將數學建模引入高中數學教學中

尹德俊

摘 要 分析數學建模在高中數學教學的地位、設計方法，介紹數學建模融入高中數學教學的可能性，并介紹一個高中數學教學引入數學建模課程設計案例。

關鍵詞 數學建模；高中數學；教學改革

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2015）13-0092-03

當前，隨著全國大學生數學建模活動的開展和普及，國家認識到數學建模活動的重要性，開始向中學普及數學建模活動。許多高中學校已經開始想方設法將數學建模活動引入高中數學課程教學中去，使得數學建模活動融入高中數學教學已經迫在眉睫。高中數學建模活動也在有條不紊地發展，在新版的高中數學教材中已經隨處可見數學建模活動的影子，但對于高中數學建模融入高中數學教學中來的研究卻不多，也缺少很多實際依據。在國家需要的人才以應用型人才為主的前提下，很多學校在嘗試教學改革，特別是數學教學的改革，將數學建模活動引入課堂教學，但高中的數學建模活動和教學任重道遠，在實施數學建模教學的過程中受到諸多因素的影響。

首先，現有的高中數學課程的教學大綱中還沒有涉及數學建模內容，更別說是數學建模的課時安排。當前，高中數學建模課程沒有教材，數學建模教材大都是針對于大學生的，教材中使用的數學知識相對于高中學生來說是非常深奧的，這讓數學教師在授課和具體實施數學建模活動時毫無目的，無法下手。

第二，對于高中數學建模的專項研究剛剛起步，高中數學教師對于數學建模活動沒有概念，對數學建模的意識和方法都不甚了解。

第三，對于高中數學建模課程的評價體系沒有建立，在以應試教育的高考決定成敗的時代，讓高中學生花費時間去進行數學建模活動是不現實的，學生也不會同意。

筆者在嘗試將數學建模融入高中數學課程的教學中有了一定的認識和了解，對此進行總結。

1 數學建模活動在高中數學課程教學中的地位

高中數學建模活動是高中數學課程學習的一種新思路、新方法，其背景是社會生活中的實際問題，將數學知識與其結合在一起，讓高中學生去思考、解決，豐富了高中學生的知識，增強了學生的想象能力，讓高中學生將理論與實際結合在一起，提高了高中學生學習數學的興趣，讓高中學生運動所學的數學知識，創造性地以自己的思維方式解決問題，認識到學習數學的價值所在。高中數學建模活動能夠提高高中學生主動用所學數學知識解決社會生活問題的意識，所以國家出臺的《普通高中數學課程標準（實驗）》強調：高中的數學課程需提供數學基本內容的現實背景以及應用價值，適當開展高中數學建模的活動[1]。

2 數學建模活動在高中數學教學中的過程設計

數學建模活動是社會現實問題的數學情境教學 高中數學建模活動就是以社會實際問題為背景，圍繞該問題進行數學知識與實際問題的結合，從而開展高中數學教學，其主要目的是為高中學生創造一個社會實際情境。在高中數學學習中，數學情境是練習高中數學內容與社會生活問題的紐帶，是高中學生主動學習數學知識的橋梁，是深化高中學生思維的基礎。數學情境的創設使得高中學生對數學產生興趣，從而主動去學習數學知識，使得高中學生更容易解決社會實際問題。

在學習代數中的函數知識時，可以將貸款問題引入數學課堂，進行數學建模情境教學；在學習立體幾何問題時，可以將測算降雨量問題引入數學課堂，進行數學建模情境教學；在學習橢圓方程時，可以將物理問題——行星運動軌跡引入數學課堂，進行數學建模情境教學。將數學建模活動代入課堂，對高中學生的數學建模能力和解決社會實際問題的能力都提出更高的要求。在此，數學教師在上課前可以提前布置任務，比如為飲料罐設計一個最省材料的圓柱罐形，讓學生課下思考和討論，等上課時教師與學生再共同建立一定條件下的數學模型：體積固定不變，計算表面積最小時，圓柱罐高和底面直徑的具體數值。

數學課程中的數學建模問題都是取自現實，且符合高中學生水平的問題 在高中階段，數學建模活動的教學目的是讓高中學生樹立數學建模的意識，能夠進行簡單的數學建模，讓學生感受到數學的存在。因此，為了培養高中學生解決社會現實問題的意識，提高高中學生解決社會現實問題的能力，在高中數學課程中設置數學建模活動，數學建模的素材非常重要，盡量不要做加工，拿到實際問題直接讓學生去處理解決，讓高中學生真實感覺到數學建模的重要性和趣味性。但同時也要考慮到高中學生的能力水平和數學知識水平，選擇合適的、與生活關系密切的題材帶入數學教學中，但不要簡單地用數學應用題代替。

把高中生非常關心的社會問題設計為數學建模問題，代入高中數學教學中 長久以來，很多人認為學習數學除了算數沒有別的用處，認為學習數學純粹就是提高計算能力，根本與實際問題結合不起來。而當前的高中數學教學和高考也確實如此，基本上就是搞難題，搞偏題，讓數學成為演題、運算的過程，無法與其他學科聯系，導致高中學生認為數學在現實生活中沒有用處。但是，事實上數學是非常有用的，與現實生活中幾乎每一個問題都緊密相連，比如：家庭收入、銀行存款等都可以設想為一個數學函數問題；蓋房成本、人口控制等都可以設計為一個求最值問題；學校食堂吃飯問題可以設計為排列組合問題；等等。這些實際問題化為數學問題后，使得當學生在生活中遇到的時候就會想起數學，就會覺得數學是非常有用的，是最接近于生活的，能激發學生學習數學知識解決實際問題的欲望，調動學生學習數學的積極性。

3 將數學建模活動代入高中數學教學課堂的案例——幾類函數的數學建模教學[2]

課堂教學目標 學習一次函數、二次函數、冪函數、指數函數四類函數的基本內容，使學生了解它們的應用，建立超市銷售的函數模型。

課堂教學重點 一次函數、二次函數、冪函數、指數函數的性質、計算及應用。

課堂教學難點 構造函數模型，并一一進行比較，確定最優的函數模型。endprint

課堂教學用具 電腦、黑板、粉筆、畫圖軟件。

課堂教學過程

1）所用數學知識點講解。教師對該節課用到的知識點包括一次函數、二次函數、冪函數、指數函數進行講解。

2）設置情境，引入數學建模實際問題。給出現實問題：某家超市對某種品牌的方便面銷售情況進行調查，1—4月的銷售量分別為1萬袋、1.2萬袋、1.3萬袋、1.37萬袋，其銷售狀況良好，現在估計一下以后幾個月的銷售量，以便廠家供貨。

3）對實際問題進行分析。在此，高中學生學習了一次函數、二次函數、冪函數、指數函數的基本內容，對其性質和圖像都有了了解。但是該銷售量預測的問題，僅用這些數學知識是無法解決的，這些數學知識解決該問題的基礎。該問題可以通過分析假設將其抽象化，看成一個數學的問題，對其作出正確的評估，讓學生更好地掌握這些函數的內容。

4）對問題進行假設分析，建立幾類函數的數學模型，并對其進行比較。觀察前四個月的銷售量，對其銷售數據進行分析，以期望找到估計后來月份銷售量的方法。在此，在平面中建立直角坐標系，將這些數據描繪到直角坐標系中去，畫出散點圖，對散點進行連接，根據連接的圖形觀察是否符合所學四種函數的圖形。

一次函數：f（x）=kx+b（b≠0）

二次函數：g（x）=ax2+bx+c（a≠0）

冪函數：

指數函數：n（x）=abx+c

將實際的預測后幾個月的銷售量問題與四種函數結合，確定它們之間的聯系。現把四個月的銷售量的對應數據寫成坐標的形式：

A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）

將四個點的坐標利用Excel作出散點圖（圖1），利用已知四個函數，計算出剩余點的誤差，利用最小的誤差函數估計后面幾個月的銷售量情況。

①將B，C兩點的坐標代入一次函數表達式f（x）=kx+b（b≠0）中，可得：

f（x）=0.1x+1

將A點坐標代入得f（1）=1.1，該點的誤差為0.1；將D點坐標代入得f（4）=1.4，其誤差為0.03。

②將A，B，C三點的坐標代入二次函數表達式g（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，可得：

g（x）=-0.05x2+0.35x+0.7

將D點坐標代入得g（4）=1.3，其誤差為0.07。

③將A，B兩點的坐標代入冪函數表達式中，可得：

將C點坐標代入得m（3）=1.3，其誤差為0.05；將D點坐標代入得m（4）=1.48，其誤差為0.11。

④將A，B，C三點的坐標代入指數函數表達式n（x）=abx+c中，可得：

n（x）=-0.85×（0.5）x+1.4

將D點坐標代入得n（4）=1.35，其誤差為0.02。

對上面的四個函數模型進行比較，根據誤差最小的原則，選擇最好的函數模型為指數函數模型。

5）將該函數模型進行應用推廣。

某商店在2009—2013年四年的交易額總量分別為25.9萬元、30.6萬元、38萬元、48.9萬元。現在要求：①建立一個合適的函數模型，估計該商店以后的交易額總量，并用2014年（66.8萬元）、2015年（85萬元）兩年的交易額總量檢驗誤差大小，確定最好的函數模型；②求出該商店交易額總量的平均增長率；③按照①②分別預測2016年該商店的交易額總量，并討論哪種估計結果最準確？

4 結論

把數學建模活動引入到高中數學教學中來，有利于學生掌握高中數學知識，有利于提高學生學習數學的興趣，有利于學生將數學知識引用到解決社會現實問題中去。

參考文獻

[1]鄭珺影.數學建模在高中教學的應用[J].才智，2009（35）.

[2]李濤.中等職業學校數學建模課程建設之研究[D].山東：魯東大學2013.endprint