初中幾何證明應指導學生練好三項基本功

張建剛

摘 要： 幾何證明是初中數學學習內容中重要的組成部分。通過幾何證明的學習可以培養學生的判斷和推理能力，發展學生的邏輯思維能力和嚴謹的科學態度。作者認為在初中幾何證明教學中除了要讓學生熟練掌握一些基本證明方法外，還應該指導學生練好三項基本功：一是加強對概念和定理的理解，二是發展幾何觀念和培養幾何直觀，三是開闊視野、積累經驗。通過這三項基本功的訓練為學生做幾何證明夯實基礎，讓學生學習幾何證明不再困難，不斷體驗成功，激發學習興趣。

關鍵詞： 初中數學教學 幾何證明 三項基本功

幾何證明是初中數學學習內容中重要的組成部分。通過幾何證明的學習可以培養學生的判斷和推理能力，發展學生的邏輯思維能力和嚴謹的科學態度。然而在學生的學習過程中存在如下問題：題與圖之間難以對應起來、不會用符號語言描述因果關系和證明過程、證明時候思維混亂無從下手、不會作輔助線等。針對這些問題，我認為在初中幾何證明教學中除了要讓學生熟練掌握一些基本證明方法，還應該指導學生練好以下三項基本功。

一、深刻理解相關概念和定理

教學中我們不僅要讓學生經歷概念、定理的形成過程，更要在促進學生深入理解這些概念和定理上下工夫。在幾何證明中這些概念、基本事實和相關定理是學生進行幾何證明時的出發點和依據，只有對其有深刻理解，才能有效提高學生幾何證明的能力。我在平時教學中要求學生對概念、定理的掌握要做到“會說、會畫、會寫”。

會說就是要能夠用語言準確地描述定理的內容；會畫就是要能夠畫出其基本圖形；會寫就是能夠結合基本圖形用數學符號語言對定理進行描述。

例如：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）。應該能夠畫出如下圖形并用數學符號語言描述。

基本圖形：

符號語言：如圖，在△ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C。

這樣可以在深刻理解定理的基礎上提高學生識圖與畫圖的能力，培養學生對符號語言的理解和運用能力，為學生進行幾何證明打下堅實的基礎。使學生在幾何證明時，做到既能識別表示各個概念的簡單圖形，又能在復雜的圖形中識別出表示某個概念的那部分圖形，并能夠熟練運用符號語言進行說理論證。

二、發展空間觀念與培養幾何直觀

《新課標》指出：空間觀念主要是指根據物體特征，抽象出的幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描寫實物，想象出實物的方位和它們的相互位置關系，描述圖形的運動和變化，根據語言的描述，畫出圖形，等等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀，可以把復雜的數學問題，變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習中發揮重要的作用。

顯然發展空間觀念與培養幾何直觀對學生學好數學，特別是學好幾何證明起到至關重要的作用。關于空間觀念是實物和圖形之間的關系，一方面是通過實物，根據實物來抽象出幾何圖形。另一方面是根據幾何圖形想象出所描述的實際物體，其中一個是抽象，一個是想象。

希爾伯特在他寫的《直觀幾何》序言里頭寫了這樣三層維度。第一層意思，圖形可以幫助刻畫和描述問題。一旦用圖形把一個問題描述清楚，就有可能使這個問題變得直觀、簡單。第二個層意思，圖形可以幫助發現、尋找解決問題的思路。第三層意思，圖形可以幫助表述結果，可以幫助記憶結果。

為了幫助學生建立幾何直觀，在教學過程中我著重訓練學生聯想和猜想的能力。聯想是指在證明過程中看到題目中的相關條件、問題或圖形，要能夠及時從記憶里提取出相關定理及蘊含其中的因果關系。比如，題目中提到角平分線就要能夠立刻想起角平分線的定義和角平分線的兩個定理；看到圖中有角平分線上的點就想到作這一點到角兩邊的垂線段；如果求證兩個角度數相等，就要想到“同角（或等角）的余角（或補角）相等”“對頂角相等”“全等三角形的對應角相等”等定理；看到圖中有直角三角形就要想到“直角三角形的兩個銳角互余”“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，等等。

猜想不是胡思亂想和任意拼搏，它也是一種科學思維活動。就是依據題目提供的條件與圖形結合自己的經驗按邏輯推理的規律而進行的思維活動。猜想的結果可能是錯誤的，這就需要我們去驗證、去偽存真。雖然錯誤的猜想會讓我們在證明過程中誤入歧途，但是它會給我們的證明提供更多的思路，積累更多的經驗。

在教學過程中，我的具體做法如下：一是加強示范，在講解例題時，把自己的想法和分析問題的思路給學生厘清；二是加強針對性訓練，經常找一些針對性強的題目讓學生去思考、交流、探討，幫助他們體驗成功，激發興趣。

我們要加強在此方面的引導和訓練，讓學生學會正確地聯想和合理地猜想。通過訓練讓學生把數與形、題與圖有機結合起來，發展學生的空間觀念和幾何直觀，為學生學好幾何證明打下堅實的基礎。

三、開闊視野，積累經驗

學生在幾何證明中感到困難的原因很多，主要是由于缺乏經驗，證題經驗不足、模式不多，因此對于新的題目常感到不知所措。對于經驗的積累，我認為主要包括證明思路和證明技巧兩個方面。

幾何證明最難莫過于沒有思路。怎樣積累證明思路呢？這主要靠聽講，看書時積極思考，不僅弄明白“如何證明”，還要進一步追究“證明題方法是如何想出來的”。只有經常這樣獨立思考，才會使自己的思路開闊。隨著證明題難度的增加，還要教會學生用“兩頭湊”的方法，即在同一個證明題的分析過程中，分析法與綜合法并用，縮短已知與未知之間的距離，在教學安排時，要給學生足夠的時間思考，而且重復證明思路，提高學生對解題思路的理解和應用能力。

關于證明技巧，其實就是指如何選用合適的定理，如何作輔助線，如何應對運動變換類型的證明題。其中，輔助線的作法是許多學生在幾何證明過程中存在的最大困難。

實踐出真知，理論問題從實踐中提煉的，方法與巧技也是從經驗中獲得的。俗話說“熟能生巧”，什么是“熟”？“熟”就是經驗。不斷積累解題經驗，探索解題規律，可以充實和豐富解題的經驗。

在平時的學習中，我要求學生不僅要多練習還要做個有心人，把一些典型題目的解題方法和思路記錄下來，特別是“一圖多用”“一題多變”“一題多解”等類型的題目要認真鉆研、體會，熟記于心。這樣通過長期積累可以有效地提高學生的證題效率，使其掌握更多的證題技巧并形成自己的經驗。這些經驗和技巧會存放于我們的頭腦里，這樣在進行幾何證明時就能做到胸有成竹，觸類旁通。

為了促進學生經驗的積累，我們要做好兩方面的工作：一是精選題型，我常常就一類型的題目查找大量的中考試卷和各種資料，然后匯編成練習題讓學生練習；二是加強檢查與考查，定期檢查學生的筆記，并在單元檢測中或是月考中考查學生掌握的程度。

總之，我們不能總是抱怨學生的錯誤，現在他們感到有困難，大多是因為剛剛接觸這些內容，還沒有具備相關的學習經驗或者還沒有習慣這種說理的方式。只要我們善于引導，勤于訓練，鼓勵學生勤于思考，善于總結，學生就一定能學好幾何證明。