提高學生使用“數形結合法”解三角函數問題的能力

甘正健

【關鍵詞】數形結合法 三角函數 策略研究

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）07B-0014-03

數形結合法是學習中學數學的一種非常重要的解題思想方法，它可以把方程、函數、不等式、圖形的位置關系、圖形的數量關系巧妙地連接在一起，堪稱珠聯璧合的高手。正如著名數學家華羅庚所言：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形無數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離。”

一、問題的提出

數形結合法由于其解法的巧妙性，在考試中往往能節約不少做題時間，并且每年高考都有不少用數形結合法可以快速求解的題型。從2005年、2006年和2008年的高考改卷情況看，這些題的得分率卻不高。為此，筆者特意在使用數形結合法最多的《三角函數》中在所帶過的四屆學生中進行了調查，調查對象為高一年級下學期的學生，每期參與調查的學生人數平均為117人，調查結果如下（見下頁表1、表2）：

從上述的調查可以看出：①在解三角函數問題時，想到使用數形結合法解題的學生非常少；②對不同的考題，使用數形結合法的學生人數也有顯著差異；③本校學生的數形結合能力總體較低，主要體現在基礎知識的缺漏及數形結合的橋梁無法搭建或錯誤構建；④使用數形結合法有時并不是最優的解題思想方法，有可能會增加解題的負擔；⑤某些題目中恰當使用數形結合法解題正確率遠遠高于非數形結合法。

二、經驗提升及反思教學

縱觀傳統教學過程中數形結合法的有效教學策略，筆者根據多年的教學經驗總結出以下幾個方面：

1.歸納整理出能使用數形結合法的考題特征。如黑龍江省大慶實驗中學的黃萍列舉了數形結合法在判斷方程根的個數問題、在解不等式、在線性規劃、在圓和圓錐曲線中的應用。又如鹽亭縣職業高級中學的何大涌也歸納出運用數形結合法巧解高考三角函數問題的求函數的最值、確定角的范圍、判斷函數的單調性、函數零點或方程的根、確定參數的范圍等五種考題特征。另外，廣西師范大學教授袁桂珍也整理出了驗證類、圖形重組類、探索規律類等八大類。

2.注意數與形的聯系，構建常見的數與形的關系表格。

3.舉一反三，變式教學。

4.從“數”想“形”，可由“形”到“數”，也可由“數”到“形”，甚至實現數與數、形與形的直接對接。筆者對這四屆學生采用傳統教學模式，對上面四種有效的數形結合教學策略進行嘗試，但學生對用數形結合法解決三角函數問題卻很不敏感。

三、形成探究課題

縱觀各種提高高中生解題能力的研究，筆者發現有兩點共性很高。其一是“教法”上想辦法：如改變教學理念，改進教學方法和教學模式；思維誘導強化，培養學生學習數學的興趣；注重能力訓練，發展學生數學應用意識。其二是“學法”上下工夫：如增強主動性，養成好習慣；增強獨立性，突破“師言堂”；增強探求性，樹立自信心。

其中，針對教學模式的改革，筆者在高2011級學生班級實施新課堂教學模式，經過上半學期的嘗試，筆者發現新課堂教學模式與傳統模式有很大的不同。因此，筆者饒有興趣地開展了在新課堂模式下，提高學生應用數形結合法解三角函數問題的研究，并根據傳統教學的有效策略，制訂了以下幾種策略。

（一）策略一：精心設計導學案，潤物細無聲，數形結合巧然現

由于在新課堂模式下，教師對學生引導最多、最集中、最有效的就是導學案，它不僅可以把教師想點到的內容進行呈現，也是學生順利構建知識框架的基礎。

途徑1：概念的教學是中學數學的一個重要板塊，據統計，高中階段理科概念有396個，文科概念有359個，而可以構建數形關系的概念占95%左右。因此，精心設計導學案，從數與形對概念進行螺旋式轉換，是夯實“數形結合”的根基，是開啟學生對數形結合法解三角函數問題敏感度大門的一個有效途徑。

途徑2：在傳統教法中，歸納整理出能使用數形結合法的考題特征是提升學生數形結合法解題敏感度非常有效的教學策略。所以在新課堂模式下，精心設計導學案，可以將傳統法中這一策略發揮到極致。

筆者對這十年來廣西高考題中涉及三角函數內容的考題進行研究，歸納出可以使用數形結合法的考題類型：求特殊角的三角函數值、知角求值、知值求值、知值求角、函數的值域（含最大值和最小值）、確定角的范圍、判斷函數的單調性、函數零點或方程的根、確定參數的范圍、解斜三角形等等。因此，我們應該精心設計導學案，提升學生用數形結合法解決三角函數問題的敏感度。

途徑3：精心設計導學案，對新課內容、專題內容、復習課內容、習題課內容、講評課內容都可以進行必要且精彩的呈現。在不同的課型中，只要保持將數形結合法貫穿始終，教學完成三角函數后，學生至少有5次以上的重復感知、提升數形結合法的機會，基本可以達到熟記水平。因此，精心設計導學案，可以讓學生在學習三角函數的過程中，充分感知“隨風潛入夜，潤物細無聲”的學習效果。

（二）策略二：充分發揮小組合作優勢，集中火力，數形結合展魅力

小組合作模式是新課堂模式與傳統課堂模式在形式上的最大差異。新課堂模式下，課堂的所有環節都圍繞小組合作形式展開，小組的形成是極有講究的，一般是按AABBCC分組，每個組內均有數形結合思維強和思維弱的同學，也就是組間同質、組內異質，所以如果能充分發揮小組合作形式的優勢，對學科知識的傳授就可以做到有的放矢、游刃有余，對提升學生運用數形結合法解三角函數問題的敏感度同樣具有較強的作用。如何讓這個策略有效實施，筆者認為可以通過以下幾個途徑達成。

途徑1：充分利用小組展示機制。新課堂模式下每個小組都要進行展示，各小組為了能在全班同學面前展示新知識，他們必將對需要展示的知識進行課前研究，做到自己會，小組的同學也要會，更重要的是能清晰地告訴全班同學，說清思路、理順關系、獲得相應結論等等。所以充分利用好小組的展示，對提升學生使用數形結合法解題的敏感度是非常有意義的。就三角函數有關的值域（含最大值、最小值）專題來說，我們可以分為以下幾個小專題進行討論：

1.函數y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的圖象和性質，如何求該函數的最大值和最小值；如果限制定義域，如何求最大值和最小值。

2.函數f（x）=sinx+2cosx可以化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式嗎？函數f（x）=sin2x+cos2x可以化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式嗎？若可以，請求出它們的值域。

3.函數y=cos2x+2sinx-1可以化為y=Asin（ωx+φ）+k形式嗎？如果不行，該怎么解決該函數的值域問題？

4.函數y=sinx+（x≠kπ，k∈Z）；函數f（x）=；函數f（x）=log2（sinx+cosx）可以化為y=Asin（ωx+φ）+k形式嗎？如果不行，該怎么解決該函數的值域問題？

5.從上面這些專題中，你可以就與三角函數有關的函數值域問題說說你的心得及在數形結合法應用上的感受嗎？

教學反思：為什么單一的函數學生利用起來得心應手，數形結合感挺好的，但復合起來之后，學生就陷入思維死胡同呢？筆者認為除了代數中“形”的變化跟不上，還有一種叫后攝抑制的思維在影響著學生數形結合能力的提升，即學生學了后面的知識，或學了當前的知識，他們就習慣用最近所學的知識去解決問題，而缺乏全局思想。一旦通過小組展示，小組必須在課前或課中進行對學和群學，在互相學習的過程中，前后的知識得以互相融合，基礎函數的圖象和性質就有機地整合了，從而對數形結合的敏感度就不是單一的了，而形成了一種復合型思維。

途徑2：小組點評機制。在新課堂模式下，優秀的點評猶如優秀的展示，到位的點評，可以一語道破天機，是打開認知大門的一把鑰匙，是洞穿紛繁復雜的解題思維的一雙利眼！學生要給出漂亮的點評，他必須首先對該展示內容能聽懂、悟透，并且通過同學的展示也能得到一定程度的啟發。這樣，不但培養了學生的洞察力、表達能力，更能間接地反映出其他學生的課堂學習接受程度以及對所展示的知識的傳授程度，這對提高學生數形結合的敏感度而言是一條重要途徑。

途徑3：小組質疑機制。在新課堂模式下，每個小組都可以就別組展示的內容提出質疑，從而推動對研究內容進一步深化。有質疑，必有新意，必有收獲，必有提升；每一次質疑，都會引發師生的思考、激辯，引發思維火花的相互碰撞。

（三）策略三：組織、激發小組學習，數形結合自覺使

小組課堂上應用數形結合法解三角函數值域的各種漂亮展示，從而讓課堂流暢，讓學生對數形結合法應用的敏感度有不同程度的提升，這些要取決于小組學習的組織與激發，筆者認為可以通過以下途徑達到效果。

途徑1：小組作業機制。在新課堂模式下，筆者對作業采用了如下機制：對每天布置的作業，一般都是導學案（靈活組織、選擇課本內容及所使用的教輔書內容構成），老師每個小組抽改一本，然后當天得到老師批改的同學就是當天的數學組長，這個數學組長拿到老師批改的作業后，根據老師給的正確、規范的解題步驟或提示，批改本小組其他同學的作業，一般每天花8分鐘左右。另外，一周內，每組的數學組長不能相同。在學期開始，每個小組每位成員均有100分的基礎分，每個小組也有100分的基礎分，老師每天批改作業時都檢查當天數學組長的作業是否得到其他小組的數學組長的批改，對盡到當天數學組長工作的給予加分，沒盡責的則減分，同組里若一周內有重復當數學組長的全組減分，學期結束后按分數多少進行獎勵。在這個作業機制下，每位同學都可以得到老師批改作業，都可以得到其他組員的幫助和分析，并且每位同學對他們所批改的當次作業一般有6次重復的審視和閱讀及理解，特別是他們在糾錯的過程中必然對正確的解題步驟的掌握達到最佳階段，每天所學的知識自然而然得到強化，對數形結合法敏感性的提升當然也不在話下。

途徑2：小組活動機制。小組活動機制含有小組成員的獨學、對學與群學。筆者認為小組活動機制特別適合提高學生使用數形結合法解三角函數問題的敏感度，因為在一個小組內，有些成員對數的“形變”特別敏感，有些成員對圖的“形變”特別敏感，有些對“數”特別敏感，就是所謂的數感。而共同都不敏感及都敏感的地方更方便在課堂上小組活動時老師對他們進行共同點撥。

（四）策略四：實戰之中，重視選擇題及填空題的思維暴露，數形結合顯神威

課本的例題有很強的示范性及指導性，而課本的習題也有很強的指向性；測驗試題是老師精心備課、上課的前提下出的有針對性的考題；高考真題，更是檢測學生學習情況的最典型的代表。在新課堂模式下，這些習題教師應很好地融合起來，注意做好歸類、比較和拓展，注意把它們編進平時的測驗題中。特別是三角函數部分的考題，在高考中使用數形結合法解題大多出現在選擇題及填空題，學生做這些題時，老師是看不出他們的思維過程的，筆者認為，要提升學生使用數形結合法解三角函數問題敏感度，還應該設立小組講評機制：布置好每個小組的講評任務，讓每個小組把本小組內所有成員的解題過程都展示出來，不論是對、是錯，從而大面積的暴露學生的思維過程，從中，我們會發現他們數形結合的不敏感部分。案例：已知sinα=，且α∈（-，-π），求tanα= 。這是一道非常典型的知值求值題，通過代數變形計算就可以求出，很多老師估計不會在數形結合方面注重這樣的一道題，筆者之前也是如此。而在新課堂模式下，筆者采用小組講評機制后，有一個小組的同學呈現他們的做法有。

從這些學生的解法中，我們欣喜地看到他們不但具有了代數抽象變形的能力，而且在“數”與“形”結合點的選擇上也有了或許更快捷、更直觀的結合點。

（責編 林 劍）