尋找數學文化脈絡 推進高中數學教學

廖雙平

[摘要]高中數學教學中關于數學文化的研究有很多，數學文化滲入數學課堂更多的是借助于數學史中的數學故事來進行的。這樣的滲透方式不具有深刻性。研究表明。基于數學文化的脈絡去尋找數學故事背后的。能夠驅動學生思維的數學研究思路與數學思想。更能夠對數學教學起到推動作用。尋找數學文化脈絡的研究需要理清數學教學背景下的數學文化特點。需要基于數學實踐。需要思考數學文化發生作用的機制。

[關鍵詞]高中數學：數學文化：數學教學

高中數學教學不能成為純粹的應試教學。這樣的判斷深入人心但實施起來又特別困難。個中原因相信每一位高中數學同行都十分清楚。可以肯定的是。純粹的應試對學生及教師的影響都是十分巨大的。除了早已詬病的“高分低能”之外。教師自身的專業成長也有可能被束縛在無窮無盡的題海當中。那么有沒有可能在學生的應試壓力之下尋找出有效的突破之道呢？筆者以為。在當前的形勢之下。在培養學生的數學知識構建與解題能力的過程中。滲透數學文化是一條值得嘗試的途徑。

筆者注意到。數學文化實際上已經成為當前中國基礎數學教育的一個研究熱點。在高中數學課堂上無論數學文化的影子明顯與否。在不同層級的數學教學研討活動中。數學文化已然是一個熱詞。借著這樣的東風。普通一線數學教師在課堂上引入數學文化。應當說有其必要性。也有其必然性。更重要的是。“以文化為視角。在人類文化發展的歷史過程中審視和理解數學”。也可以有效地提高高中學生對數學的理解。進而提升學生的數學素養。這對于引導學生學會用數學的視野看待事物、研究事物進而理解事物是極有好處的。

在這樣的想法馬醫動之下。筆者在實際教學中既注意保持現實所需要的學生解題能力的培養。同時又不斷尋找數學文化在課堂教學中可能出現的脈絡。取得了一些收益。在此通過本文與同行共享。

高中數學教學背景下關注數學文化的特點

將數學文化放到高中數學教學的具體背景之下。可以尋找到更為有效的教學思路。之所以這么說。是因為在當前某些課堂上的數學文化有只圖熱門之嫌——有些課堂上的數學文化成為數學故事的講授。似乎數學文化就是為了有一些有趣的故事去吸引學生的眼球：有的課堂上數學文化成為一種與課堂無關的情境。似乎數學文化就是為了激發學生數學學習之初的一點興趣。筆者以為。這樣的數學文化的理解是膚淺的。對學生的作用也是極有限的。

將數學文化放到具體的教學背景之下。是為了讓數學文化與課堂學習更好地聯系起來。以讓數學文化在學生的具體數學學習的過程中有一個堅實的立足點。能夠真正生根。當然。這有一個重要的前提。那就是在實際的數學教學背景之下。數學文化所呈現出來的相關特點。對此。筆者進行了梳理：

第一。數學文化具有開放性。數學的發展是數學自身的邏輯體系發揮內力作用。社會經濟發展起著外力作用的結果。數學是客觀世界抽象發展的結果。同時又促進著社會的發展。因而認為數學文化是具有開放性的。具體到實際教學中。數學課堂應當不排斥生活事物而應當積極引入生活中的事物。并以之為分析對象。通過數學抽象、建模等方法。來描述生活事物。解決生活問題。從這個角度來看。數學文化顯然不是以數學發展故事為核心的存在。而首先是一種開放觀念的存在——數學教師要善于容納一切與數學直接或間接相關的事物。

第二，數學文化具有依附性。數學文化依附數學知識而存在。譬如“向量”（蘇教版高中數學必修4第二章）這一概念。早在古希臘時期就被亞里士多得運用來表示力。后來由牛頓演變為用有向線段來表示力。而其成為數學研究的重要內容。則是以其具有幾何特征的量的研究。也因此向量有了幾何向量與空間向量之分。再后來人們又把空間性質與向量運算進行了結合。演繹出一套具有運算通性的數學體系。縱觀這段歷史可以發現。數學文化是伴隨著數學知識的發展而延伸的。數學文化隱藏在數學知識背后卻又反作用于知識的生成。當前數學課堂上知識的構建缺少文化的支撐。因而學生只感受到數學知識的抽象性而感受不到文化的驅動。因而學困現象越來越普遍。

第三，數學文化具有多解性。不同視角下的同一數學事件有著不同的意義。數學課堂上數學文化更多的應當體現為對數學知識構建的促進上。同樣如上面所提到的“向量”概念的構建。基于數學發展史的文化脈絡。可以設計讓學生去比較向量與非向量的區別。認識生活對于向量描述的必要性。而不純粹是數學知識自身的邏輯性。則可以為學生構建關于向量的概念提供另一種動力。要知道。建構主義固然認為知識是學生自己構建出來的。但在不同動作作用之下。構建的過程與結果會有很大的區別。知識是不是真正得到內化。與構建動力有著直接關系。

梳理以上特點。目的在于引導自身在課堂教學實踐中以更為理性的心態引入數學史。更為智性的心態滲透數學文化筆者以為。相對于貼標簽式的數學文化課堂而言。這樣的滲透更具潤物無聲的效果。

以數學文化為脈絡的高中數學教學實例

在具體的數學知識教學過程中。在具體的學生構建數學知識的過程中。數學文化如何成為學生的思維脈絡之一呢？筆者進行了多次實踐，現結合“向量的坐標表示”中的“平面向量基本定理”教學進行簡單闡述。

平面向量基本定理的內容是：如果e₁和e₂是同一平面內的兩個不共線的向量。那么對這一平面內的任一向量a。有且只有一對有序實數λ₁，λ₂，使a=λ₁e₁+λ₂e₂。對于這一知識的構建，可以基于數學文化的脈絡設計這樣的幾個教學環節：

環節一：借助于生活因素，創設思維情境。提出探究問題向量的坐標表示有一個重要思想。就是平面內一個向量與兩個不共線向量之間的“依附”關系。即“一個向量”與“兩個不共線向量”之間存在的相互依附且唯一的關系。在生活中存在這種聯系的事物不少。比如學生在物理學科學到的合力與分力的等效依附關系。又比如說學生在音樂學習中遇到的樂譜中的阿拉伯數字與音調之間的對應關系等。引入這些元素。可以先讓學生感受一下這種普遍存在的依附關系。從而在思維上奠定平面向量基本定理的理解基礎。然后再借助于教材上提出的速度分解與力的分解兩個例子，提出問題：平面內的任一向量是否可以用兩個不共線的向量來表示？這樣的設計中蘊含了同一數學思想在生活與數學以及其他學科普遍存在的意思。旨在讓學生領略數學文化在不同領域的廣泛存在。

環節二：分析平面向量基本定理中的文化脈絡。實施主題引領下的教學。研究分析相關數學資料可以發現。平面向量基本定理描述等效前提下一個向量與兩個向量的關系。是源自于向量研究中研究者對某一平面內所有向量是否存在基底的探究。同時也源自于向量在實際應用中的等效要求。因此結合這兩點史實。在教學設計中可以設計這樣的環節：火箭升空后拐彎的時間段里，要從速度的角度描述其運動。則可以將其分解到水平與豎直兩個方向。這一實際情形通過數學抽象可以簡化為這樣的數學模型：一個平面內存在一個向量。然后尋求是否可以將其分解為兩個非共線向量。以及這個向量與兩個非共線向量（基底）之間的系數關系。本環節中可以回顧向量概念。尤其是牛頓利用向量研究力學的一些史料。從而加深學生對平面向量基本定理的認識。

環節三：引導學生反思深層次的文化力量如上所說。本文所闡述的數學文化并非以故事為載體的文化。而是以驅動學生進行有效的數學思維的文化。從第一個環節的設計中。學生可以感受到數學思想方法與數學思維的普遍存在與適用：從第二個環節中的數學與實際情形的聯系。以及基于一個平面內的基底的尋找與探究。學生可以感受到“有且只有一對實數”所帶來的數學的唯一性、精確性與對應性。而這恰恰是平面向量基本定理美的所在。

從數學文化視角管窺高中數學教育的實現

有研究者提出。高中數學要走基于數學文化的從數學教學到數學教育之路。顯然。數學教學局限于日常的應試，而數學教育則指向數學的本質。數學教育包含了數學教學。卻又超越一般的知識傳授在這個過程中。數學文化承載著重要的使命

數學教師要做的一件重要的事情是，從數學故事、數學軼事中尋找數學發展的脈絡。尤其是數學知識是如何發生的脈絡。以梳理一個數學知識在歷史中在什么樣的背景下、以什么形式被研究者所重視并發現出其中的規律的。這樣的研究可以讓教師更好地把握數學知識發生的邏輯。也可以更好地完善自身的教學設計，以讓學生經歷一個更為合理的學習過程。