淺談數(shù)學(xué)美

楊秦飛 王秋月

【摘要】說到數(shù)學(xué)美，很多人第一反應(yīng)便想到的是 “簡潔、統(tǒng)一、對稱、協(xié)調(diào)、和諧和奇異”等，筆者則認(rèn)為，數(shù)學(xué)真正的美在于它的火熱思考之美，即“思維之美”.筆者認(rèn)為其主要體現(xiàn)在兩個方面：一是數(shù)學(xué)知識的板塊與板塊之間通過思考建立聯(lián)系的過程；二是數(shù)學(xué)解題中的“另類”思考方式和“巧妙”處理方法.本文筆者通過對數(shù)學(xué)思維美得論述，并給出其對中學(xué)教學(xué)的啟示.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)美；數(shù)學(xué)思維美；數(shù)學(xué)本質(zhì)

一、引 言

當(dāng)前我們大部分人眼中的“數(shù)學(xué)美”，即是指我們利用數(shù)學(xué)知識，創(chuàng)造出來的具有“簡

潔、統(tǒng)一、對稱、協(xié)調(diào)、和諧和奇異等特性”的實物的外觀美，或則是數(shù)學(xué)解題中推導(dǎo)出來的一些公式、定理等.正如張奠宙等人所指出的：“近來又見對數(shù)學(xué)美十分關(guān)注，但是翻閱一下，大同小異，無非是簡約美，和諧美，對稱美，奇異美那么幾條，但對中學(xué)教材內(nèi)容的美作些分析如何？概念之美，證明之美，體系之美，無限之美，平衡之美，可探討的方面很多，何必總說那幾句老話？”這里筆者將從數(shù)學(xué)思維的角度來闡述數(shù)學(xué)的真正美，這種美不是憑肉眼能看到的，是一種從理解、認(rèn)可和精神層面去欣賞的美，是需要我們?nèi)ジ惺艿拿馈獢?shù)學(xué)思維美.

二、數(shù)學(xué)思維美的體現(xiàn)

所謂數(shù)學(xué)思維美，筆者總結(jié)得出：數(shù)學(xué)思維美是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中火熱思考的過程，是波利亞所說的“解題過程中關(guān)鍵性步子”，是弗賴登塔爾所說的“再創(chuàng)造”，是涂榮豹教授所說的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”.其最重要表現(xiàn)在：1.數(shù)學(xué)知識的板塊與板塊之間通過思考建立聯(lián)系的過程；2.數(shù)學(xué)解題中的“另類”思考方式和“巧妙”處理方法.

1.數(shù)學(xué)知識的板塊與板塊之間通過思考建立聯(lián)系的過程

正如顧沛教授所說“數(shù)學(xué)的美，在于數(shù)學(xué)思想深刻之美”.而數(shù)學(xué)的思想的深刻，就要求我們必須對數(shù)學(xué)知識有深刻的理解和認(rèn)識，沒有深刻的認(rèn)識和理解，是不能體會這種思維之美的.而對相關(guān)知識的深刻理解，正是在數(shù)學(xué)知識與知識之間建立聯(lián)系，其實就是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中說的認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，其集中體現(xiàn)在“同一知識的不同表現(xiàn)形式之間的關(guān)系和建立這種關(guān)系的思維過程”.

這種理解和認(rèn)識，就是要我們能慧眼識珠，在數(shù)學(xué)這個茫茫大海中，拋其迷霧，視其本質(zhì).例如：對于圓的方程（x-a）2+（y-b）2=R2，我們就可以將其從兩個方面來看：一是勾股定理，可將|x-a|，|y-b|，R分別看作直角三角形的兩直角邊和斜邊；二是三角函數(shù)，從cos2θ+sin2θ=1，可將（x-a）2=R2cos2θ，（y-b）2=R2sin2θ從而將x，y用三角函數(shù)表示出來使得很多問題簡化；類似的還有橢圓、雙曲線、以及函數(shù)部分都可用類似的方法找到各個板塊之間的聯(lián)系，使得問題簡單化.試想在教學(xué)中，我們注意這方面能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系，他一旦理解了這種美，那么就不會出現(xiàn)“教師在講臺上一臉沉醉的欣賞著歐拉公式：eix=cosx+isinx將指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及復(fù)數(shù)通過這么簡單地數(shù)學(xué)公式聯(lián)系起來是多么的美麗，而學(xué)生卻在下面一臉茫然，不知老師為什么因為一公式沉醉成這樣”.學(xué)生為什么會這樣想？究其原因，其最根本的問題還是學(xué)生沒有深刻理解這些知識和這些知識板塊之間的關(guān)系，這就好比讓一個不懂美學(xué)的人去欣賞最后的晚餐一樣，他看到就只能想到，就是一些人在一起吃最后一頓飯，卻不能根深層次的理解這種美.

2.數(shù)學(xué)解題中的“另類”思考方式和“巧妙”處理方法

數(shù)學(xué)的美，表現(xiàn)在很多方面，但是思考方式和對問題的處理方法是其最重要和最特殊的一點.對于中學(xué)生來說，學(xué)生能接觸的數(shù)學(xué)美，除了表面的美，就是在解題中來接觸數(shù)學(xué)思維的美，而這種美是集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中，對問題的思考方式和處理方法.這里“思考方式”是“處理方法”的先決條件，只有經(jīng)過思考才能得出漂亮的處理方法；而“處理方法”又是“思考方式”的呈現(xiàn)方式，思考的方式方法，即是說看問題的角度，從不同的角度去看待一個問題，就會有不同的處理方法，例如下題第二小問：

（2014年全國統(tǒng)一考試北京卷.19題）已知橢圓C：x2+2y2=4

（1）求橢圓C的離心率；

（2）設(shè)為O原點.若點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OA⊥0B，試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

一般地，判斷直線與圓的位置關(guān)系，我們采取圓心到

直線的距離和半徑比較，但這里我們不用點到直線的距離公

式，嘗試采取在動直線上任取一點（這里取中點），求的定

點和該動直線上任一點連線的長度，那么該

長度的最小值必為該定點到該直線的距離，由于直線

在運(yùn)動過程中，必然會運(yùn)動到，定點和動直線上一點

的連線垂直于該動直線，而此時就是該線段的最小值——定

點到該動直線的距離.如圖中，BD是動直線l，則直線外一點A與線段BD上任一點連線（如AC）的最小值都是過點A向l做垂線的垂線段AN的長；因此，如果我們要求點A到直線l的距離，那么我們只需在直線l上任取一點C，求得AC的最小值即可.

此種思考方式、處理方法令人拍手稱絕，巧妙地將點到直線的距離這一機(jī)械的代公式求法，轉(zhuǎn)換為動點到定點的最小值問題，使問題有了思考的火花.

三、數(shù)學(xué)思維美在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用建議

1.注重數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解——知識與知識之間的聯(lián)系

就數(shù)學(xué)知識的教學(xué)而言，掌握和理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)是第一位.在中學(xué)教學(xué)中，無論是數(shù)學(xué)知識的新課教學(xué)，還是解題教學(xué)，我們都應(yīng)該注重對數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘，讓學(xué)生真正理解和掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而這種本質(zhì)正是我們所說的同一知識的不同呈現(xiàn)形式，即同一內(nèi)容在不同的知識板塊他們的不同呈現(xiàn)形式，讓學(xué)生從根本上認(rèn)識和掌握這些知識，也只有真正的理解和掌握了這種數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生才能在數(shù)學(xué)的海洋里“潛泳”而不是“漂浮”；才能做到在問題與問題之間的轉(zhuǎn)化，使我們的教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果.

2.充分暴露數(shù)學(xué)思維過程

數(shù)學(xué)自身即是抽象的思想化材料，那么在教學(xué)中暴露數(shù)學(xué)的思維過程是必然的.當(dāng)然我們不僅要暴露數(shù)學(xué)家的思維過程，還要暴露教師的思維過程、學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生將自己的思維過程和數(shù)學(xué)家、教師的思維過程進(jìn)行比較，從比較中體會數(shù)學(xué)的思維美.更重要的是要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式和方法，從思維上進(jìn)行理解和認(rèn)識數(shù)學(xué)的思維美，從而提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，以達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量.

3.注重思維方法的再創(chuàng)造

正如大數(shù)學(xué)家和教育家弗賴登塔爾所說：“重要的不是僅僅會使用構(gòu)造好的材料，而是以這種材料更好的進(jìn)行創(chuàng)造性活動”.如果說前兩者是對于知識的儲備，那么“思維方法的再創(chuàng)造”則是具體的實際應(yīng)用.在教學(xué)中，我們已通過前兩點讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)的思維之美，那么，接下來就是讓學(xué)生學(xué)會自己去領(lǐng)悟和體會這種來自思維的美；這就要求教育者在暴露了自己的思維過程之后，再通過知識與知識之間的聯(lián)系，來進(jìn)行對思維方法的拓展思考，即在不同的角度和不同的知識板塊對現(xiàn)有問題的進(jìn)行新的思路和理解的探究，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]轉(zhuǎn)引張雄.數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)教育.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J].1997.8-9.

[2]顧沛.數(shù)學(xué)的美在于數(shù)學(xué)思想深刻之美.數(shù)學(xué)教育學(xué)報[J].2011.4.

[3]楊澤忠.陳煥法.中學(xué)CAMI過程中數(shù)學(xué)美的教學(xué)研究.數(shù)學(xué)教育學(xué)報[J].2010.19（3）.88-92.

[4]王欽敏.感受數(shù)學(xué)美的兩個重要途徑.數(shù)學(xué)教育學(xué)報[J].2014.23（2）.53-56.

[5]溫建紅.涂榮豹.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用信息技術(shù)的思考.數(shù)學(xué)教育學(xué)報[J].2008.17（1）.91-94.

[6]涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)識論[M].南京師范大學(xué)出版社.2004.

[7]楊孝斌.數(shù)學(xué)教學(xué)思維導(dǎo)向的研究[M].四川大學(xué)出版社.2010.08.

[8]弗賴登塔爾（荷）.陳昌平/唐瑞芬譯.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].上海教育出版社.1995.