對必修一“集合”單元教學的思考

尤為軍 王一強 熊翠華

摘要：集合作為高中數學教學的起始內容，是因為集合是高中數學的基礎，與其他高中數學內容有著密切聯系。本文在梳理集合與其他數學內容關聯性的基礎上，分析了高中“集合”的定位，并提出了對集合單元教學的幾點思考。

關鍵詞：集合；高中數學；單元教學

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）09-065-2

一、集合與其他數學內容的關聯性

1.在上高中之前，學生已經學習了實數的概念及表示方法、運算法則與運算律，字母的概念及表示方法、運算法則與運算律，代數式的概念及表示方法、運算法則與運算律。雖然字母和代數式有點抽象，但都是在實數的基礎上推廣和擴展得來的，學生還能遷移和理解，而高中階段將要學習的很多數學對象，比如說，集合、函數、指數、對數、三角函數、數列、平面向量、簡易邏輯、矩陣等等，不能完全從實數及實數的運算中遷移，需要重新構建。蘇教版教材處理這些數學對象手法都是從實際生活中抽象出數學概念，然后研究數學對象相關概念及之間的關系，最后研究它們的運算法則、運算律及性質等內容。集合是高中階段學習的第一個數學對象，它的學習路徑將給其他高中數學對象（數列、復數、平面向量和矩陣等等）的學習提供基本范式。

2.在高中數學教材中，許多數學對象有多種表示形式，比如說，集合、函數、數列、復數和平面向量等等。但數學對象的表示形式基本上是從“數”與“形”兩個角度給出的，集合是高中數學階段第一個被表示的數學對象，因此，集合表示方法的切入方式對其他數學對象的表示有重要的借鑒意義。

3.在《數學教育學》一書中，斯托利亞這樣表述：“集合論概念”這個術語在這里指的是樸素集合論的最簡單的概念，它是在“類的邏輯”的名稱下首先發展起來的?！邦惖膶ο蟆本唧w準確地揭示了集合的本質，在小學和初中階段我們學習了很多類的對象，譬如說，我們把0，1，2，……這類數稱為自然數集，所有的正方形是一類數學對象，一次函數是一類數學對象等等。在立體幾何中，我們也學習了很多類的對象，比如說：四棱柱，平行六面體，直平行六面體，長方體，正四棱柱，正方體。從這些數學對象的定義可以看出來，后面的集合都是在前一個集合基礎上增加了新的條件得到的，這里還蘊含了集合的真包含關系。

4.集合的含義反映了元素與集合的屬于關系，也就是個體與整體的關系。集合的關系、集合的運算都是從元素的角度予以定義的，因此，抓住集合中元素的特征是解決集合問題的基本途徑。在高中數學教材中，具有個體與整體關系的數學對象還有函數值與值域、項與數列、二項式展開式的通項公式與二項式展開式，以及矩陣元素與矩陣等等。比如說，函數值與函數的值域就是個體與整體的關系，只有把握了函數值的特征，才能正確描述函數的值域。

5.“集合”單元涉及很多數學符號，有些集合符號是用其的英文（或德文等）首字母表示的，比如說，N，Q，R都是由英文的頭一個字母來的，Z是由德文zahlen（整數）的頭一個字母來的；有些集合符號（比如說，∈，，∪，∩）已無法知曉其意義，但有些集合符號可以與數的關系進行類比，比如說，“”與“≤”、“”與“<”、“”與“0”等等。

6.集合是一種數學語言，可以簡潔、準確地表達數學內容，用集合表述的數學內容貫穿于整個高中數學課程，下面筆者梳理一下蘇教版必修教材中用集合語言描述的數學知識。

在必修一函數章節中，“集合與對應關系”重新刻畫了函數的概念，進而得到了定義域、值域、單調區間等用集合語言描述的數學概念；在必修二立體幾何初步章節中，用集合語言來描述空間中點、直線、平面的位置關系；在必修二平面解析幾何初步章節中，用集合語言給出了圓的定義；在必修三概率章節中，用集合與集合運算，精確地描述了基本事件、基本事件空間、不可能事件、必然事件及對立事件等；在必修四三角函數章節中，三角函數中的單調區間，三角函數圖像的對稱軸等都是用集合語言描述的；在必修五中，一元二次不等式解集、線性規劃中目標函數的可行域、數列的定義域等。

7.在高中數學階段中，我們將會學習許多數學語言，比如說，集合語言、立體幾何語言、算法語言和簡易邏輯語言等等，它們基本上都是三種語言形式：文字語言、符號語言、圖形語言。而集合語言是高中階段學習的第一個數學語言，其三種語言形式的學習對高中階段其他數學語言的學習起到了導向作用。

8.集合與簡易邏輯中邏輯聯結詞、四種命題、充要條件以及含特稱量詞的“存在性”問題都聯系緊密，用集合觀點解釋簡易邏輯中的有關問題可以使問題變得淺顯易懂，有利于加深學生對有關邏輯問題的理解。

二、高中數學中“集合”的定位

1.《普通高中數學課程標準》（實驗）明確指出：集合語言是現代數學的基本語言，是一種特殊的符號語言，使用集合語言，可以簡潔、準確地表達數學的一些內容。高中數學課程只將集合作為一種語言來學習，學生將學會使用最基本的集合語言表示有關的數學對象，發展運用數學語言進行交流的能力。在高中數學課程中，一般從“數”與“形”兩個角度描述數學對象，具有“數集”意義的數學對象有：函數的定義域和值域、不等式（或不等式組）的解集、方程（或方程組）的解集等；用集合語言描述具有“圖形”意義的數學對象有：圓、橢圓、雙曲線、拋物線、可行域等等。

2.“類的對象”具體準確地揭示了集合的本質，對“類”的對象的研究和刻畫也成為中學集合問題研究的出發點和歸宿。對研究的對象進行適當的“分類”是集合的功能。因而，在教學中讓學生感知集合是關于“類”的概念非常必要。

3.集合不僅是一種數學語言，而且還是一種思想方法。集合單元中蘊含著豐富的數學思想方法，如分類的思想、子集思想、交集思想、并集思想、補集思想、數形結合思想和轉化化歸思想等。集合思想方法在高中數學中的應用無處不在，我們可以用子集思想解釋充要條件，用補集思想處理從正面求解較困難或較繁的問題等等。在集合的教學中教師若能及時向學生滲透數學思想方法，不僅能使學生認識數學思想方法的重要性，還將復雜的問題變得條理清楚，起到化繁為簡、事半功倍的作用。

4.集合語言的學習和其他語言的學習一樣，需要一個過程。作為高中數學階段第一個數學語言，首先要掌握集合語言的表述方式和規則，其次要學會準確轉換文字語言、符號語言和圖形語言，再次需要利用集合語言表述其他數學問題，最后要能利用集合思想方法解決其他數學問題。當然，熟練地運用集合語言來揭示數學問題有一個理解與掌握的過程。一方面，我們可以利用集合語言復習、梳理已有知識，另一方面，隨著學習深入，我們可以用新知識鞏固集合語言，還可以用集合語言、思想方法來解決新的數學問題。

5.集合，是高中階段學習的第一個數學對象。應通過集合單元的教學，讓學生總結提煉出學習一個新數學對象的路線圖：定義→表示方法→關注特殊對象→數學對象間的關系及分類（尤其是相等）→構造運算及性質→應用，為以后其他數學對象的學習提供一個范式，起到示范作用，從而幫助學生形成認知結構，發展元認知。

三、單元教學中需要注意的問題

1.集合語言的學習主要在“用”的過程中實現，對此，我們倡導從“讀得懂”、“會翻譯”和“活運用”多方入手。由此可見，教師在集合的教學中應十分重視集合語言，一切的教學選材、教學設計和教學活動都應圍繞一個主題，那就是增強學生對集合語言的理解、翻譯和運用的能力。

2.初學“集合”時，一定要用學生己有的知識作為學習集合的載體，如：用集合表述自然數、整數、一元一次不等式的解、方程和方程組的解等；不要用學生不熟悉的知識增加學生學習“集合”的難度，如盡量不要在這里出現一元二次不等式的求解問題，等等。

3.眾所周知，集合可以看成是由某些確定的對象所組成的全體，其中的每一個確定的對象稱為這個集合的元素。集合的表示、集合之間的關系、集合的運算等等都是從元素的角度予以定義的。集合的表示，運用的是集合元素的列舉和描述；集合間的關系，運用的是兩個集合間元素的存在關系；集合的運算，運用的是公共元素、所有元素、剩余元素等概念。因此，求解集合問題時，要善于抓住元素的特征進行分析，就相當于牽牛抓住了牛鼻子。抓住了這個關鍵因素，解決問題就會事半功倍。

4.掌握集合語言不能一步到位。在整個高中數學學習中，有很多內容是提高學生掌握集合語言的載體，如：解析幾何、線性規劃、立體幾何、函數的定義域和值域、函數圖像、概率、統計，等等，這些都是進一步掌握集合語言的載體。

5.在實際數學教學中，數學符號常是教學的一個盲點，很少人關注它的源與流。其原因是應試教育的觀點作祟，一切從考試出發，認為集合內容高考很簡單只要會做幾個簡單的題目就行了，很少重視集合內容的本質。學習集合語言，首先要弄懂各種符號的意義和用法。熟悉了這些符號后就可以比較方便地表達集合的一些性質。運用數學符號來表達可以體現形式上的簡潔性和結構上的完美性。

6.在教學中，教師要對集合單元中所反映出來的數學思想和方法及時總結、歸納，同時結合后續教學內容及時滲透與強化，引導學生領悟問題中所蘊含的數學思想方法，發展學生數學能力。

7.將“集合”一章作為高中數學（甚至整個數學）學習過程中進行數學研究、數學理論建構的范例來整體認識，也是本章的重要教學價值之一。

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