初中數學教學研究，從數學本質出發

王益龍

[摘 要] 初中數學的教學研究容易失之于空洞，容易失之于技術化，其導致的結果就是教師對數學教學的理解不透，以及學生對數學學習的厭惡. 從數學本質出發去開展教學研究，可以為有效的初中數學教學奠定堅實的基礎. 數學本質不是純粹意義上的數學的本質，而是教學視角下、學生視角下數學本質的解讀，必須符合教學的需要. 基于數學本質的教學研究，可以促進初中數學有效教學的開展.

[關鍵詞] 初中數學；教學研究；數學本質

初中數學教學中，教學研究是一個基本概念，談本職工作沒有不談教學研究的. 但從教學研究的效果上來看，真正對教師起作用的教學研究似乎不多，因此教學研究很容易成為一個空洞的概念，成為一個只具其名不具其實的教學環節.

為什么會造成這樣的結果？筆者以為原因是多方面的，其中不可忽視的一個方面，就是教師在教學研究過程中對學科本質的認識. 就筆者所教的初中數學而言，如果不從數學本質出發，那教學研究就很容易成為空中樓閣. 而現實中的另一個困惑則在于，數學本質似乎常常是一個高大上的概念，普通一線教師似乎很難觸及數學本質，也就是說數學本質在實際教學中與具體的教學內容似乎聯系不起來.

近年來，筆者圍繞數學本質進行了長時間的研究，在研究的過程中遇到了一些挫折，也收獲了不少的認識. 現就借本文與同行交流如何基于數學本質進行教學研究.

數學本質是教學研究的源頭活水

傳統視角下的教學研究對象，是一個個具體的數學知識. 就拿初一年級的數學教學來說，“負數”是第一個要學的重要數學概念，對之有無教學研究的必要，應當不是一個需要討論的問題. 但對負數概念及有理數運算的研究，又常常是一個容易被忽視的話題，因為其太簡單甚至是太普通了. 那么，事實是不是如此呢？記得在教學中曾經遇到過有學生提出這樣的問題：老師，為什么要學負數呢？就沒有別的方法表示“負值”嗎？負數不就是減正數嗎？等等問題，有些有道理，有些看起來沒道理但實際上有道理. 更重要的是，這些問題都是學生在負數學習的過程中自然產生的，而傳統的數學教學又無法給學生的這些問題提供答案，這就說明我們的教學研究過程中，并沒有針對學生的需要去進行有針對性的思考. 那么，這些問題與數學本質又有什么關系呢？

分析學生的思維可以看出，學生實際上是在對負數及其運算進行一種尋根究底式的提問，說明學生內心有進一步追究負數這一概念本質的需要，這種需要或許與負數及其演繹出的數學問題解決無關，但與學生構建對負數的認識有關，與學生的數學素養有關. 如果解決了學生的這些問題，那學生對數學的認識就有可能更進一步，還有可能激活學生在數學學習中的思維. 至于激發學生的學習興趣，那就更是水到渠成的事情了.

以負數的四則運算為例，負數的四則運算當中，最為學生熟知的可能就是“負負得正”了，即使學生在沒有學過負數運算的時候，也聽說過這樣的話. “負負得正”從運算的角度來看，就是一個運算法則的事情，但恰恰是法則這個概念，是教學研究中的薄弱環節. 筆者在多個場合參加過不同層次的教研活動，也曾經多次提到過關于法則概念的備課觀點，但很少得到別人的附和. 筆者反思：到底是自己想多了，還是別人想少了？幾經思考，還是感覺關于法則的備課不可或缺. 眾所周知的是，初中數學從有理數開始的教學中，一個很重要的內容就是運算法則，“負負得正”看似是一個口訣，實際上卻是人們在生活生產以及數學研究的過程中，積淀下來的一個關于兩個負數相乘的最簡潔的規則. 有研究者指出，“負負得正”作為一種非經邏輯證明得出的規則，其反映的是客觀世界與數學內部綜合需要的結果，是人類幾千年來計算經驗的總結，是追求“和諧體系”的結果.

在實際教學研究的過程中，筆者思考，如果能夠給學生提供負數概念提出的相關背景，再給出生活中建立負數的需要，那么學生就會認識到負數的提出確實有其必要性，也可以讓學生在學習過程中提出其他的表示“負”的思路，通過比較又會發現在正數前面加一負號是最為簡潔的方法，而這恰恰是數學的本質特征所在.

基于數學本質的教學研究與思考

基于數學本質去開展教學研究，筆者以為是從根子上抓住了教學研究的關鍵. 初中數學知識再簡單，也是有數學本質存在的，對于一線數學教師而言，最大的挑戰在于如何從看似簡單的數學知識背后尋找出數學本質. 筆者感覺，數學本質也不是想象的那么高大上，從數學知識的角度出發，延伸出的數學方法、數學思想，都可以看作是數學本質的一部分；數學知識形成的邏輯，也可以看成數學本質的一部分；數學知識在生產生活中的延伸，同樣可以看作是數學本質的一部分. 簡單地說，就是能夠超越數學知識構建本身，能夠在數學知識構建的過程中進行適當的延伸，都可以看作是數學本質的體現. 下面筆者通過事例來談談筆者的淺見.

先說“負負得正”這一法則的教學，人教版教材中給出了這樣的例子：一只蝸牛沿直線l爬行，現處的位置為O，問出的第四個問題是：如果蝸牛一直以每分2厘米的速度向左爬行，那3分鐘前它在什么位置？在這個情境中，“向左”與“前”被界定為“負”，那么，可由邏輯推理分別得出計算過程與結果，過程即是（-2）×（-3），而結果則是在點O右邊6厘米處，即+6，于是可得（-2）×（-3）=+6，“負負得正”推理而出.

實際教學過程中，這樣的情境比較簡潔，適合剛剛進入初一年級進行數學學習的學生順利思維，過程也比較簡潔，“負負得正”法則的得出顯得很是順利. 然而在實際教學中又常常出現一種奇怪的感覺，即學生雖然由此情境可以推理出“負負得正”的法則，但內心似乎又不是很接受其作為一個法則而存在，也就是說并沒有很好地解決為什么“負負得正”的認識問題. 應當說這種情形在數學學習中非常常見，學生經常會出現面對正確邏輯而無法接受的情形. 而之所以出現這樣的情形，筆者以為原因之一，就是沒有從數學本質的角度對本知識的教學進行研究.

在上一部分筆者提到，對于初中學生學習數學而言，數學本質不是體現為高大上的理論，而是體現在與學生的生活聯系密切，并能通過數學抽象或數學建模的過程，獲得數學思想方法，并最終建立數學認知的過程. 在“負負得正”的教學中，教材所給出的四個問題實際上并不是孤立的，將四個問題聯系成一個整體去進行教學，是觸摸本知識數學本質的第一步. 即通過四種不同的情況，分別得到“正正得正”“正負得負”“負正得負”“負負得正”，更要分析這四種情況實際上是正負數相乘的四種組合，再沒有例外. 在沒有例外的情形下得到了這樣的結果，那就意味著邏輯上的必然性. 然后再具體到實例當中，學生會發現剛剛邏輯推理得出的結果，是符合實例的，也就是說在生活當中也是嚴絲合縫的，即本數學規律是可以描述事實的.

通過“邏輯上的必然性”與“對生活的精確描述性”兩個維度來研究本知識的教學，可以說是從本質上抓住了學生的思維特點. 因為初中學生數學學習的一個顯著特征，就是尋找邏輯的嚴密性，以及在生活中的適用性. 當邏輯嚴密且能對生活有用時，學生的接納程度往往就比較高. 這也提醒我們一線教師，數學本質與數學教學研究聯系起來時，就意味著學術意義上的數學本質要向生活轉變. 教師要善于將自己吸納進去的專業的數學本質，轉換成學生能夠聽得懂、體驗得到的數學語言，然后據此實行教學，而這個過程自然也就是教學研究的過程.

數學本質的觸摸需緊密聯系學生

實際上上一段就已經體現了一個觀點，那就是學生視角下的數學本質的解讀，這里實際上還有另一層意思，那就是教學范疇內的數學本質，與純粹數學研究角度的數學本質有所不同. 在初中教學中，只有數學本質能夠為學生所感受時，其才能對學生的學習起到引領性的作用，這也就是我們通常所強調的“用數學來進行教學，而不只是教數學”.

因此，基于數學本質進行教學研究，考驗的是教師把握數學本質的能力，考驗的是教師用學生視角來解讀數學本質的能力. 根據筆者的經驗，要做到這一點，關鍵還在于兩個研究點的確定：一個研究點是數學教學內容；另一個研究點是數學教學對象. 前者指向客觀的數學知識，后者指向主觀的學生，從客體與主體兩個角度進行數學本質的研究，可以引領初中數學教學沿著數學本質的主線來進行，從而可以從質的角度保證有效教學的可行性. 更重要的是，這對于通過數學來凝聚學生的學習力量，并切實提高學生的數學素養來說，有著重要的作用，在實際教學中，必須高度重視.