高中數學關于探索型問題的幾點思考

劉同仁

摘 要： 高中數學中的探索型問題又叫開放型題，是新課標標準背景下數學高考的熱點之一，所占比例呈逐年上升趨勢，這使此種題目受關注程度大幅提高.探索型問題因為沒有完備的條件或者沒有確定結論，命題形式比較新穎，自由度較大，需要對題目里給出的各個信息認真觀察、分析、概括、猜想，得出相應的結論并給出正確的證明，解決這類問題，涉及的知識面廣，對學生運用數學思想方法分析問題、解決問題的能力有較高要求.本文針對這類題目給出了簡要說明，不足之處，敬請各位指教.

關鍵詞： 高中數學 探索型問題 解決方法

通常情況下，有些題目只有已知，然而無確定結果，有的無明確結論，要靠解題的人運用查看、研究、總結出結果；又或知道了題目的確定結果，可是已知不充分或不知道，要靠探索人覓求充足的已知條件再給出合理解釋，這樣的題目被稱做開放型問題.已知不充分及沒有明確結果是這種題目的普遍特點.探索型問題在數學高考試題里比重較大，而且呈現出上升的勢頭，使此種題目日益受到重視.因為探索中所占題目自身的特點，解答這類題目，涉及的知識面廣泛，對考生通過數學思維方式考慮問題、處理問題的能力有較高需求.伴隨提高學生能力的思想在我國的大力推進，提高學生數學水平成為教學的重點，從而開放型題目就成為增強考生的開創意識，提升數學思想水平、理解題目及處理題目水平的理想題目.在考試里普遍存在的開放型題目，從出題特征的角度，可分為條件探索型、結果探索型、存在性探索型、完全探索型等，下面對這幾種題目分別作分析.

一、條件探索型問題

此種題目的特點就是對某個明確的結果來說，已知不確定需要研究，或者已知的增加或減少需要明確，抑或是需要確定已知是否正確.解答此種題目的方式就是從結果入手探尋已知，先找出使結果正確必須具備的前提，然后經過驗證尋求使結果正確的具有充分性的理由.這種探索型的問題，在高中數學學習中最常見，是深入開展探索型問題學習的基礎，也是培養高中生探究意識、創新能力的有效途徑與載體.

例1：若函數f（x）=αsin（-x）-bcos（x-），（ab≠0）為奇函數，（a，b）可以為（？搖？搖）.這道題目就是典型的條件探索型問題，它的結論明確即函數是奇函數，需要找出使得結論成立的充分條件，我們可以把題設和結論都看作已知條件，用演繹推理的方法找出題目需要的條件.

【解析】由奇函數的定義列出關系式，展開整理可得a=b，（ab≠0），因此有序數對可以是（1，1）（2，2）…只要滿足a=b，（ab≠0）的都是正確答案.由于奇函數的特殊性質，這道題又能以賦值之方法處理，即f（0）=0.

本題主要運用奇函數的性質及三角函數和差角的正余弦公式，通過計算和驗證，找出問題的答案，這就是條件探索型題目的常用解決方法.

二、結論探索型問題

這類題目的特點是已知確定但是無結果，或者是結果是否正確要求答題人判斷.處理此種題目的方式就是通過研究結果，然后對結果進行證明.也就是解決問題時通常以特例情況為切入點，運用查看、研究、整理、辨析等手段先猜想出一個結論，然后進行普遍情況的研究和論證.

例2：已知函數f（x）=x++αlnx（x>0），（1）若f（x）在[1，+∞）上為增函數，確定α的范圍；（2）如果函數y=f（x）在區間D上有意義，并且在該區間內任取的兩個數x、x以下不等式[f（x）+f（x）]≥f（）都成立，就說函數y=f（x）是區間D上的“凹函數”.當a≤0時，試分析f（x）是不是“凹函數”，就你的分析給出證明.這道題目就是結論探索型問題，它的條件很明確，給出了凹函數的定義，需要解題者探索結論，我們可以通過分析、計算、歸納，判斷等手段找出結論并加以證明.

【解析】（1）由題意可得，要使函數在[1，+∞）上單調遞增，必須使導函數大于零在指定區間恒成立，通過整理可以找出a要滿足的關系.a需大于其最大值，由單調性可知其最大值為零，所以a≥0；（2）證明：由題目中給出的已知條件及均值定理相關知識可以得出滿足凹函數定義的關系式，由題可得此函數是凹函數.

這類結論探索型題目，需要解題者能夠靈活運用數學知識，從題目的情境中研究探索結論，對于培養高中生思維的靈活性大有裨益.

三、探究是否存在題型

這類題目的特點是以結果存在為前提，判斷尋求的結果存在與否.

例3：假設A是x=1上一動點，直線l經過點A且和x軸互相垂直，l與x軸的交點為D，M為直線l上一點，并且|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1）.A點在圓上運動時，點M的運動軌跡為C.（1）求C的方程，指出C是哪類圓錐曲線，求焦點；（2）經過坐標原點并且斜率是k的直線和C相交于點P，Q，當中點P位于第一象限，且在y軸的投影是點N，直線QN與C相交于H.能否有m，能對所有的k>0，全有PQ⊥PH？如果有，求出m；如果沒有，說出原因.這道題目要找m的值是否存在，我們可以先假設有這樣的m，然后通過一系列計算推理，得出要找的結論.

【解析】（1）根據題設分析關系，列出方程計算整理得到A點橫坐標及縱坐標的表達式，因為A點在單位圓上運動，把它代入單位圓方程可得要求C的方程得到點M所滿足關系式，從而根據所學知識對它的軌跡進行具體描述.

（2）解法1：設出直線QN的斜截式方程，把它代入曲線C化簡得出一個關于x的一元二次方程，根據題目找出這個方程的解，并根據根與系數的關系整理可得點H橫坐標.因為點H在直線QN上，所以列出關系式，得到對應向量坐標，再利用向量垂直數量積是0得到的值，所以存在m，能使在它相應的圓錐曲線上，對所有的k>0，全有PQ⊥PH.

解法2：由于P，H這兩個點都在曲線C上，因此它們都滿足曲線方程.兩個式子相減可以得出坐標間的關系式，根據題目已知條件，依據點P在第一象限可以得出，該點H也落于第一象限內，而且P，H這兩個點并不重合，于是可得，再根據兩直線平行斜率相等，垂直斜率之積等于-1可以通過計算得出m的值，所以存在m，能使在它相應的圓錐曲線x=1上，對所有的k>0，全有PQ⊥PH.

這道題目考點是求軌跡、直線和橢圓的相互位置及兩條直線互相垂直或兩個向量互相垂直的充分必要條件，這種存在性的問題，得出的結果有兩個可能性：假如具有存在性，要給出合理解釋；假如不具備存在性，找出相矛盾的例子解釋即可.

四、全開放探索型問題

條件和結論都不完備或都不確定的是全開放型問題，解決這種問題的方法也是開放型的，解題者對題目開展非常詳細具體的分析探索，才可以找出解答題目的方案.

例4：α、β為不重合的兩個平面，m、n為平面α和平面β以外的兩條不重合的直線，根據以下四個條件：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α，拿其中的3個當成已知條件，剩下的一個當成問題的結果，找出正確的答案寫在橫線上.這道題提供了四個題設，題目讓當中的3個作為已知，剩下的一個作為結果，我們可以采用列舉的方法找出所有可能性一一檢驗.

【解析】根據題目要求能夠得出全部四個命題，根據所學立體幾何知識可以得出，其中哪些是正確的，哪些是不正確的.只要寫出正確答案之一，此題就獲得了完美解答.

這道題的已知及結果均不確定，因此該題目是一個已知和結果都不確定的完全探索型問題，它可以構成的命題不止一個，正確答案也不唯一，解題者只需找出一個符合題意的結論就可以.這種題目的處理方法也存在不確定因素.

探索型問題沒有完備的條件或確定的結論，它的這一特征決定了在解決這類問題時對數學知知識的掌握，數學思想的運用，以及創造性的數學思維都有較高的要求.在解決這類題目時常用下列方法：直擊目標；特殊值判斷；猜想證明；數形結合……要正確解決探索性問題，不僅需要在平時的學習中注重基礎知識的掌握，還要注重方法的總結及能力的培養.

參考文獻：

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