基于數的概念一致性的結構化教學探析

新課標明確指出，在“數與代數”領域，學生要初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性。數概念本質上的一致性主要體現在兩個方面：一是整數、分數和小數都是對數量或數量關系的抽象;二是整數、分數和小數都可以從計數單位和計數單位個數的角度來認識。

從數的概念發展史看，數來源于數，計數法的發展過程就是計數單位的創造過程。數是由“十分之一、一（個）、十、百”等計數單位累加得到的。因為計數單位，整數、小數、分數的本質得到了貫通。通過尋找三者之間的聯系，學生不斷加深對數概念一致性的理解，體會計數單位的統領作用。

一、基于生活經驗，感悟計數單位的累加

小數的產生更多地源于生活中的需求。對于小數的教學，教師可以借助生活經驗，通過創設文具店里的文具有不同的價格的情境，提出問題，從學生已有的認知起點出發，引導學生初步認識小數，感悟計數單位的累加。

【片段1】從生活經驗入手，多元表征，尋求共同特征

（1）活動要求活動要求如圖1。學生操作后交流。

想一想：0.3元是什么意思？

做一做：每人選擇合適的圖形，用自己的方式表示出0.3元。說一說：小組里說說自己的想法。

生1：我把1元平均分成10份，其中的3份就是0.3元。

師：為什么把1元平均分成10份？

生1：1元 ^-10 角。其中的1份就是1角，也就是 元，還可以寫成0.1元。3角是 元，還可以寫成0.3元。

生2：把這個正方形看作1元，平均分成10份，3份就是0.3元。

師：3個0.1元就是0.3元。

生3：把這條線段看作1元，平均分成10份，3份就是0.3元。

師：在這里，任意的3份都可以表示0.3元。

（2）觀察比較

師：同學們，剛剛你們選了這幾種材料來表示0.3元，觀察一下，你們選的這些材料，有什么共同特征呢？

生：都是平均分成10份。

師：是呀，把1元平均分成10份，每份就是 元，可以寫成0.1元。3份就是0.3元。 ¹ 角 元 =0.1 元。

（3）錯例改造

師（出示圖2、圖3、圖4）：這些能表示0.3元嗎？

生：沒有平均分成10份，不能表示0.3元。

師：圖4能不能想個辦法來改造改造，也能表示出0.3元呢？

生：把每個小長方形再平均分成5份，整個直條圖就平均分成了10份，其中的3份就表示0.3元。

學生通過呈現不同的表征結果，在十分之幾和零點幾之間建立起聯系，初步感知小數的含義。從具體實物硬幣的表征到圖形的表征再到語言的表征，學生的思維從實物上升到抽象狀態。學生通過觀察材料的共同特征，經歷“確定1元一平均分成10份一其中的3份表示0.3元”這樣的過程，將膚淺的感知轉化為真正的理解。這是一次認知的升華。同時，學生也從計數單位的角度，發現0.3元里有3個0.1元，初步感受到小數與整數的本質都是相同計數單位累加的結果，它們之間存在一致性。

二、基于認知經驗，遷移計數單位的細分

整數和小數的外形不一樣，但本質卻是一樣的，都是基于十進制計數法，表示幾個相同計數單位的累加，這就是它們的一致性。小數是對整數的細分，一位小數就是將一個整數平均分成10份，每份就是0.1。

【片段2】借助數軸，自主感悟細分

教師出示數軸，介紹自然數和整數。

師：整數可以用直線上的點來表示，那小數能用直線上的點來表示嗎？

師：小數0.7，怎么找到它的準確位置？

生：把0～1平均分成10份，其中的7份就是0.7。

教師介紹：數軸可以像這樣無限延長。

教師出示世界最高峰珠穆朗瑪峰巖面高程是8844.43米。

師：這個小數要在數軸上表示，可能在哪兒？發揮想象，大膽指一指。

師：你們覺得小數小嗎？在數軸上越往右，數就越大。

通過在數軸上表示數的位置，學生會借鑒整數的表示方式，自然地想到只要把1平均分成10份，就能找到小數，這是第二次認知的升華。

【片段3】借助能量柱，自主遷移細分

師：隨著學習的深入，收集的能量也越來越多。

教師出示第一次收集的能量。（圖略）

師：把1根能量條平均分成10份，數一數，其中的6份就是0.6。得到6個0.1就是0.6。

教師出示第二次收集的能量。

師：同學們，我們收集的能量又添上了2個0.1，是多少呢？數一數。

生1：8個0.1就是0.8。

教師出示第三次收集的能量。

師：我們的能量比0.9還要多了，多多少呢？有什么好的計算方法嗎？

生2：把0.1再平均分成10份。

師：是啊，可以按照“滿十進一”的規則繼續分下去。

能量柱貫穿整節課，體現了認數的關鍵在于計數單位和計數單位個數的累加。從0.6到0.8的增加，雖然是數出來的，但為后續小數的運算提供了思路。隨著能量的增加，出現了不是整格的情況，學生通過自主遷移，提出可以將0.1繼續平均分成十份。如此，拓寬了學生的思路，也滲透了多位小數的知識。

三、基于數形結合，構建計數方法的模型

數形結合是幫助學生直觀理解數的意義的重要方法，將抽象的數學概念變得更加具體。借助“形”能讓學生更直觀地認識到小數的本質是“計數單位的累加”。

【片段4】通過數形結合，歸納抽象小數的意義

（1）研究零點幾元出示直條圖（圖5）：

圖5

師：在這個線段圖上，你還會表示多少元呢？

師：6個0.1元就是0.6元。小數和整數一樣，都是可以數出來的。0.6元就是 元。

教師出示0.9元線段圖。

師：現在有幾個0.1元了？（9個）添上1個0.1元就是10個0.1元，也就是1元。

師：觀察這些小數和分數，你們有什么發現？

生1：有幾個 元就是十分之幾元， 六元可以寫成0.1元，有幾個0.1元就是零點幾元。

（2）研究零點幾米

教師出示花邊1和花邊2（圖略），將2條花邊平均分成10份。請學生數一數長度。

生1：（花邊1）4個0.1米就是0.4米。（花邊2）8個0.1米就是0.8米。

師（小結）：花邊的長度都不滿1米，有幾個 米就是十分之幾米， 米還可以寫成0.1米。有幾個0.1米就是零點幾米。

（3）抽象概括十分之幾和零點幾的聯系

師：如果把1米和1元等都看作“1”，把“1”平均分成10份（圖6），觀察產生的這些分數和小數，你們有什么發現？

圖6

師（總結）：當不滿1時，幾個 就是十分之幾，有幾個0.1就是零點幾。

借助形承載數，能使學生更易理解小數的本質是“基于十進制計數法”。在學生初步感知0.6元的基礎上，教師啟發學生在數一數的過程中，理解不滿1元時，有幾個0.1元就是零點幾元。同樣，當長度不滿1米時，有幾個0.1米就是零點幾米。接著，引導學生借助線段圖抽象出1和0.1之間的關聯，初步建立0.1的概念。

【片段5】通過數形結合，將小數概念外延

師：想一想，在用圖表示這些小數的時候，有什么相同的地方呢？

生：都是平均分成10份。

師：是呀，不管是零點幾的小數還是幾點幾的小數，在表示時，我們都要把1平均分成10份，不滿1時，有幾個0.1就是零點幾，再與整數部分合起來就是幾點幾。

通過數形結合，學生自主理解當用整數不能表達時，就要把計數單位“個”平均分成十份，一份就是“個”的十分之一，然后再數一數有幾個這樣的計數單位。整個過程，緊扣計數單位的累加，幫助學生感受和理解一位小數的含義。這既凸顯了小數的本質內涵，又有利于他們初步感受數概念的一致性。

四、基于核心概念，形成結構化認知

新課標提出了“對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑”的理念。基于學生的知識基礎和認知特點設計的學習活動，能夠使他們較好地把握數概念發展的內在邏輯，形成數感和符號意識。

【片段6】借助計數器，在推理中溝通數的一致性

教師出示計數器，依次展示1，10，100，1000，10000。

教師指出：都是滿十進一。

師：看，同樣一顆珠子，在不同的位置表示的數的大小就不同。還能繼續往左嗎？

師：如果要表示0.1，這1顆珠子應該撥在什么位置呢？

生1：個位的后面。

師：是的，從左往右，都是平均分成10份得到右邊這位的。

師：現在在這個位置撥這一顆珠，表示的數就是0.1。繼續數，0.2至0.9。再來一個0.1呢？10個0.1就是1。

師（小結）：小數跟整數一樣，都可以數出來，都是滿十進一。

師：我們今天認識的都是一位小數，一位小數都是由0.1累加得到的。

設計撥珠子的活動，讓學生在數的過程中直觀地認識滿十進一，珠子撥在個位，是計數單位“一”的累加；撥在十位，是計數單位“十”的累加…相同數量的珠子在不同的數位上表示的數的大小是不同的，讓學生進一步認識了位值制和十進制。接著，學生在分析和推理中創造出了一位小數的計數單位，是由“1”細分得到的。以個位為中心，計數單位實現了向兩側延伸，真正意義上將小數納入整數的學習體系，體現“數的認識”體系的不斷發展與完善，促進學生學習的正遷移。

【片段7】借助核心概念，在交流中形成結構化認知

師：我們已經學習了整數、小數和分數，這些數

之間有什么聯系呢？

生1：都是滿十進一。

生2：整數、小數和分數都能表示成“幾個幾”。第一個“幾”是說有幾個這樣的計數單位。第二個“幾”是“百、十、一”等，都是計數單位。

生3：比較整數、小數、分數時，都要轉化成相同的計數單位，實際上就是比計數單位的個數。

課程內容的結構化，彰顯了學習內容的整體性，揭示了數學學科內容的本質特征，對學生核心素養的形成至關重要。就數學而言，數的表達有共同之處，都是借助“計數單位”。部分學生也能自主遷移知識，察覺到數的大小比較本質上是比較“相同計數單位個數的多少”，進而感悟數的大小比較和數的概念具有一致性。在這樣的過程中，學生能夠在認數中探本求源，感悟數學概念的一致性，不斷完善數系結構，使思維走向深刻。

【參考文獻】

[1]張冬梅.數學實驗：在具身體驗中啟思明理—“小數的初步認識”教學設計與思考[].小學數學教育，2021（6）.

[2]楊怡.以計數單位為核心，感悟數的概念一致性：“數的認識總復習”教學實踐與思考[].小學教學研究，2024（16）.