讓學生形成“|a|-數軸-距離”思維

筆者第一次教授人教版七年級上冊第一章第二節第4課“絕對值”時，對絕對值概念的理解不深刻，未引領學生突破絕對值概念的理解壁壘一—絕對值的幾何意義，導致教學效果不佳.

經過進一步挖掘教材和課標，聚焦學生在絕對值概念上的理解壁壘一—絕對值的幾何意義，精心轉化書本知識，順應學生思維發展規律，創設以“|α|一數軸一距離”為主線的探究活動，讓學生真正理解絕對值的幾何意義和代數意義，并能掌握求解絕對值相關問題的方法.現與大家分享“絕對值”教學設計的改進與思考.

1學生在絕對值概念學習上存在的主要問題

（1）對絕對值的幾何意義理解較為膚淺，較難將絕對值與距離建立聯系.（2）對絕對值的代數意義理解不夠深入，特別是絕對值的非負性.（3）對絕對值知識的運用不熟練，尤其是對于含字母形式的絕對值問題，無法綜合利用絕對值的知識以及相應的數學思想去解決.

2教學設計改進思路

2.1設置導入絕對值的問題情境

“絕對值\"是七年級上冊第一章的內容，學生正處于由具體運算階段向形式運算階段過渡的時期，且大多數學生更偏向于具體運算，思維形式無法擺脫思維內容，不具備成熟的抽象思維，形成心理疑難，具體的問題情境更有利于他們學習與整合絕對值的概念.

2.1.1注重新舊知識的銜接

問題情境1：

① 把下列各數及它們的相反數在數軸上表示出來： L₄，-3.5，2.5，0，-1.5，（ ② 分別說出 ① 中的數在數軸上到原點的距離是多少？ ③ 數軸上4與—1.5的距離是多少？ ④ 數軸上2.5與它的相反數的距離是多少？

引導學生逐步解答以上問題，為引入絕對值概念奠定基礎，讓學生從已有知識（數軸、距離、相反數等概念）自然過渡到新知，實現新舊概念的銜接，2.1.2引入學生熟知的生活情境

問題情境2：

周五17時，7（4）班的2位老師駕駛汽車從黃陵中學出發，戴老師向東行駛 3km 回到家中，廖老師向西行駛 4km 回到家中，假設廖老師和戴老師的汽車行駛1km 消耗汽油量均為 0.08L ，思考并回答下列問題：① 若規定向東為正，則戴老師和廖老師行駛路線如何用正數和負數來表示？ ② 兩輛汽車所消耗的汽油分別是多少升？ ③ 兩輛小汽車所消耗的汽油與戴老師、廖老師的駕駛方向有沒有關系？ ④ 兩輛小汽車所消耗的汽油與什么有關？

問題情境2可以轉化為圖1，學生理解從學校出發回家，雖然戴老師行程路線是 +3 ，廖老師的行駛路線是一4，但兩輛汽車消耗的汽油量分別是 0.24L 和0.32L ，都是正數，兩輛汽車消耗的汽油量與行駛方向無關，僅與行駛距離有關.

引入學生熟知的生活情境，有利于理解在實際生活、生產中，有時并不需要考慮方向，僅需要知道距離即可[2]，為學習絕對值概念做鋪墊.

2.2形成\" |a| 一數軸一距離”為主線的探究活動

2.2.1引出絕對值的概念

在實際生活、生產中，很多情況下，不需要考慮數的正、負，比如我們坐網約車，到終點付費時，計費平臺上的費用與網約車行駛的方向無關，與行駛的距離有關，距離只需用正數或0來表示，因此，人們引入了一個新的概念——絕對值[3].

引導學生感受絕對值概念的產生源于日常生活，幫助學生更好地感受絕對值的本質.

2.2.2理解絕對值的幾何意義

教師引出絕對值這個全新的概念后，點燃了學生探究絕對值的欲望，基于學生在絕對值概念上的理解壁壘，先將絕對值與數軸取得聯系，有助于學生理解絕對值的幾何意義.

（1）建立“絕對值一數軸一距離\"思維

探究活動1：

假設把小汽車行駛的路線想象成數軸，規定向東為正，將學校定為原點（數軸上的1個單位長度表示1km） 。 ① 請畫出數軸，并在數軸上標出點 A （戴老師家）和點 B （廖老師家） ② 點 A 點 B 表示的數分別是什么？ ③ 點 A 點 B 到原點的距離分別是多少？

通過探究活動1，學生畫出數軸（如圖2所示），并在數軸上標出點 A 和點 B ，結合數軸可以知道點 A 、點 B 表示的數分別是 3，-4 ，它們到原點的距離分別是3和4.

此時教師可引人絕對值的定義：一般地，數軸上表示一個數的點與原點的距離叫做該數的絕對值.

圖2中表示數3的點 A 到原點的距離是3，因此3的絕對值就是3；表示數一4的點 B 到原點的距離是4，因此一4的絕對值就是 4^[3] ：

老師繼續補充：求一個數的絕對值的過程，可分為3個步驟， ① 在數軸上找到數 a 對應的點； ② 求出這個點到原點的距離； ③ 所求距離即為 Δ_a 的絕對值，從而建立“絕對值一數軸一距離\"思維，如圖3所示.

在數軸上找到 求出這個點到 所求距離即為數a對應的點 原點的距離 a的絕對值

老師給出定義和補充后，學生逐漸在腦海中形成“絕對值一數軸一距離\"思維，即看到絕對值會想到數軸，繼而想到數軸上對應的點到原點的距離.通過“絕對值一數軸一距離\"這條主線幫助學生將絕對值與距離建立聯系，有助于理解絕對值的幾何意義，從而突破絕對值概念的理解壁壘.

（2）鞏固“絕對值一數軸一距離\"思維

探究活動2：

請在數軸上分別表示出數 -6，-9，7.6，0.① 說出一6的絕對值、一9的絕對值、7.6的絕對值、0的絕對值分別表示什么？它們的絕對值分別是多少？ ② 對于任意一個實數，都能求出它的絕對值嗎？ ③ 一個實數的絕對值有幾個？ ④ 數軸上，絕對值為3的數有幾個？

學生通過剛建立的“絕對值一數軸一距離”思維可知： -6，-9，7.6，0 的絕對值即分別為數軸上表示-6，-9，7.6，0 的點到原點的距離，因此一6，一9，7.6，0的絕對值分別是6，9，7.6，0.

學生也能發現，數軸上任何數到原點的距離均可求出且唯一，即可求任意實數的絕對值，并且任意一個實數的絕對值只有一個.

除此之外，將絕對值與數軸建立聯系后，學生通過觀察數軸還能發現：0的絕對值是0；絕對值為3的數有 +3 和一3，它們是一對相反數.

通過以上2項探究活動，引導學生循序漸近地將絕對值與數軸、距離建立聯系，形成了“絕對值一數軸一距離”思維，清晰地理解絕對值的幾何意義，從而攻克了本節的教學難點.

（3）建立“ ∣α∣ 一數軸一距離\"思維

老師引入絕對值的符號：為準確表示數 Ψ_a 的絕對值，我們將其記作 ∣a∣ .如一4的絕對值記作 ∣-4∣ ，即∣-4∣=4 ；同理，7.6的絕對值記作|7.6，即 |7.6|=7.6 那么，在“絕對值一數軸一距離”思維的基礎上，用·|a| ”替換掉其中的“絕對值”，可建立一條新的思維，即“|a|—數軸—距離”.

老師引入 ∣α∣ ，強調|a|與數軸、距離的關系，讓學生感悟絕對值的幾何意義，從本質上認識絕對值的概念[3].學生明白 |a| 只是絕對值的是一種符號表達，便會自動將剛剛建立的“絕對值一數軸一距離”思維轉化為“ ∣α∣ —數軸—距離\"思維.

（4）鞏固“ ∣a∣ —數軸—距離\"思維課堂練習 填空：

通過由易到難的練習，學生會逐漸明白“|”與“\"不同，它與“ + \"“一\"類似，代表的是一種運算，是求“」「”里面的數在數軸上對應的點到原點的距離，進而強化“ ∣a∣ 一數軸一距離”思維.另外，學生也會意識到，如果在混合運算里面出現“”，要先進行絕對值的求值運算.

2.2.3理解絕對值的代數意義

探究活動3：

填空： ∣4∣=

① 觀察以上三組數據，你能發現什么規律嗎？② 正數、負數、0的絕對值和它們本身是什么關系？學生利用\" ∣α∣ 一數軸一距離\"思維可求出答案：|4|=4，|-4|=4;|17|=17，|-17|=17;|0|=0.

通過觀察答案，學生很快可找出一條很明顯的規律：一對相反數的絕對值是相等的.

老師繼續引導學生思考正數、負數、0的絕對值和它們本身的關系，可歸納出絕對值的非負性：一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0，即任何一個實數的絕對值都是非負數.

待學生理解絕對值的非負性后，教師再次強調1 ∣a∣ 一數軸一距離\"思維，引導學生將 ∣a∣ 與距離畫上“等號”，學生意識到距離不可能是負數，那么 ∣a∣ 也不可能為負數，加深對 ∣a∣ 的非負性的理解.

2.2.4小結

在學生理解了絕對值的幾何意義和代數意義后，便可引導學生在此基礎上總結出求一個數的絕對值的方法：

（1）根據絕對值的幾何意義求解，即根據“ |α|- 數軸一距離\"思維進行求值.

（2）根據絕對值的代數意義求解，即先確定這個數的正負，然后由絕對值的非負性求值.

2.3安排重點強化與變式訓練

2.3.1根據絕對值的幾何意義求解

填空：若 ∣m∣=9 ，則 ；若 ∣-m∣=8 ，則 ；若 |-m|=7 ，且 mlt;0 ，則

利用絕對值的幾何意義去分析，由“ ∣a∣ 一數軸一距離\"思維可知，數軸上到原點的距離為某值（非零）的點有2個，且它們互為相反數，再根據題目條件進行相應計算即可求解出 Ψ_m ：

2.3.2含絕對值的混合運算

求值：

∣-5∣×（-13∣）;-∣-6∣÷∣-3∣;

∣-4×8∣×∣3∣÷∣16∣;∣2.5∣×（-∣4∣）-∣5∣.

在混合運算里出現“「”，將其看成一種運算，先利用絕對值的代數意義直接求值，再根據運算法則進行“ x ”“ ÷ \"等運算.

2.3.3求解含字母形式的絕對值

填空：若 mlt;0，ngt;0，∣m∣gt;∣n∣ ，則 |-m∣= |-n|=，|m+n|=，|m ∣m-n∣= ：

對于含字母形式的絕對值，學生較難求解.解這道題目，要讓學生明白 -m，-n，m+n，m-n，n-m 這類含字母的式子代表的是正數、負數、零等任意實數.

先用絕對值的幾何意義去分析，畫出數軸并標出（20 m，n，-m，-n 的大概位置，通過數軸確定：

-mgt;0，-nlt;0，m+nlt;0，m-nlt;0，n-mgt;0.

再根據絕對值的代數意義去分析，由絕對值的非負性得出答案：

∣-m∣=-m;∣-n∣=n;∣m+n∣=-（m+n）=

-m-n;|m-n|=-（m-n）=n-m;|n-m|=n-m.

解決含字母形式的絕對值問題，以數軸這個“形”作為工具，可充分體現數學中的數形結合思想.

3教學反思

3.1精心轉化書本知識，提升概念教學價值

整體把握教材中絕對值知識的結構與內在聯系，挖掘其中所蘊含的數學思想及方法，聚焦學生在絕對值概念理解上的壁壘，創造性地使用書本知識.

以教材知識發展順序為出發點，重新編排和整合教科書中絕對值的定義、例題等，形成以“a「一數軸一距離”為主線的教學過程，由絕對值的幾何意義過渡到絕對值的代數意義，幫助學生精準理解絕對值的概念，提升概念教學價值.

3.2用心創設探究活動，突破概念理解壁壘

潛心揣摩學生，“惑其所惑，以利解惑；難其所難，以利化難”，明確學生在絕對值概念上的理解壁壘——絕對值的幾何意義.

精心創設探究活動，讓學生在活動中循序漸近地將絕對值與數軸、距離建立聯系，逐漸形成“a|一數軸一距離”思維，幫助學生精準掌握絕對值的幾何意義，進而突破絕對值概念的理解壁壘，攻克本節的教學難點，真正實現讓學生在探索過程中發現新知識、理解新知識、掌握新知識.

3.3順應學生思維發展，促進概念有序構建

順應學生思維發展規律，搭建思維過渡平臺，步步深入，促進學生對絕對值概念的有序構建.

在學生理解絕對值概念的關鍵節點處，引導學生建立“絕對值一數軸一距離\"思維，縮短學生進人第一個“最近發展區\"的距離，再引導學生用“a|\"替換“絕對值”，進而建立“a「一數軸一距離”思維，從源頭上理解絕對值的幾何意義.

在學生理解了絕對值的幾何意義后，持續開發學生的潛能，順勢向第二個“最近發展區\"跳躍，從本質上揭示絕對值的代數意義，進而讓學生精準理解絕對值的概念.

參考文獻：

[1]袁根福，張昆.a|的學習疑難與教學對策[J].中學數學月刊，2018（10）：4-6，9.

[2許文禮.初中數學絕對值概念教學策略J」福建基礎教育研究，2019（5）：52-55.

[3]汪健.理解教材精心設計主動學習—蘇科版七年級數學上冊“絕對值”解讀及教學實錄片段與感悟[J].中學數學，2014（10）：4-9.Z