構造函數在高中數學解題中的應用

嚴俊

摘 要：在高中數學中，構造函數是常見方法之一。文章結合教學實踐，探討如何通過構造函數思想解決數學問題。

關鍵詞：函數；高中數學；解題應用

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：B 文章編號：1008-3561（2015）31-0063-01

高中數學中的轉化思想，是將未知、陌生的問題轉化成熟悉的問題。通過對已知條件及結論的分析，構造出函數、方程、不等式、向量、復數等輔助元素，進而聯系條件和結論找到解題途徑。這稱為構造法。在高中數學中，構造函數是常見方法之一，有構造高次函數、構造指數函數、構造一次函數、構造二次函數、構造分式函數、構造三角函數函數及構造可求導函數等多種類型。

一、構造高次函數解題

例1：如果sin3θ-cos3θ>，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范圍是（ ）.解答：不等式sin3θ-cos3θ>等價于sin3θ+>cos3θ+ 。設f（x）=x3+x5，顯然f（x）=x3+x5是（-∞，+∞）上的增函數，于是有不等式f（sinθ）>f（cosθ），從而得sinθ>cosθ，再結合θ∈（0，2π），得<θ<.這里構造高次函數f（x）=x3+x5，再利用函數的單調性轉化原不等式，得到所求變量的取值范圍。

二、構造指數函數解題

例2：已知a、b、c為三角形的三邊，且a2+b2=c2，n為正整數，且n>2，求證：cn>an+bn. 證明：由a2+b2=c2，知0x+

x，易證f（x）在（2，+∞）上是減函數。所以n>2時，f（n）

x+

x<

2+

2=1，故an+bn

x+

x（x>2）證明了不等式cn>an+bn。

三、構造一次函數解題

例3：設不等式2x-1>m（x2-1）對于一切滿足|m|≤2的值均成立，求x的取值范圍. 解答：原不等式可化為（x2-1）m-（2x-1）<0，構造函數f（m）=（x2-1）m-（2x-1），（|m|≤2）.由一次函數的圖像性質知f（-2）<0

f（2）<0，解得

四、構造二次函數解題

例4：已知c、b、c∈R，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，則a的取值范圍是（ ）. 解答：b+c=1-a，b2+c2=1-a2，構造函數f（x）=2x2-2（b+c）x+b2+c2=（x-b）2+（x-c）2≥0恒成立，故有Δ=4（b+c）2-8（b2+c2）≤0，也即4（1-a）2-8（1-a2）≤0，解得-≤a≤1.本題將b+c和b2+c2看作整體，構造二次函數f（x）=2x2-2（b+c）x+b2+c2，利用二次函數性質得到判別式的不等式，從而求得結果。

五、構造分式函數解題

例5：證明對任意的實數a和b，不等式≤+成立. 證明：構造f（x）=（x≥0），f′（x）=>0，所以f（x）在[0，+∞]上單調遞增，而|a+b|≤|a|+|b|，故f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即≤=+≤+，所以原不等式成立.這道題構造分式函數f（x）=（x≥0），將原本復雜的不等式證明變得簡單。

六、構造三角函數解題

例6：求函數y=的值域. 解答：原函數可化為：y==··，設x=tana，則=cos2a，=sin2a，所以y=cos2a·sin2a=sin4a. 根據-1≤sin4a≤1，得y∈[-，]. 這里將原函數變形后容易聯想到三角中的萬能公式，進而把原函數轉化為三角函數，容易求得值域。

七、構造可導函數解題

例7：若x∈（0，+∞），求證：0，所以t>1，x=，則原不等式等價于1-1），f（t）=1->0，所以f（t）在（1，+∞）上單調遞增，故f（t）>f（1）=0，即lnt1），g′（t）=-=>0，所以g（t）在（1，+∞）上單調遞增，故g（t）>g（1）=0，即lnt>1-，所以原不等式成立。本題通過換元將原不等式的對數真數部分化簡，再構造兩個可導函數，從而證明原不等式成立，這種構造思想在證明不等式中經常使用。

八、結束語

函數是高中數學的重點內容之一，利用構造函數思想解題較為普遍。這需要學生熟悉函數的形式及函數性質，才能選對函數模型，從而既解決問題，又事半功倍。

參考文獻：

[1]高飛.構造函數證明不等式[J].高中數學教與學，2006（09）.

[2]傅仕玲.用構造法證明不等式[J].數學教學通訊，2009（21）.