《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

項(xiàng)澤堃

【摘 要】《幾何畫板》是一款適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）教學(xué)的軟件平臺，它為老師和學(xué)生提供了一個(gè)探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。本文在對《幾何畫板》這一軟件進(jìn)行基本介紹的基礎(chǔ)上，列舉了《幾何畫板》在高中代數(shù)，立體幾何，平面解析幾何和高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等方面的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；信息技術(shù)輔助教學(xué)；高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

一張嘴、一支粉筆、一本書、一塊黑板，這是傳統(tǒng)的教學(xué)方法，時(shí)至今日，還有著極其強(qiáng)大的生命力。在這樣的教學(xué)模式下，知識的掌握、重點(diǎn)和難點(diǎn)的突破，總是靠教師機(jī)械反復(fù)地講，學(xué)生則機(jī)械反復(fù)地練。從而導(dǎo)致了學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，有的老師也百思不得其解，“這道題，我重復(fù)講了五、六遍，還是不懂”，我想這恐怕是掛在少數(shù)老師嘴上的口頭禪。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中總是在反復(fù)的識記、反復(fù)的再認(rèn)和保持，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，又談何容易。那么如何改變數(shù)學(xué)教學(xué)的這種現(xiàn)況呢？那就是數(shù)形結(jié)合的橋梁——《幾何畫板》。本文就《幾何畫板》在代數(shù)、解析幾何與立體幾何上的初步應(yīng)用對《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)上的輔助作用做一個(gè)簡單的闡述。

一、幾何畫板簡介

《幾何畫板》是由美國Key Curriculum Press公司研制并出版的幾何軟件。它是一個(gè)適用于數(shù)學(xué)教學(xué)的軟件平臺，為教師和學(xué)生提供了一個(gè)探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。它以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構(gòu)造、測算、計(jì)算、動(dòng)畫和跟蹤軌跡等方式，能顯示或構(gòu)造出較為復(fù)雜的圖形。

《幾何畫板》操作簡單，只要用鼠標(biāo)點(diǎn)取工具欄和菜單就可以開發(fā)課件。它無需編制任何程序，一切都要借助于幾何關(guān)系來表現(xiàn)，因此它只適用于能夠用數(shù)學(xué)模型來描述的內(nèi)容――例如部分物理、天文問題等。因此，它非常適合于數(shù)學(xué)老師使用，因?yàn)橛盟M(jìn)行開發(fā)最關(guān)鍵的是“把握幾何關(guān)系”，這也正是數(shù)學(xué)老師所擅長的。用《幾何畫板》進(jìn)行開發(fā)速度非常快，一般來說，如果有設(shè)計(jì)思路的話，操作較為熟練的老師開發(fā)一個(gè)難度適中的軟件只需5～10分鐘。

在老師的引導(dǎo)下，《幾何畫板》可以給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際“操作”幾何圖形的環(huán)境。學(xué)生可以任意拖動(dòng)圖形、觀察圖形、猜測并驗(yàn)證，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認(rèn)識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于學(xué)生理解和證明。因此，《幾何畫板》還能為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)進(jìn)行幾何“實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境，有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代教學(xué)的思想。

二、《幾何畫板》在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點(diǎn)、線按不同的方式作運(yùn)動(dòng)，曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運(yùn)動(dòng)的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強(qiáng)的運(yùn)算功能和圖形圖像功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對動(dòng)態(tài)的對象進(jìn)行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動(dòng)某一對象（如點(diǎn)、線）觀察整個(gè)圖形的變化來研究兩個(gè)或兩個(gè)以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時(shí)，分別拖動(dòng)中的點(diǎn)A的點(diǎn)B時(shí)，可以相應(yīng)的看到一組斜率為1的平行直線和過定點(diǎn)（0，2）的一組直線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的定義時(shí)，可以由“到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡”入手，令線段AB的長為“定值”，在線段AB上取一點(diǎn)E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點(diǎn)軌跡即滿足要求。先讓學(xué)生猜測這樣的點(diǎn)的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見之后，學(xué)生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時(shí)老師用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)B（即改變線段AB的長），滿足條件的點(diǎn)的軌跡變成了一條線段F1F2，學(xué)生開始謹(jǐn)慎起來并認(rèn)真思索。經(jīng)過這個(gè)過程，學(xué)生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴(yán)密性。

三、《幾何畫板》在代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中的重要知識體系，而函數(shù)又是最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分；同時(shí)，函數(shù)是以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種刻畫，這又決定了它是對學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微。”而我們教師在進(jìn)行函數(shù)教學(xué)時(shí)，備感頭疼的是函數(shù)的圖像，為了解決數(shù)形結(jié)合的問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中大多數(shù)老師手工繪圖。傳統(tǒng)的靜態(tài)作圖無法模擬數(shù)學(xué)中的動(dòng)態(tài)變化，很多時(shí)候僅憑想象往往會(huì)面臨高度的抽象和可想而不可及的尷尬，甚至?xí)霈F(xiàn)由于想象的不嚴(yán)密而導(dǎo)致的錯(cuò)誤。幾何畫板的數(shù)學(xué)作圖功能幾乎是為數(shù)學(xué)學(xué)科度身定做的，《幾何畫板》在動(dòng)態(tài)中保持幾何關(guān)系相對不變的特點(diǎn)以及能將較簡單的作圖和通過定義、構(gòu)造、運(yùn)動(dòng)和變換的功能能幫助我們模擬一些數(shù)學(xué)變化，進(jìn)一步研究變化過程中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從而克服上述弊端，大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事半功倍的效果。

綜上所述，使用《幾何畫板》進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實(shí)感的去把握它。這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大提高課堂效率。