《直線與平面平行的判定》教學案例

王安園

【摘要】本節課的設計遵循“直觀感知——操作確認——思辯論證”的認識過程，注重引導學生通過觀察、操作交流、討論、有條理的思考和推理等活動，引導學生從中抽象概括出定理。對定理的運用從易到難，由淺入深地強化對定理的認識，有利于培養學生思維能力和解決問題的能力。

【關鍵詞】高中數學 引導探究 抽象概括 培養能力

【中圖分類號】G633.63 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）8 -0231-02

一、教學內容分析

本節課是在前面已學空間點、線、面位置關系的基礎作為學習的出發點，結合有關的實物模型，通過直觀感知、操作確認（合情推理，不要求證明）歸納出直線與平面平行的判定定理。本節課的學習對培養學生空間感與邏輯推理能力起到重要作用，特別是對線線平行、面面平行的判定的學習作用重大。

二、學生學習情況分析

任教的學生在年段屬中上程度，學生學習興趣較高，但學習立幾所具備的語言表達及空間感與空間想象能力相對不足，學習方面有一定困難。

三、設計思想

遵循從具體到抽象的原則，適當運用多媒體輔助教學手段，借助實物模型，通過直觀感知，操作確認，合情推理，歸納出直線與平面平行的判定定理，將合情推理與演繹推理有機結合，讓學生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，揭示直線與平面平行的判定、理解數學的概念，領會數學的思想方法，養成積極主動、勇于探索、自主學習的學習方式，發展學生的空間觀念和空間想象力，提高學生的數學邏輯思維能力。

四、教學目標

通過直觀感知——觀察——操作確認的認識方法理解并掌握直線與平面平行的判定定理，掌握直線與平面平行的畫法并能準確使用數學符號語言、文字語言表述判定定理。培養學生觀察、探究、發現的能力和空間想象能力、邏輯思維能力。讓學生在觀察、探究、發現中學習，在自主合作、交流中學習，體驗學習的樂趣，增強自信心，樹立積極的學習態度，提高學習的自我效能感。

五、教學重點與難點

重點是判定定理的引入與理解，難點是判定定理的應用及立幾空間感、空間觀念的形成與邏輯思維能力的培養。

六、教學過程設計

（一）知識準備、新課引入

提問1：根據公共點的情況，空間中直線a和平面有哪幾種位置關系？

提問2：根據直線與平面平行的定義（沒有公共點）來判定直線與平面平行你認為方便嗎？談談你的看法，并指出是否有別的判定途徑。

（二）判定定理的探求過程

1、直觀感知

提問：根據同學們日常生活的觀察，你們能感知到并舉出直線與平面平行的具體事例嗎？

生1：例舉日光燈與天花板，樹立的電線桿與墻面。

生2：門轉動到離開門框的任何位置時，門的邊緣線始終與門框所在的平面平行（由學生到教室門前作演示），然后教師用多媒體動畫演示。

[學情預設：此處的預設與生成應當是很自然的，但老師要預見到可能出現的情況如電線桿與墻面可能共面的情形及門要離開門框的位置等情形。]

2、動手實踐

教師取出預先準備好的直角梯形泡沫板演示：當把互相平行的一邊放在講臺桌面上并轉動，觀察另一邊與桌面的位置給人以平行的感覺，而當把直角腰放在桌面上并轉動，觀察另一邊與桌面給人的印象就不平行。又如老師直立講臺，則大家會感覺到老師（視為線）與四周墻面平行，如老師向前或后傾斜則感覺老師（視為線）與左、右墻面平行，如老師向左、右傾斜，則感覺老師（視為線）與前、后墻面平行（老師也可用事先準備的木條放在講臺桌上作上述情形的演示）。

[設計意圖：設置這樣動手實踐的情境，是為了讓學生更清楚地看到線面平行與否的關鍵因素是什么，使學生學在情境中，思在情理中，感悟在內心中，學自己身邊的數學，領悟空間觀念與空間圖形性質。]

3、探究思考

（1）上述演示的直線與平面位置關系為何有如此的不同？關鍵是什么因素起了作用呢？通過觀察感知發現直線與平面平行，關鍵是三個要素：①平面外一條線 ②平面內一條直線 ③這兩條直線平行。

（2）如果平面外的直線a與平面內的一條直線b平行，那么直線a與平面平行嗎？

4、歸納確認：（多媒體幻燈片演示）

直線和平面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線和這個平面平行。

簡單概括：（內外）線線平行線面平行

作用：判定或證明線面平行。

關鍵：在平面內找（或作）出一條直線與面外的直線平行。

思想：空間問題轉化為平面問題。

（三）定理運用，問題探究（多媒體幻燈片演示）

1、想一想：

（1）判斷下列命題的真假？說明理由：

①如果一條直線不在平面內，則這條直線就與平面平行（ ）

②過直線外一點可以作無數個平面與這條直線平行（ ）

③一直線上有二個點到平面的距離相等，則這條直線與平面平行（ ）

2、作一作：

設a、b是二異面直線，則過a、b外一點p且與a、b都平行的平面存在嗎？若存在請畫出平面，不存在說明理由？

先由學生討論交流，教師提問，然后教師總結，并用準備好的羊毛針、鐵線、泡沫板等演示平面的形成過程，最后借多媒體展示作圖的動畫過程。

[設計意圖：這是一道動手操作的問題，不僅是為了拓展加深對定理的認識，更重要的是培養學生空間感與思維的嚴謹性。]

3、證一證：

例1（見課本60頁例1）：已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，求證：EF || 平面BCD。

變式一：空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA中點，連結EF、FG、GH、HE、AC、BD請分別找出圖中滿足線面平行位置關系的所有情況。

變式二：在變式一的圖中如作PQ EF，使P點在線段AE上、Q點在線段FC上，連結PH、QG，并繼續探究圖中所具有的線面平行位置關系？（在變式一的基礎上增加了4組線面平行），并判斷四邊形EFGH、PQGH分別是怎樣的四邊形，說明理由。

[設計意圖：設計二個變式訓練，目的是通過問題探究、討論，思辨，及時鞏固定理，運用定理，培養學生的識圖能力與邏輯推理能力。]

（四）總結

先由學生口頭總結，然后教師歸納總結（由多媒體幻燈片展示）：

1、線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與這個平面平行。

2、定理的符號表示：簡述：（內外）線線平行則線面平行

3、定理運用的關鍵是找（作）面內的線與面外的線平行，途徑有：取中點利用平行四邊形或三角形中位線性質等。

七、教學反思

本節課的設計遵循“直觀感知——操作確認——思辯論證”的認識過程，注重引導學生通過觀察、操作交流、討論、有條理的思考和推理等活動，從多角度認識直線和平面平行的判定方法，讓學生通過自主探索、合作交流，進一步認識和掌握空間圖形的性質，積累數學活動的經驗，發展合情推理、發展空間觀念與推理能力。

本節課對定理的探求與認識過程的設計始終貫徹直觀在先，感知在先，學自己身邊的數學，感知生活中包涵的數學現象與數學原理，體驗數學即生活的道理，然后引導學生從中抽象概括出定理。對定理的運用從易到難，由淺入深地強化對定理的認識，有利于培養學生思維能力和解決問題的能力。