代換法在高中數學解題中的應用研究

陳泓諭

【摘 要】高中數學是學業任務繁重的高中生最為頭疼與難學的科目。在老師教學與學生學習的過程中，尋找高效快捷簡單的解題方法的是 “教”和“學”的重中之重。代換法是高中數學解題中常用的一種簡化數學題的解題方法，可以提高學生的解題效率，降低出錯率。

【關鍵詞】代換法；高中數學；簡化

數學這門學科的發展與人類思維的進步有著很密切的關系，學習數學可以很好地鍛煉人的思維能力。學生的思維能力越強，學習數學也就越容易。高中學生的學業任務繁重，每天還吸收很多知識，還要完成老師布置的學業任務。對大部分高中學生來說，在高中的幾門學科中，高中數學是最為難學的。高中數學老師在教學的過程中，要盡自己所能去培養學生的思維能力，多為學生傳授簡單有效地解題方式。在這種教學方式過程中，帶領學生將高中數學題逐個理清題意，分析題干，將復雜的數學題簡單化。這樣學生不僅可以鍛煉自己的思維能力，還可以建立獨立解決高中數學題的信心。將復雜的數學題簡單化的解題方法有很多種，比如：配方法，代換法、待定系數法、反證法、數學歸納法等等。本文將重點介紹代換法在高中數學解題中的應用。

一、代換法概論

使用代換法解高中數學題的初衷，就是將復雜難懂的數學題轉化為簡單的數學題，進而進行求解。在一些復雜難懂不易解決的數學題中，往往存在著至少兩個條件是沒有給出的。在解決這種數學題中，需要自己先根據已知的條件，結合自己學過的數學公式與定理，再根據這兩者之間的聯系，將數學題中的數量關系進行一定地轉化，也就是將題中的變量之間的條件進行轉換，進而使得此數學題中的問題變成另一種簡單的問題，實現復雜難解決的數學題的簡單化。代換法可以細分為許多種方法，有函數代換法、等量代換、不等量代換法、變量代換法、三角函數代換法等等。

使用代換法進行解題的過程中，有些方面是值得學生注意的。在使用代換法的過程中，學生的思維不要只向一個方向想，是需要發散的，是全方位的，從一個個點形成一整個面。在使用代換法的過程中，首先需要牢牢地固定住自己的思維中心，而且自己的思維中心不能受到數學問題的影響而產生動搖。牢固自己的思維中心，然后思維從中心發散開。在使用代換法的過程中，不能想著僅僅依靠代換法。在必要的同時，多于其他的數學解題法相結合，使問題變得更加簡單，直觀。

二、代換法在高中數學解題中的應用

（一）三角函數代換法

三角函數代換法就使用正確的三角代換，用三角函數來表示原數學題中的代數關系，這樣從原來代數式的證明或者求解的問題轉換為三角表達式的證明或者運算。這樣數學題就變得比較簡單，容易解決。

如：設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是 。

分析與求解：這一道求解最值的問題，題中存在一條明確的二次方程的已知條件，如果直接求解難度比較大，可以試用一下，三角函數代換法，將題中的條件和問題轉化一下，可能不能簡單化，再進行下一步求解。題中的唯一條件是4x2+y2+xy=1，是一個二次方程，可以將這個二次方程進行一定程度地變形簡化，寫成（a+b）2+c2=d形式的，即，也就是。將括號中的式子2x+y/4看成一個整體，然后用三角函數進行代換，即令2x+y/4=cosθ，=sinθ，這樣就形成了新的等式。然后再進行變形，用cosθ和sinθ相結合來表示x與y，經過運算變形，可以得y= sinθ，2x= cosθ- sinθ 。原數學題需要求的是2x+y的最大值，則2x+y= cosθ- sinθ+sinθ=，然后再進行變形，提出，得×（cosθ+sinθ ），再將括號中的式子利用三角函數的性質進行合并變形，得到 sin（θ+φ），根據三角函數的性質，sin∝是小于等于1的，所以可得sin（θ+φ）≤=。因此原數學題的答案就是。

總結：這道求解極值的數學題，原題中只給了一個二元一次方程的已知條件，直接解題的難度很大，不容易得到答案，求這種最值的問題，一般是用三角函數將原題中的數量關系進行變形代換，利用三角函數的有界性，進行三角函數運算的方法解題，這樣就簡化了這種難以下手的數學題。

（二）變量函數代換法

變量函數問題的求解在高中數學題中是一個難點。這類題型中，大多數的題都是等式或者不等式，學生需要利用題中的條件來得到某些函數值。由于函數本身就是抽象的，這類題對于學生來說，具有很強的挑戰性，非常復雜難解。高中學生在解這種題的過程中，經常被題中負責抽象的條件和問題搞得暈頭轉向，無從下手，毫無頭緒。

如題：f（lnx）設=1-x，求f（x）。

分析與求解：這道題目看似非常簡單明了，但是卻令很多學生無從下手，原因就是因為f（lnx）包含lnx，本身lnx，就是一種函數，f（lnx）是函數中套著函數，而且f（lnx）這種雙重函數卻是一條直線，這就讓學生感到很難理解，不知道怎么進行求解。學生有這種想法，就不知不覺進入了一個誤區，這種誤區的產生，就是過分地關注f（lnx）的性質，而忽略了f（lnx）與f（x）之間的聯系與相似之處，這種聯系與相似之處，恰恰就是解這道數學題的關鍵之處。首先觀察這道題中已知條件與問題的特點，可以發現f（lnx）和f（x）是相似的，是一種類型的函數。只是其中的變量不同，f（lnx）的變量是lnx，f（x）的變量是x。題中給出的已知條件是f（lnx ）=1-x，可以使用變量函數代換法，進行變量代換，再利用題中的已知條件f（lnx ）=1-x，對題中f（lnx）的表達式進行變形，就可以求得f（x）的表達式。可以讓t=lnx，然后用t來表示x，即x=et，再利用該關系等式將題中的已知條件進行變形，得到f（t）=1-et，由于t是變量，可以用任何符號來表示，即f（x）=1-et。這樣就很輕松地解決了這道看似很難的數學題。

總結：這種已知條件是雙重函數的表達式，問題是求單一函數的表達式或者已知條件是單一函數的表達式，問題是求雙重函數的表達式的題型，可以利用題中所給條件中的函數與所求問題的函數之間的聯系和相似性，使用變量函數代換法，進行變量代換，就可以使得這種用常規解題方法難以解決的數學函數問題得以簡化求解。

（三）等量代換法

數學與我們息息相關，數學中對于概率問題的研究在我們實際生產和生活中的應用非常廣泛，關系密切，所以高中數學有一部分知識是專門講解概率問題的。這一部分知識對于大部分學生來說不容易掌握，時常搞得自己暈頭轉向的。概率問題的學習目的在于培養學生的分析能力，注重鍛煉學生做事情時的分類、分布與安排的能力。高中數學中的概率問題大部分研究的是古典概率的問題。對于這種概率問題的求解，有兩個非常關鍵的方面，一方面是求解一次實驗可以得到多少種可能的結果。另外一方面是在某個事件中可能有多少種結果。這些問題的求解都涉及到一個很重要的解題方法：排列組合。在進行排列組合的過程中，需要高度關注一個問題：不同的元素。不同元素的問題也就是個體之間是否存在區別的問題。個體之間是有區別的，那么就可以使用排列組合來解題，否則就不能使用排列組合的方法。

有一道題：有一家店進行促銷活動，促銷的規則：“在一個盒子中放著10個乒乓球，上面寫著不同的號碼。這10個乒乓球中有2個黃球，8個白球。每位顧客一次從盒子中摸出兩個球。假如摸出2個黃球，就得到一等獎，獎品是價值為300元的該店購物卡……”

現在我們就計算顧客得到一等獎的概率。因為現在每一個球都是不同的，有區別的，相同顏色的球可以根據球上不同的號碼進行去唄，不同顏色的球就更是有區別的了，這樣就可以使用排列組合的方法來計算獲得一等獎的概率。假設顧客得到一等獎的概率是P（A），那么我們可以根據該店的促銷規則來計算出一等獎的概率，顧客一次摸出兩個球，那么顧客一次從盒子中的兩個黃球中摸出兩個黃球是的排列組合是。盒子中有10個球，顧客一次從10個球中摸出兩個球的排列組合是。那么顧客獲得一等獎的概率就是P（A）==。促銷活動持續了一段時間，由于活動的進行，盒子中球上的號碼漸漸地被顧客擦去，但是你會發現顧客現在獲得一等獎的概率P（B）與P（A）是相等的，因為球上的號碼并不影響最后的結果，影響結果的是球的顏色。假如現在還想算出P（B），雖然相同顏色的球已經不能再進行區別了，但是由于P（B）=P（A），所以現在算出P（A），就可以得出現在顧客獲取一等獎的概率。這是一種“等量代換”的思維，用這種思維來思考概率問題，可以抓住概率問題的關鍵，然后簡化復雜難以分析的高中概率問題。

（四）比值代換法

高中數學中有一部分知識是關于求解直線方程的，這一部分的知識計算量大，涉及到的定理與知識較多，而且題型多種多樣，不容易熟練地掌握。根據題中給出的已知條件或者題中所需要求的量與變量的比值有關系的時候，就可以考慮使用比值代換法進行簡化。

如題：有一條直線經過點（-3，5，9），而且和直線L1和L2相交，其中L1=y=3x+5 z=2x-3，L2=y=4x-7 z=5x+10，求這條直線的方程。

分析與求解：題中說明這條直線經過點（-3，5，9），和直線L1/L2相交，然后給出了L1與L2的表達式，讓求這條直線的表達式。首先可以根據直線經過的點將該直線的表達式初步寫出來：x+3/l=y-5/m=z+9/n，從這個表達式中可以看出x+3/l、y-5/m與z+9/n三者的比值相同，這個時候可以考慮用比值代換法，假設x+3/l=y-5/m=z+9/n=t，然后用含有t的式子來分別表示x，y，z，即x=-3+lt y=5+mt z=-9+nt，因為這條直線與L1和L2相交，題中給出了L1和L2的表達式，所以可以將x=-3+lt y=5+mt z=-9+nt帶入L1的表達式，得到：（m-3l）=1 n=2l。再次利用比值代換法，令x+3/l=y-5/m=z+9/n=s，然后用含有s的式子來分別表示x，y，z，即x=-3+ls y=5+ms z=-9+ns，將其帶入L2的表達式，得到：（m-4l）s=-24 （n-5l）s=4，再結合（m-4l）s=-24 （n-5l）s=4， 得到（m-4l）/（n-5l）=6，把n=2l 帶入到（m-4l）/（n-5l）=6中得到m等于22l，此時令l等于1，m就等于22，n就等于2，然后再將其帶入原公式，就可以得到想要求得的直線的方程：x+3=（y-5）/22=（z+9）/2。

這道題屬于求解直線方程中比較難的一種題型了。首先看到題中給出的已知條件中有通過一點，根據直線方程的性質，就可以直到在初步列出直線方程后，可以得到三個式子的比值相同，這樣就可以考慮用比值代換法，本題的關鍵是利用了兩次比值代換法，實現題的簡化。

三、總結

高中數學是比較難學的一門課程，是多門學科的基礎。高中老師在教學和學生在學習過程中，都需要多使用簡單快捷的方法，這樣既降低了出錯率，又使得教學達到事半功倍的效果，代換法是高中數學中常用的簡化數學題的方法之一，其中的三角函數代換法、變量代換法、等量代換法與比值代換法可以分別使得學生更加容易地學習和解決最值問題、函數求解問題、概率問題和直線方程求解問題，這幾種問題是高中數學中較為難理解與掌握的問題，解決了這些，對于高中數學的學習和成績的提高有著很大的促進作用。同時還可以增強學生解決數學題的信心，提高學生對數學的興趣。

參考文獻：

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