對(duì)一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的探析

張金蘭

摘要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是與大學(xué)數(shù)學(xué)銜接的一個(gè)橋梁.隨著新課程改革的進(jìn)程，近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列知識(shí)的考查，常以壓軸題的形式出現(xiàn).這些題型重點(diǎn)考查考生的推理能力、歸納能力、綜合應(yīng)用能力和相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也注重與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；高中數(shù)學(xué)；高考

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是與大學(xué)數(shù)學(xué)銜接的一個(gè)橋梁.由于它在考查考生的邏輯推理能力、歸納猜想能力、創(chuàng)新能力等方面有不可替代的作用，數(shù)列在歷年的高考試題中都占有重要的位置.有關(guān)數(shù)列的綜合題更是考生解題能力與數(shù)學(xué)思想的集中體現(xiàn)，隨著新課程改革的進(jìn)程，近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查.

2008年廣東高考數(shù)學(xué)（理科）卷第21題正是對(duì)數(shù)列相關(guān)知識(shí)的考查，題目如下：

本文試圖從更高的視角解讀此題，這里主要對(duì)第（2）問進(jìn)行探討.

一、從考查高中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度看

根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，在中學(xué)常用的求解方法是構(gòu)造等比（等差）數(shù)列、迭代法、待定系數(shù)法或數(shù)學(xué)歸納法. 這里可通過構(gòu)造等比數(shù)列或數(shù)學(xué)歸納法求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式，文[2]給出了多種求解方法.但筆者認(rèn)為，求數(shù)列通項(xiàng)公式的最為質(zhì)樸和實(shí)用的方法應(yīng)是數(shù)學(xué)歸納法.原因有二，其一，從解題過程看，數(shù)學(xué)歸納法顯得更為自然合理，而構(gòu)造法則體現(xiàn)了一定的構(gòu)造技巧；其二，從思想方法看，數(shù)學(xué)歸納法作為高中學(xué)生必須掌握的思想方法經(jīng)常應(yīng)用在數(shù)列的相關(guān)題目中，它能集中考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的歸納、猜想和推理能力，這種能力也正是新課程標(biāo)準(zhǔn)非常強(qiáng)調(diào)的.

下面對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的求解過程進(jìn)行分析.

二、從競(jìng)賽的角度看

對(duì)于參加過奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽或訓(xùn)練的高中學(xué)生來說，求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式則會(huì)有更大的發(fā)揮空間.遞推關(guān)系xn=pxn-1-qxn-2是二階常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系，在競(jìng)賽中求這類數(shù)列常用的方法是特征根法，此法簡(jiǎn)單直接.

下面用特征根法給出求解過程.

三、從高等數(shù)學(xué)的角度看

當(dāng)我們站在高等數(shù)學(xué)的框架下看遞推關(guān)系xn=pxn-1-qxn-2時(shí)，它與組合數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)有著千絲萬縷的聯(lián)系，它隱含著大家所熟悉的經(jīng)典遞推數(shù)列.

數(shù)學(xué)教師如果能將高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，站在更高的視角看待中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，則在處理許多問題時(shí)會(huì)顯得更加游刃有余.雖然我們不能將高等數(shù)學(xué)的方法傳授給學(xué)生，但可讓他們對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容獲得更深的認(rèn)識(shí)，同時(shí)培他們良好的數(shù)學(xué)思想.

2008年廣東高考數(shù)學(xué)（理科）卷第21題的美妙之處就在于它體現(xiàn)了新課程下高中與初中知識(shí)的銜接，考查了高中數(shù)學(xué)最為重要的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，也實(shí)現(xiàn)了初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)的過渡，出題者可謂用心良苦.

參考文獻(xiàn)：

[1] 曹汝成.《組合數(shù)學(xué)》[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2000.1.

[2] 陶磊.《樸實(shí)無華，返璞歸真——2008年高考廣東（理科）卷第21題賞析》[J].廣東教育，2008.7.

[3] 鄒發(fā)明.非線性遞歸數(shù)列化歸為線性遞歸數(shù)列的常見技巧[J].中等數(shù)學(xué)，2008.4.

[4] 鄒小維.魯卡斯（Lucas）數(shù)列的幾個(gè)性質(zhì)[J].黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006.6.

（作者單位：東莞市樟木頭中學(xué)廣東東莞 523621 ）