俄羅斯高中代數與幾何教材整體知識結構研究——以俄羅斯教育出版社兩種代數教材和兩種幾何教材為例

王奮平，杜曉梅

（1.金陵科技學院 基礎教學部，江蘇 南京 211169；2.南京師范大學 課程與教學研究所，江蘇 南京 210097；3.隴東學院 外國語學院，甘肅 慶陽 745000）

俄羅斯高中代數與幾何教材整體知識結構研究
——以俄羅斯教育出版社兩種代數教材和兩種幾何教材為例

王奮平1，2，杜曉梅3

（1.金陵科技學院 基礎教學部，江蘇 南京 211169；2.南京師范大學 課程與教學研究所，江蘇 南京 210097；3.隴東學院 外國語學院，甘肅 慶陽 745000）

摘要：俄羅斯代數、幾何教材仍然沿用傳統的分類編寫模式，總體上保留了傳統的代數、幾何知識范圍，同時適當增加了向量對幾何體的處理，這種方式和中國新高中數學教材中的處理方式相似；俄羅斯不同版本代數、幾何教材內容基本相同.

關鍵詞：俄羅斯國數學教材；高中數學；比較

俄羅斯是數學和數學教育強國，教育理論根基十分深厚，擁有眾多優秀數學家和數學教育家以及良好的學術傳統，他們在數學教育改革方面有許多大膽的探索和新的嘗試.俄羅斯目前的學制是11年制.其中1~9年級為義務教育階段，小學階段是1~4年級，5~9年級為初中階段，10~11年級為高中階段.俄羅斯20世紀影響力較大的中學數學教學大綱主要有1959年大綱、1964年大綱和1990年大綱，現行的國家教育標準（各科）是俄羅斯教育部于2004年3 月5日頒布的，俄羅斯高中數學教學內容雖然隨著教學大綱或標準的不斷修訂有所調整，但是數學教材中其傳統的基本教學內容仍然保持原有的風格和特色.俄羅斯教材仍然按照代數、幾何分模塊編寫，俄羅斯高中數學教材有很多版本，這里就以10~11年級俄羅斯教育出版社2000年版代數教材（阿·尼·卡爾莫格洛夫等編，以下簡稱2000版代數教材）、1990年版代數教材（什·阿·阿利莫夫等編，以下簡稱1990版代數教材）、1995年版幾何教材（阿·弗·保加列洛夫編，以下簡稱1995版幾何教材）和2000年版沙雷金主編的高中幾何（10~11年級）教材（以下簡稱2000版幾何教材）為例對俄羅斯數學整體知識結構加以研究.

1　俄羅斯高中代數內容知識結構研究

1.1俄羅斯兩種高中代數內容呈現順序

俄羅斯高中數學分為代數和幾何兩部分分別學習，先列舉1990版代數教材和2000版代數教材內容對比研究，1990版代數教材共11章內容，2000版代數教材共10章內容，教材所列內容均為必修內容，具體內容見表1.

表1　俄羅斯高中代數教材主要內容

表1　（續） 俄羅斯高中代數教材主要內容

從表1可以看到，1990版代數教材共11章內容，2000版教材共10章內容，1990年版代數教材共分5部分.第一部分三角函數：第一章到第三章，第二部分導數及其應用：第四章至第六章，第三部分原函數和積分：第七章至第八章，第四部分指數函數和對數函數：第九章至第十一章，第五部分總復習題.2000年版代數教材只按照實數（第一章）、函數（第二章、第三章和第四章）、三角函數和三角方程（第五章、第六章和第七章）、微積分（第八章、第九章和第十章）等知識模塊分為幾部分，兩種教材均按照知識模塊將整個教材內容分割成幾個大的部分.只是模塊順序有所不同.

1.2兩種高中代數教材內容比較分析

1.2.1 兩種教材內容略有差異

從表1可以看到，2000版代數教材的函數部分從第二章開始，而且直接學習冪函數，函數的定義和基本性質已經在初中學習過，和2000版代數教材不同的是，1990年版代數教材中沒有專門學習冪函數，而是只學習冪的一般性質，1990版代數教材中，在學習導數之前，專門學習了函數的連續性作為導數學習的基礎，而2000版教材中直接學習導數定義，通過極限的方式定義導數，這種方式和中國大陸20世紀80—90年代普遍采用的人民教育出版社全國通用舊教材相似.1990版代數教材中的學習的指數方程和微分方程在2000版代數教材中沒有，而2000版代數教材中三角函數方程在1990版教材中沒有看到，除微分方程外，這些超越方程在中國大陸20世紀90年代舊教材必修內容中都有學習，2000后的新課程教材中基本全部刪除了.

1.2.2 兩種教材知識點安排順序不同

從表1可以看到，兩種教材對知識點的安排順序有很大的差別.1990年版代數教材順序：三角函數值→函數的基本性質→解三角方程和不等式→導數→連續性和導數的應用→導數在函數中的應用→原函數→積分→冪的一般概念→指數函數和對數函數→指數函數和對數函數的導數，而2000版代數教材順序：實數→冪函數→指數函數→對數函數→三角函數公式→三角方程→三角函數→導數和導數的幾何意義→導數在函數中的應用→積分.1990版代數教材中三角函數在指數函數和對數函數之前，而2000版代數教材中恰恰相反，說明這兩種函數之間的聯系相對比較小，可以相互調換順序學習.

1.2.3 部分內容值得商榷

在1990版教材中，先學習三角函數，再學習函數的基本性質，再學習原函數和反函數，采用先歸納式再到演繹式的學習方式，從特殊函數性質到一般函數性質再到特殊函數性質，和中國教材中一貫的學習順序不同，中國教材中基本上按照先學習一般函數基本性質→特殊函數的性質這樣的順序.俄羅斯2000年教材應該是一種典型的演繹式知識學習方式：初中已經學習過一般函數的概念和基本性質，高中接著學習各種特殊函數（冪函數、指數函數、對數函數、三角函數），函數性質的學習到底是采用歸納法學習還是演繹法學習上述內容更加有利于學生的學習尚沒有看到實證研究結論[1].

2　俄羅斯高中幾何教材內容知識結構研究

2.1俄羅斯高中數學幾何內容呈現順序

阿·弗·保加列羅夫主編的幾何教材包括7~11年級全部幾何內容，高中10~11年級內容只是其中一部分，其中高中幾何內容從第十五章開始，到二十一章結束，共6章內容；沙雷金主編的高中10~11年級2000版幾何教材單獨編寫，獨立成書.

表2　俄羅斯高中幾何教材主要內容

從表2可以看到，1995版幾何教材只有6章內容，而2000版幾何教材中有8章內容，主要包含立體幾何、解析幾何與空間向量兩部分內容，根據俄羅斯現行數學教育標準，平面幾何在初中學習，立體幾何在高中學習，解析幾何和平面向量也在初中學習.例如阿·弗·保加列洛夫編的7~11年級幾何教材八年級內容中就包含平面直角坐標系：直角坐標系的定義、中點坐標、點之間的距離、圓的方程、直線的方程、相交直線的點坐標、直線與坐標系的位置關系、直線方程的斜率、直線方程的圖象、直線和圓的位置關系、角的正弦余弦正切的定義；還包含向量：絕對值、相等向量、向量坐標、向量相加、合力、矢量的乘法、兩個非共線向量的和、向量的運算公式、兩個垂直向量的合并.高中集中學習立體幾何和空間向量初步、空間坐標系（空間解析幾何初步）.

2.2俄羅斯幾何教材知識結構分析

2.2.1 兩種幾何教材內容基本相同

從表2可以看到：兩種幾何教材主要包含立體幾何公理、直線和平面的關系、平面和平面的關系、多面體、圓柱體、空間解析幾何和空間向量初步等.兩種幾何教材總體內容基本相同.但是2000年版幾何教材包含的多面體的體積、錐體的體積、球外切多面體與球內接多面體以及正多面體在1995版幾何教材中沒有看到.

2.2.2 兩種幾何教材知識安排順序不同

1995版幾何教材中知識點安排順序：立體幾何公理及其簡單的應用→平行線和平行面→線和面的平行→直角坐標系和空間矢量→多面體→圓柱體.2000版幾何教材知識點順序：空間的直線與平面→多邊形→柱體→立體幾何的方法和習題→多面體的體積→柱體的表面積和體積→正多面體→空間坐標和空間向量.1995版幾何教材中解析幾何和向量空間內容在多面體和圓柱體之前，而2000年版幾何教材中解析幾何和向量空間內容在圓柱體和多面體之后.2000版幾何教材對解析幾何內容和向量空間內容可能更加合理，因為學生首先學習了幾何圖象的直觀形象后再用代數工具和向量工具去處理不同線段的關系有利于加強學生對該內容的理解.

2.2.3 兩種幾何教材側重點有所不同

1995版幾何教材中，線面關系占據較多的篇幅，覆蓋第十五章、第十六章兩章內容，而2000年教材中只有第二章這一章內容學習線面關系.1995版幾何教材對多面體的學習比較細致入微，按照多面體、柱體、柱體圖象和它的截面、直角柱體、平行六面體、平行六面體的中心對稱、矩形平行六面體、矩形平行六面體的對稱、錐體、錐體及其截面的畫法、錐體的橫截面、規則椎體、規則多面體等詳細的各類多面體以及錐體的各類性質分別學習，而2000版幾何教材中按照多面體的圖象、在圖象上構圖、凸多面體、多面體的角、正棱錐、棱柱、平行六面體分類學習，各個知識點分布沒有1995版幾何那么細致，相對比較粗獷.1995版幾何教材將具體知識點分割得比較細致，這樣有利于學生掌握所學幾何體的比較詳細的性質，2000版幾何教材知識面比1995版教材知識內容范圍寬廣，深度就顯得相對較淺.

2.2.4 1995版幾何教材和中國舊幾何教材內容和知識結構相似

從表2內容可以看到，除了空間解析幾何和空間向量內容，1995版幾何教材內容及其知識結構和中國大陸20世紀80—90年代全國通用的人民教育出版社出版的立體幾何舊教材內容及知識結構基本相似，順序按照公理基礎→線線關系→線面關系→面面關系→多面體和錐體這樣的知識結構順序安排，但是1995版教材缺少中國舊幾何教材中包含的球體、球冠、錐體體積和球的表面積的學習，而這些內容大多數在2000版教材中卻要求學習.

2.2.5 用空間向量處理空間幾何體中線段的關系是對傳統俄羅斯幾何內容的突破

從表2看到，空間解析幾何和空間向量融合在一起學習，改變了傳統俄羅斯中學教材中不學習向量以及只用歐式幾何方式學習幾何體中的線段關系的風格.現行俄羅斯教材中主要用空間坐標系中向量的三維坐標之間的關系來處理向量的關系，這種改變和中國按照新課程標準編寫的新教材中用向量處理歐氏幾何中的線段之間關系的方法不謀而合.

3　啟 示

（1）俄羅斯數學教材仍然采用傳統的代數、幾何分割學習方式是否合理需要繼續思考.

中國大陸此次基礎教育數學課程改革過程中強調不同數學內容之間相互融合，回歸數學的本質特征和還原數學發展過程中本身的混合性，把歐氏幾何的圖象用向量工具處理，基本上顛覆了20世紀50年代開始采用的前蘇聯代數幾何分割學習的舊格局.但是從上述4本俄羅斯教材可以看到，俄羅斯仍然沿用了前蘇聯數學教學內容順序安排的傳統，代數、幾何分割學習，中國現行數學教材基本上將代數和幾何努力融合學習，將立體幾何用向量來處理，采用的模式部分學習了歐美國家的數學學習方式[2].

（2）俄羅斯2000年版代數教材中采用極限方式學習導數尚需再思考.

從俄羅斯2000年版代數教材看，該教材中通過極限方式學習導數，這種方式20世紀80—90年代的中國大陸舊選修教材中采用過，當時因為難度較大列為選修內容，高中學生是否能夠準確理解，尚需再思考.而中國大陸現行數學教材中通過速度變化率來定義導數的方法相對抽象度較低，應該更加有利于學生理解和接受[3].

（3）數學應用和數學知識來源是否必須作為高中教材編寫的主導思想可能還需要思考[4].

中國自2004年使用的新教材中為了突出數學實質，讓學生了解知識的產生過程和應用方法，大量采用數學知識與相關應用情景結合的編寫模式，教材中充滿應用問題，這樣就相應減少了數學知識容量.但是從俄羅斯數學教材內容看，基本上還是以形式化數學內容為主，幾乎沒有應用數學內容，和現行中國大陸教材的風格完全不同.形式化是數學的基本特征之一，對高中階段學生是否還需要采用這樣的充滿應用情境的數學學習模式值得繼續通過實證研究來探討.

（4）俄羅斯各高中幾何教材內容基本是立體幾何和少量空間解析幾何內容.

從表2內容可以看到，無論1995版幾何教材還是2000版幾何教材均以立體幾何內容為主外，尚有一章空間解析幾何內容，將解析幾何和空間向量融合學習，在初中階段已經學完平面幾何.這種分布格局和20世紀90年代末中國大陸人民教育出版社的中學數學試用教材（1995年版）內容的學習方式相似，而中國大陸自新課程改革后幾何學習內容發生很大變化，削減了部分平面幾何內容和立體幾何內容，高中新課程標準數學教材中在立體幾何中融入向量，體現出不同數學知識之間的緊密聯系

（5）教材“一綱多本”甚至“多綱多本”是今后中國乃至世界教材的發展方向.

俄羅斯中學數學各類教材大體遵守國家最新教育標準基本要求，但是各有特色.從表1和表2內容可以看到，不管是兩種代數教材內容之間還是兩種幾何教材內容之間，基本內容相似，但是相同知識點安排順序和側重點各有特色，這也是多樣化教材體系國家教材結構的共同特點.歐美各國一直以來均按照“一綱多本”或“多綱多本”的模式發行和運作教材，教材多樣化程度非常高，中國大陸現行高中數學教材有北師大版、人民教育出版社版、江蘇教育出版社版、湖南教育出版社版等多種版本教材；一個國家不同地域、不同民族、不同文化背景下學生應該采用適合本地特點的教材，不同教材在市場化需求的篩選中需要不斷修訂完善，這樣總體上有利于教育質量的提高[5].

（6）歐式幾何內容到底如何取舍尚需要深入研究.

歐氏幾何內容是否需要學習的問題在20世紀60年代前后曾經引起“新數運動”和所謂“歐幾里得滾蛋”的軒然大波，但是最終各國還是適當地有所回歸，英國、美國、法國中學數學教材中都還在學習歐氏幾何內容.歐氏幾何作為工程制圖的基礎內容對有志于學習建筑設計、測繪等專業的學生有一定的基礎作用，同時立體幾何的學習也有利于開發學生的空間想象力.俄羅斯是最完整保留歐氏幾何學習內容的國家，俄羅斯也是曾經因扎實的數學成就為輝煌的空間科學技術成就奠定基礎而引起西方國家恐慌的國家.所以，歐氏幾何內容的取舍不能簡單“邯鄲學步”，中國新課程改革過程中大幅削減了歐氏幾何內容，減輕負擔的目標是否通過這樣的方式實現，還需要慎重研究，還需要在不斷地探索中來完善.

［參 考 文 獻］

[1]王奮平，杜曉梅.俄羅斯高中代數教材整體知識結構研究[J].中學數學教學參考，2015，（1-2）：140-144.

[2]王奮平，喻平.英國高中數學教材知識整體結構設計研究[J].數學教育學報，2013，22（5）：32-36.

[3]王奮平.中、英高中數學教材比較研究[J].數學教育學報，2011，20（6）：51-55.

[4]王奮平.中、英高中數學教材復數內容比較研究[J].數學教育學報，2011，20（3）：83-86.

[5]王奮平.英國兩種高中數學教材比較研究[J].數學教育學報，2013，22（2）：76-80.

[6]王奮平.中國和新加坡高中數學教材整體知識結構比較研究[J].數學教育學報，2014，23（2）：14-18.

[7]姚芳.從高中數學教材看俄羅斯數學教育現狀[J].首都師范大學學報（社會科學版），2011，（4）：83-86.

[8]陳昌平.數學教育比較與研究[M].上海：華東師大出版社，2000.

[9]阿·尼·卡爾莫格羅夫.代數（10~11年級）[M].莫斯科：俄羅斯教育出版社，1990.

[10]什·阿·阿里莫夫.代數（10~11年級）[M].莫斯科：俄羅斯教育出版社，2000.

[11]阿·弗·保加列羅夫.幾何（7~11年級）[M].莫斯科：俄羅斯教育出版社，1995.

[12]沙雷金.幾何（10~11年級）[M].莫斯科：俄羅斯教育出版社，2000.

[責任編校：周學智]

Research of Overall Structure of Russian High School Algebra and Geometry Textbook Knowledge
——As Examples by Two Kind of Algebra Textbooks and Two Kinds of Geometry Textbooks Russian Education Press

WANG Fen-ping1, 2, DU Xiao-mei3
(1. Faculty of Fundametal Courses Jinling Institute of Technology, Jiangsu Nanjing 211169, China; 2. Research Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China; 3. School of Foreign Languages Longdong University, Gansu Qingyang 745000, China)

Abstract:The writing pattern Algebra and Geometry textbook of Russia is still using the traditional classification. It are generally retained the algebra, geometry traditional knowledge range, and increasing geometry processing in vector appropriatly, this approach is similar to China’s new high school math textbooks, different Edition algebra and geometry textbooks of Russian are same basically overall content.

Key words:Russia high school mathematics textbooks; high school mathematics; comparison

中圖分類號：G40-059.3

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0025-05

作者簡介：王奮平（1971—），男，甘肅涼州人，南京金陵科技學院教授，南京師范大學教育學院博士生，主要從事數學比較教育研究.

基金項目：全國教育科學“十二五”規劃2012年度單位資助教育部規劃課題——高中數學教科書整體知識結構國際比較研究（FDB120423）；江蘇省2014年度普通高校研究生科研創新計劃項目——美國各州高中數學課程標準整體知識結構比較研究（KYLX_0656）

收稿日期：2015-03-07