讓思維可見 讓學習發生課堂教學感悟系列

張玉平

[摘 要]為了讓數學課堂能夠體現數學的思維價值，為了讓學習真正發生，教師要將靜態的教材變成動態的操作，從而切實提升學生的思維層次，讓學生逐步接近數學的本質。以“認識射線、直線和角”的教學片段為例，通過借助核心問題引領教學全過程，讓學生的思維產生激烈的碰撞，在碰撞中生成新思想、新方法，乃至新思維。

[關鍵詞]數學教學；數學思維；數學問題

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）23-0023-03

數學概念是組成數學思維的基本要素，是數學基礎知識的核心，概念教學一直都是小學數學教學的難點。概念對于學生來說過于抽象，對學生的思維層次要求較高。因此，教師要通過提問，引領學生認清數學概念，促使學生生成新思維。

【片段一】

師（出示課題：射線和角）：之前已經學習了角，你們認識射線嗎？誰能舉一個生活中的例子來說明？

生1：舞臺頂部的燈往臺上照射的光線。

師：生1很快就想到燈射出去的光線，非常棒！現在我們來看一張城市夜景圖。（出示教材上例1的圖片）

師（出示卡片：數學問題1）：這些燈射出的光線都可以看作射線。請讀一讀、想一想，你能不能把這些光線畫下來？

（學生操作；教師巡視并收集學生的作品）

師：圖1是劉浩畫的，請劉浩來說說他畫的是什么。

生2：我畫的是射向天空的光束。

師：劉浩把射向天空的光束畫了下來，他觀察得很仔細。

師：再看裘思涵的作品（如圖2）。

生3：我在下面畫了一條橫線代表地平線，向上的線代表射向天空的射線。

師：比較劉浩和裘思涵的作品，你們有什么話要說？

生4：裘思涵用橫線代表地平線，就表示射線要從一個地方射出來，而劉浩的就看不出來是從什么地方射出來的。

生5：我覺得裘思涵畫的更簡潔。

師：對，你們都能用數學的眼光看世界和用數學的方法表達自己的看法。

師：現在請看岳詩琪的作品（如圖3）。請大家猜猜她是怎么想的。

生6：岳詩琪在下面畫了一個端點。

師：答對了！現在請岳詩琪說說她是怎么想到這樣畫射線的。

生7：我把線出發的地方用小圓點表示，由這一點射出可以射得很遠。

師：你為什么只畫一段？

生7：因為它是可以無限延伸的，所以另一端就沒有端點了。

師：這就是數學上所說的射線。射線有什么特點？

生7：都可以用一個端點和一條無限延長的線表示，可以向任何方向射出。

師：我們真的要感謝岳詩琪，不，是岳老師。她把射線畫得這么準，又解釋得這么清楚。當然，也要感謝劉浩和裘思涵，他們讓我們對射線認識得更深刻。

【自悟：在歐幾里得的《幾何原本》或希爾伯特的《幾何基礎》中，“點”“線”這些概念是沒有定義的。在《幾何基礎》中，“點”“直線”的概念是通過公理體系并由概念之間的相互關系來感性定義的。我們也知道，公理體系是一些約定為真的命題的集合，這種對命題“真”的約定來自于學生對命題與現實世界的相關性的感悟。因此，要讓學生感悟這一命題，必須讓學生感悟命題與現實世界的聯系，感悟“點”和“線”的定義及兩者之間的關系。“點”是數學抽象的產物，既可以表示大的物體，也可以表示小的物體，如籃球、汽車、地球等都可以用點來表示。因此，數學研究中所有的點都是一樣的，“點沒有部分（大小）”；點的運動可以形成各種各樣的線，如將人、籃球、汽車、地球等看成點，它們運動的軌跡不論寬窄，都可以看作線。因此，“線只有長度，沒有寬度”。點沒有維度，也不占據任何空間，如果二維中存在一個平面，一維中存在一條直線，那么點就是一個零維的物體。所以，小學教材都是以描述性的語言來定義此類概念的，射線也是如此。

蘇教版教材通過給出一個很好的生活實例來引出射線——射向天空的光線。這比教師用激光筆或手電筒在教室里演示更為直觀，有利于學生的認識與想象。我在聽課當中曾遇到這樣的尷尬場景：教師打開手電筒射向教室外，學生認為光線被樹擋住了，教師提醒學生不要看樹，學生又認為光線被前面的樓擋住了，總也不相信這光線可以看成是射線。而本節課出示的城市夜景圖中，光線都射向天空，符合射線的三個要素：發光源—— 一個端點；射向天空——無限長；光線——直的，方向是多向的。這時，教師出示第一個問題（本節課我用了三張卡片，也就是三個數學問題，用紅色粉筆特別標注出來，目的就是讓學生學會用數學的眼光看待世界萬物，學會用數學的語言來描述世界萬物）“這些燈射出的光線都可以看作射線。請讀一讀、想一想，你能不能把這些光線畫下來？”學生根據自己的理解去表示，這個過程也是學生思維展示的過程，更是學生自主探索及學習的過程。對于學生作品的選擇，教師是帶有目的性的，劉浩的作品就是停留在直觀的層面，在他的眼中，光線是由多條線組成的，所有光束就有了粗細之分，但這不是數學概念上的射線，所以教師就把劉浩的作品安排在第一個展示。裘思涵畫出了地平線——知道射線要有起點，射向天空的光線不是用光束來表示，而是只用一條線——知道數學的表達。如何讓學生把地平線歸納為“點”？岳詩琪就做到了。對此，教師沒有直接肯定，而是讓學生思考：岳詩琪為什么這么畫？如何才是更好的表達？有了之前兩位學生作品的對比，學生的思維會轉到射線的本質這個方向，學生對射線的理解也一步步走向深刻。】

【片段二】

師：黑板上有兩個點A和B。A是在直尺的10cm處，B是在直尺的40cm處。現在老師的粉筆從A點平移到B點，黑板上會出現什么？

生1：一條線段。

師：這條線段有多長？

生2：30厘米。

師：我們給這條線段起一個名，叫作線段AB，當然也能叫作線段BA，也就是說線段AB長30厘米。你能不能把這條線段變成一條射線？

生3：可以，把一個端點去掉就行。

師：不管是把一個端點去掉，還是把其中的一個端點無限延長，都表示射線有一個端點，而另一端是無限長的（如圖5）。

師：這就是一條射線，我們把它叫作射線AB。還有第二種讀法嗎？

生4沒有，因為如果是射線BA的話，A是一個端點，過不去。

生5：如果是射線BA，說明端點應該是B。

師：圖6中的線段AB變成了什么？為什么？

生6：變成了直線，因為兩邊都沒有端點，兩邊都可以無限延長。

師：如何讀這條直線？

生6：直線AB或直線BA。

師：給大家30秒時間想一想線段、射線、直線有什么不同的地方，然后用1分鐘時間與同桌交流。

師：可以從哪些方面去比較呢？

生7：從它們的出發點和結束點來考慮。

師：對，一個是從端點上比，還有一個是從長度上比。還有嗎？

生8：射線是從一邊射出去的，而直線的兩邊是無限延長的。

師：生8是從方向上進行對比。還有嗎？（教師用手指向黑板上的板書）

生9：從名字上，比如線段AB。

師：也就是從讀法上進行對比。今天的家庭作業是畫一張表，要求在表中填寫從長度、端點、方向和讀法四個方面去比較線段、射線和直線的不同。現在我們來看一個生活中的場景（如圖7）。

師：小明從家到學校有3條路可以走。一般情況下，你認為他會選擇第幾條路？為什么？

生10：選擇第②條，因為第②條最近。

師：從數學的角度思考問題時，我們可以把具體情境去掉。小明家用A點表示，學校用B點表示，得到圖8。

師（出示卡片：數學問題2）：連接兩點的線段的長度叫作這兩點間的距離。測量A、B兩點間的距離應該選哪一條？

生11：應該是第②條。

師：線段AB的長度就是A、B兩點間的距離。測量出線段AB長為30cm，現在可以怎么說？

生12：A、B兩點間的距離是30厘米。

【自悟：通過“點動成線”幫助學生正確感悟“點”“線”之間的關系，盡管這里探究的是初中的知識，但通過教師的語言描述，加上實際的操作，學生是能夠理解的。

比較幾個版本的教材，只有北師大版的教材介紹了線的表示方法，不過對于直線，則只介紹了一條直線可以用兩個大寫字母表示，如“直線AB或BA”，沒有介紹直線也可以用一個小寫字母表示，例如直線l、直線a。其實，學生掌握了這些知識，更利于用線的知識進行閱讀與交流，對后續的學習有促進作用。因此，“如何表示線”雖然不是課程標準中明確需要學生掌握的一個內容，教師在課堂上還是進行了詳盡的講解，采用了教師教和學生自主悟兩種方式顯然是有利于學生認識和學習的。

對于兩點間的距離的認識，教師是從生活原型出發，讓學生根據自己的的生活經驗得到“從家到學校，走中間的直線是最近的”，便于學生感悟“過兩點只能畫一條直線”，然后再抽象到數學的點線圖，從而得到從A點到B點有且只有一條直線。其中，線段長度就是“兩點間的距離”，從“線段AB長30cm”到“A、B兩點間的距離是30cm”，并不僅僅是讀法上的不同，更是思維上的、認識上的提升，對于這一點，要讓學生充分體驗和感受。】

【片段三】

師：請大家認真聽老師的要求，想想老師描繪的是一幅什么樣的圖，然后把它畫下來。

師：先畫一條射線OA，再畫一條射線OB。

（展示學生的作品，如圖9）

師：你是怎樣想的？

生1：因為老師要求畫兩條射線。

師：畫兩條射線是沒錯，但你是否聽清這兩條射線都有一個共同的字母O？

生1（恍然大悟）：我明白了！

（再次展示學生的作品，如圖10-1，10-2，10-3）

師：這是我們已經學過的角。

師（出示卡片：數學問題3）從一點引出的兩條射線可以組成角。你能說出角的頂點和兩條邊嗎？

生2：角的頂點是O，兩條邊就是射線OA和OB。

師：角有特定的表示符號和讀法，如圖10-1中的角可以記作∠1，讀作“角一”。誰能表示圖10-2和10-3中的角？

師：不用考慮角的大小和朝向，因為表示角的符號是不變的。

【自悟：教材中的例2是從“以一點為端點，畫兩條射線”來引出角，但這個要求對于學生來說低了一點，只是操作層面的，所以教師將其改成“聽—想—畫”，讓學生有一個思考的過程，也就是對信息的加工過程。一開始，大多數學生是畫兩條單獨的射線，并沒有注意到信息中的重復字母“O”。當然，從嚴格意義上來說，畫兩條單獨的射線也沒錯，但這里是想通過這樣的活動更好地促進學生思考。因此，當教師提醒學生字母“O”時，學生都會恍然大悟。

對于角的符號“∠”，教師的板書一定要規范。蘇教版教材給出的“∠”的角度大概是45°，而人教版教材給出的“∠”的角度大概是50°。所以教師板書時要盡量和教材上的一致，不能太大也不能太小。

從學生家庭作業的反饋情況來看，全班47人，只有1人畫了空白的表格；40人都能從方向、長度和端點三個方面比較線段、射線、直線的不同，6人還從讀法上進行比較。】

總之，在教學中，核心問題的提出是建構有效教學的根本，有了核心問題的引領，學生的思維才能產生碰撞，碰撞出矛盾，碰撞出智慧的火花，學生也就在碰撞中從解決問題一步步生成新思想、新方法，乃至新思維。

（責編 金 鈴）