數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

摘 要：文章以直線的傾斜角與斜率的教學(xué)為例，闡述了如何將數(shù)學(xué)建模融入傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容，使抽象概念具體化，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新思維。研究表明，基于實際問題的數(shù)學(xué)建模教學(xué)不僅能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能增強其應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和職業(yè)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高中數(shù)學(xué)；實際問題解決；教學(xué)創(chuàng)新

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）15-0035-03

收稿日期：2025-02-25

作者簡介：王喜慶，本科，二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

在當前的高中數(shù)學(xué)教育中，學(xué)生常常面臨著“學(xué)習(xí)內(nèi)容抽象”“與實際生活脫節(jié)”等問題，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣不高，應(yīng)用能力不足。數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)理論與實際應(yīng)用的橋梁，為解決這一困境提供了新的思路。本研究旨在探討如何將數(shù)學(xué)建模有效地融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是通過解決實際問題來提升教學(xué)效果和學(xué)生能力。本文以“直線的傾斜角與斜率”這一典型的高中數(shù)學(xué)知識點為例，詳細分析了如何設(shè)計和實施基于實際問題的數(shù)學(xué)建模教學(xué)，并通過這一案例，展示數(shù)學(xué)建模如何使抽象概念具體化、如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及如何培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新思維。

例題 已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。

解析 直線AB的斜率kAB=1-2-4-3=17，直線BC的斜率

kBC=-1-10-（-4）=-12，

直線CA的斜率kAC=-1-20-3=1.

由kABgt;0，kACgt;0知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角；由kBC＜0知，直線BC的傾斜角是鈍角。

1 數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

數(shù)學(xué)建模將抽象的數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實世界緊密聯(lián)系，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)注入了新的活力。通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生能夠看到數(shù)學(xué)在日常生活和各行各業(yè)中的應(yīng)用，這大大提高了他們的學(xué)習(xí)興趣和動力。例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)時，學(xué)生通過建立商品供需模型來理解函數(shù)關(guān)系，使枯燥的公式變得生動有趣。數(shù)學(xué)建模還培養(yǎng)了學(xué)生的問題解決能力和創(chuàng)新思維[1]。在建模過程中，學(xué)生需要分析問題、提出假設(shè)、建立模型、求解驗證，這一系列步驟鍛煉了他們的邏輯思維和實踐能力。更重要的是，數(shù)學(xué)建模打破了學(xué)科界限，讓學(xué)生認識到了數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、經(jīng)濟等學(xué)科的密切關(guān)聯(lián)，為他們未來的學(xué)習(xí)和職業(yè)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

2 基于實際問題的數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計

2.1 教學(xué)設(shè)計的原則和目標

基于實際問題的數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計應(yīng)遵循“以學(xué)生為中心”的核心原則，教學(xué)目標應(yīng)聚焦提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、培養(yǎng)學(xué)生的建模思維，以及增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在設(shè)計過程中，教師需要將抽象的數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實世界緊密聯(lián)系，使學(xué)生能夠在真實情境中理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。教學(xué)設(shè)計還應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)新能力，鼓勵他們從多角度分析問題，并提出創(chuàng)新性解決方案[2]。同時，團隊協(xié)作能力的培養(yǎng)也是重要目標之一，可通過小組討論和項目展示等形式實現(xiàn)。最終教學(xué)設(shè)計應(yīng)旨在培養(yǎng)學(xué)生自主運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)的態(tài)度。

2.2 實際問題的選擇和設(shè)計

選擇和設(shè)計合適的實際問題是數(shù)學(xué)建模教學(xué)成功的關(guān)鍵。問題應(yīng)具備以下特征：貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗、具有一定的挑戰(zhàn)性但不過于復(fù)雜、能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。問題設(shè)計應(yīng)考慮到不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生，可設(shè)置基礎(chǔ)和進階兩個層次的任務(wù)，確保所有學(xué)生都能參與其中，同時為優(yōu)秀學(xué)生提供更大的挑戰(zhàn)。此外，問題設(shè)計還應(yīng)注重與其他學(xué)科的聯(lián)系，促進學(xué)生形成跨學(xué)科思維。在選擇問題時，應(yīng)考慮其現(xiàn)實意義和應(yīng)用價值，使學(xué)生能夠體會到數(shù)學(xué)在解決實際問題中的重要性。問題的開放性也是一個重要因素，應(yīng)為學(xué)生的創(chuàng)新思維留有空間。

2.3 教學(xué)流程的規(guī)劃

數(shù)學(xué)建模教學(xué)的流程應(yīng)清晰有序，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握建模的方法。一般可將教學(xué)分為問題提出、數(shù)據(jù)收集、模型建立、求解驗證和結(jié)果應(yīng)用五個階段。在問題提出階段，重點是引導(dǎo)學(xué)生理解問題背景，明確建模目標；數(shù)據(jù)收集階段側(cè)重于教授數(shù)據(jù)獲取和處理的方法；模型建立階段重點培養(yǎng)學(xué)生選擇合適數(shù)學(xué)工具的能力；求解驗證階段強調(diào)運用數(shù)學(xué)知識求解模型并驗證其準確性。

3 案例分析：直線的傾斜角與斜率的數(shù)學(xué)建模教學(xué)

3.1 教學(xué)內(nèi)容概述

本節(jié)課程聚焦直線的傾斜角與斜率，圍繞一個具體例題展開教學(xué)。內(nèi)容涵蓋傾斜角的定義、斜率的計算方法及其幾何意義，以及傾斜角與斜率之間的關(guān)系。通過分析已知三點A（3，2），B（-4，1），C（0，-1）所構(gòu)成的三條直線，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)如何計算斜率并判斷傾斜角的性質(zhì)。這個過程不僅強化了學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，還培養(yǎng)了其空間想象能力和邏輯思維。課程設(shè)計將抽象概念與實際應(yīng)用緊密結(jié)合，如將點和線解釋為主題公園中的景點和道路，使學(xué)生理解這些數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實世界中的應(yīng)用。

3.2 實際問題的引入

課程開始時，教師將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一個生動的實際場景。想象正在設(shè)計一個獨特的主題公園，需要規(guī)劃連接三個主要景點的道路。這些景點的位置由坐標點A（3，2），B（-4，1），C（0，-1）表示。任務(wù)是計算這些道路的坡度（即斜率），并判斷它們是上坡還是下坡（即傾斜角的性質(zhì)）。這樣的引入立即將枯燥的數(shù)學(xué)問題與學(xué)生感興趣的實際情境聯(lián)系起來。教師展示一些著名主題公園的地圖或3D模型，進一步激發(fā)學(xué)生的興趣。通過這種方式，學(xué)生不僅能夠理解問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，還能認識到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中的重要應(yīng)用。

3.3 數(shù)學(xué)建模過程的展開

數(shù)學(xué)建模過程從在坐標系中標注三個點開始，學(xué)生需要在圖上連接這些點形成三條直線。接下來，引導(dǎo)學(xué)生計算每條直線的斜率。計算完成后，教師解釋斜率與傾斜角的關(guān)系：正斜率對應(yīng)銳角，負斜率對應(yīng)鈍角。據(jù)此，學(xué)生判斷直線AB和CA的傾斜角是銳角，而直線BC的傾斜角是鈍角。在這個過程中，教師使用動態(tài)幾何軟件（如GeoGebra）來可視化這些直線，讓學(xué)生直觀感受斜率變化對直線形態(tài)的影響。最后，引導(dǎo)學(xué)生分析結(jié)果，討論這三條“道路”的坡度特點，以及它們對主題公園設(shè)計和游客體驗的潛在影響。

3.4 學(xué)生參與和互動設(shè)計

為了提高課堂參與度，教學(xué)設(shè)計包含多種互動環(huán)節(jié)。教師將學(xué)生分成小組，每組負責一條直線的計算和分析。小組成員需要協(xié)作完成計算，討論結(jié)果的含義，并準備向全班展示。為了增加實踐性，讓學(xué)生使用卡紙和木棒制作簡單的地形模型，直觀展示這三條直線在三維空間中的位置關(guān)系。另外，組織一個創(chuàng)意環(huán)節(jié)，讓學(xué)生根據(jù)計算結(jié)果設(shè)計主題公園的特色景點或游樂設(shè)施。比如，斜率較大的直線設(shè)計為刺激的滑道，而斜率較小的則規(guī)劃為悠閑的步行道。學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件，嘗試調(diào)整點的位置，觀察斜率的變化，加深對概念的理解。

3.5 評估和反饋機制

評估采用多元化方式，注重過程性評價和終結(jié)性評價的結(jié)合。課堂上，教師通過觀察學(xué)生的討論參與度、問題解答情況進行即時評估，給予口頭反饋。小組展示環(huán)節(jié)采用同伴互評，每個小組需要對其他小組的計算過程和結(jié)果提出建設(shè)性意見，培養(yǎng)批判性思維。課后，學(xué)生需要完成一份設(shè)計報告，詳細說明他們的主題公園設(shè)計過程、數(shù)學(xué)計算步驟和最終方案。教師根據(jù)報告評估學(xué)生對概念的理解程度和應(yīng)用能力。此外，設(shè)計一個小測驗，包含基礎(chǔ)計算題和應(yīng)用題，全面檢測學(xué)生的掌握情況。評估結(jié)果將用于調(diào)整后續(xù)教學(xué)策略，對于普遍存在的問題，教師會在下一堂課進行針對性講解。

4 數(shù)學(xué)建模教學(xué)的效果分析

4.1 學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力的提升

數(shù)學(xué)建模教學(xué)顯著提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力。在直線傾斜角與斜率的教學(xué)中，教師將抽象概念與主題公園設(shè)計相結(jié)合，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值[3]。課堂觀察顯示，學(xué)生參與討論的積極性明顯增加，提問次數(shù)較傳統(tǒng)教學(xué)增加了約40%。課后問卷調(diào)查結(jié)果表明，85%的學(xué)生認為這種教學(xué)方式讓數(shù)學(xué)變得更有趣。通過設(shè)計主題公園路線的練習(xí)，學(xué)生學(xué)會了自主分析問題、建立模型、求解并驗證結(jié)果。測試數(shù)據(jù)顯示，在應(yīng)用題的解答能力上，實驗班比對照班提高了30%。一位教師觀察到學(xué)生現(xiàn)在能夠主動將數(shù)學(xué)知識與日常生活聯(lián)系起來，比如分析學(xué)校操場跑道的坡度是否合理。

4.2 創(chuàng)新思維的培養(yǎng)及其影響

數(shù)學(xué)建模教學(xué)為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維提供了肥沃土壤。在傾斜角與斜率的教學(xué)案例中，學(xué)生不僅要計算和分析，還要創(chuàng)造性地設(shè)計主題公園。這個過程激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。例如，一組學(xué)生提出利用不同斜率設(shè)計多樣化的游樂設(shè)施，如高斜率的驚險滑道和低斜率的觀光路線，另一組學(xué)生則創(chuàng)新性地提出了可變斜率的動態(tài)步道概念。在創(chuàng)新能力評估中，90%的學(xué)生表現(xiàn)出比課程開始時更強的創(chuàng)新意識。一位學(xué)生分享：“我現(xiàn)在看問題的角度變多了，會思考如何用數(shù)學(xué)知識創(chuàng)造新事物?！边@種創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，不僅適用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還將對學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和工作產(chǎn)生深遠影響。

4.3 教學(xué)挑戰(zhàn)及其解決策略

盡管數(shù)學(xué)建模教學(xué)效果顯著，但在實施過程中也面臨一些挑戰(zhàn)。時間管理是主要問題之一，建模過程往往需要更多時間，可能影響教學(xué)進度。為此，教師采取了預(yù)習(xí)制度，讓學(xué)生提前了解基本概念，課堂時間專注于建模和應(yīng)用。學(xué)生的水平差異也是一個挑戰(zhàn)，部分學(xué)生可能難以跟上建模過程。針對這一問題，應(yīng)實施分層教學(xué)策略，設(shè)計不同難度的任務(wù)，確保每名學(xué)生都能參與。

5 結(jié)束語

文章通過探討數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，特別是以直線的傾斜角與斜率為例，展示了如何將抽象的數(shù)學(xué)概念與實際問題相結(jié)合，從而提高教學(xué)效果。研究結(jié)果表明，基于實際問題的數(shù)學(xué)建模教學(xué)能夠顯著提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維。這種教學(xué)方法不僅使數(shù)學(xué)知識更加貼近實際，也為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和職業(yè)發(fā)展奠定了堅實基礎(chǔ)。未來的研究應(yīng)進一步探索如何在更廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用這種教學(xué)方法，以及如何將數(shù)學(xué)建模更深入地融入整個高中數(shù)學(xué)課程體系。同時，也需要關(guān)注教師培訓(xùn)和教學(xué)資源開發(fā)等方面，以確保數(shù)學(xué)建模教學(xué)的有效實施和持續(xù)發(fā)展。

參考文獻：

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［責任編輯：李慧嬌］