABE，△ADE，△AME的邊，BP是△BPC，△PEB，△BDP的邊，可以發現這里有相似的三角形，從而得到對應邊的關系.

法1：在△ADE和△BDP中，ADBD＝DEDP＝12，∠ADE＝∠BDP＝45°，可得△ADE∽△BDP，所以BP＝2AE.

法2：可通過證△AME∽△PEB得到結論，即BEEP＝2ME2EN＝MEEN＝MEAM，∠BEP＝∠EMA＝90°，易得△AME∽△PEB，BPEA＝EPMA＝2.

如果相似三角形也找不到，還有沒有其他方法得到線段關系呢？觀察特殊化的結論，兩條線段間是2倍關系，很容易聯想到等腰直角三角形，那么如果能把兩條線段集中到一個三角形中，證明是等腰直角三角形即可.

3.3變換法

法1（旋轉變換）：如圖5所示，將△ADE繞點A順時針旋轉90°至△ABQ，連接EQ，則兩條目標線段可集中到△AQE中.

思路：由SAS可得△ABQ≌△ADE，則∠ABQ＝∠ADE.∠ABQ＋∠ABD＝∠ADE＋∠ABD＝90°，易得BQ∥EP，四邊形BQEP是平行四邊形，則BP＝EQ＝2AE.

法2（平移變換）：如圖6所示，將△BPC平移至△AFD，將兩條目標線段集中到△AEF中，證明它為等腰直角三角形.

思路：延長CD至F，使DF＝CP，可得△AFD≌△BPC，則BP＝AF.在△EFP和△EAD中，由PF＝DP＋DF＝DP＋PC＝DC＝AD，∠EPF＝∠EDA＝45°，EP＝DE，得△EFP≌

△EAD.繼而可得EF＝EA，∠PEF＝∠DEA.由∠PEF－∠DEF＝∠DEA－∠DEF＝90°，得△AEF為等腰直角三角形，BP＝AF＝2AE.

法3：如圖7所示，將△ADE沿BD翻折至△CDE，將目標轉化為BP與CE的關系.可放在△CDE，△BDP中證相似，也可放在一個四邊形中證四點共圓.

思路：連接CE，可證CE＝AE，由∠BEP＝∠BCP＝90°，可得B，E，C，P在以BP為直徑的圓上.設半徑為R，弦CE所對的圓周角∠CBE＝45°，則所對的圓心角∠COE＝90°，CE＝2R，BP＝2R，則BP＝2AE.

法4：在上述圓中，易得∠EBP＝∠CEP，故可將線段CE構造在一個直角三角形中，利用相似得出結論.

思路：如圖8所示，連接CE，作CG⊥EP交EP于G，由∠CBP＝∠CEP，∠BCP＝∠G＝90°，得△BCP∽△EGC，則BPEC＝CPGC＝2，BP＝2CE＝2AE.

4教學反思

4.1重視解題方法的積累，形成解決問題的一般策略

教師應該教會學生重視方法的積累，重視解題后的反思，形成解題的一般策略，而不是沉溺于題海，憑習慣解題，題目稍一變化就不會.求線段關系的策略，最常見的是放在直角三角形中，知兩邊或知一邊和另兩邊的關系，用勾股定理解決；也可將斜三角形轉化為兩個直角三角形，然后用勾股定理，當一個三角形缺少條件時往往要找和其他三角形的關系，借助全等或相似解決.學生還可以根據線段的特征選擇相應的策略，如求垂線段，可理解為求三角形的高，利用等積法求解；出現角平分線時，可配合角平分線的性質定理求解.除了放在三角形中，也可將線段放在特殊四邊形或圓中求解，與圓有關的線段又可結合垂徑定理、圓冪定理求解.

4.2挖掘多種解法的聯系，實現數學知識的融會貫通

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“以核心素養為導向，進一步強調使學生獲得教學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱‘四基’）的獲得與發展，發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱‘四能’），形成正確的情感、態度和價值觀.”［1］本題的一題多解貫通了初中幾何的幾乎所有板塊，具有代表性，教學中應給予學生充分的時間、空間思考，鼓勵他們調用學過的所有數學知識解決，并進行歸納，挖掘多種解法的聯系和共同點，實現數學知識的融會貫通.兩條線段的重要數量關系往往伴隨著特殊圖形出現，如含有30°的直角三角形、中位線、三角形重心、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等.如果這些都沒有，那就要構造特殊圖形讓它們產生聯系，放在一個三角形或圓中，可以通過變換構造全等，正方形既是軸對稱又是中心對稱、旋轉對稱圖形，為這些變換提供了可能.如果放一個三角形中有困難，那就放兩個三角形中，用雙勾股或相似來解決，題中兩個相似的等腰直角三角形（△DAB，△DEP）可看成互相旋轉縮放后得到，則類似于手拉手模型，生成另一對相似三角形（△ADE和△BDP）.如果相似也找不到，那就各自放在特殊圖形中表示出來，設一個變量為x，這是量化法.它雖然計算量要相對大一些，但卻是學生較易選擇的方法.以上方法涉及了幾何中的三角形、四邊形、圓三大板塊的知識，結合了全等、相似、勾股定理、幾何變換等基本方法，將初中幾何和代數貫通起來，可以有效構建知識體系，激活學生的思維，提升學生的核心素養.因此，教師在引導學生解決問題時，不可只以解決一個問題為目標，使用單一的解題方法，這樣學生難免只見樹木，不見森林.在復習階段，更要讓學生盡可能動用所有學過的知識，綜合貫通，才能將所學知識真正內化.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.