解析高中數學中的函數極值與最值問題

張徐則一

摘 要：比較分析了高中數學當中函數極值問題與最值問題的區別與聯系。舉例分析了幾種典型的求解方法，包括導數法、三角函數法、不等式法、幾何法、復合解法，總結歸納其中的解題規律。最后提出相關的解題技巧，指出除了學習掌握解題方法外，還需特別注意計算準確、解答完整。

關鍵詞：高中數學 極值問題 最值問題

一、概念解析

求解函數的極值與最值，是高中數學中函數題的必考點。從嚴格定義上來說，函數極值與最值是不同的，最值問題的求解立足于整個定義域區間，即在需要求解的定義域中，找到函數值最大或最小的點；而極值問題的求解則是立足于某一點的領域，如果能找到一點，在該點的兩端函數連續且函數值均比該點小（或大），那么這一點便是極值點。從圖像上可以直觀地看出，極值點必然是函數單調性發生轉折的點，在極值點處函數由增變減或由減變增，這實際上也是極值點存在的必要條件。定義上的不同導致了在一些情況下函數并沒有極值點，而只要函數在某一區間上有定義，則在此區間上必然能找到最值點。[1]

雖然函數極值與最值有所不同，但兩者的求法相似，在一些情況下，極值和最值是相等的，或者說要求出最值，免不了求出極值，因此極值問題和最值問題可以劃為一類問題。本文所舉例題亦是如此，但在必要的時候會做出說明。[2]

二、例題解析

1.導數法

根據函數極值的定義，極值點處函數的一階導數必然為零，因此通過求解使一階導數為零的點，便可求出極值點。需要注意的是，函數可能有多個極值點，需要完整地一一求出，并且對于復雜的函數曲線，極值點不一定是最值點。[3]

例：求函數在區間上的最大值和最

小值。

解：題中所給函數為一元三次函數，一般此類函數曲線呈S型，題目要求求解最值而不是極值，因此需要特別注意函數在區間端點上的取值，這將影響極值點是否可以作為最值點。

先對函數求導得，然后求使得導數等于零的點，解方程得，。兩個極值點均在題目所要求的區間內，因此需要求出所有極值點和端點的值，綜合判斷函數在上的最值。經過計算得到，，，，所以題目所給函數在區間的最大值為，最小值為。

2.巧用三角函數

當函數表達式中帶有三角函數時，可以利用三角函數的特殊性質進行求解，比如三角函數特殊的值域和不同三角函數間的代數關系，這些都可以作為求解的突破口。

例：已知函數，求該函數在上的最大值。

解：這道題目一看便知道可以用與之間的關系進行變換，再將用中間變量替換掉并配合導數法即可求解，其關鍵在于做換元時注意定義域的正確性。

首先將函數改寫為，然后做換元令，由于，所以，函數即可改寫為，。接著對改寫后的函數求導得，令導數為零求得，結合導數的取值變化，可知函數在中先增后減，所以函數的最大值。

3.利用不等式求解

不等式所給出的是取值的上限或下限，并且可以確定等號成立的條件，但并不能完整的反映函數在定義域內的增減情況，因此通常可以求最值，但不能嚴謹地求出極值。在使用不等式求解函數最值時，需要首先構造可以使用不等式定理的形式，然后才能繼續求解。

對于上一小節所舉三角函數的例題，也可以用不等式方法進行求解，過程如下：

由題目所給定義域，容易知道，將函數兩邊都取平方得

當且僅當即時，，加之，則此時亦有。

4.幾何法

對于一些特定的函數，可以從表達式中探究出一定的幾何意義，比如斜率、長度、面積等，但這一類方法普適性并不好，只針對特殊的題目才能排上用場。

例：已知兩個變量滿足，那么試求函數的最大值。

解：從題目中滿足的條件很容易聯想到圓的表達式，因此可以從幾何意義的角度來求解的最大值。改寫表達式得

那么便可看成在圓上的點到兩個定點和的距離之和，由圖1可知，圖中A點的位置對應取到最大值。

5.復合解法

函數極值與最值問題的解法多種多樣，有些問題中需要按步驟綜合運用多種解法，這在前文已有所體現，下面是一道更有代表性的例子，其中使用了前文尚未提及的判別式法。

例：已知，求的最值。

解：從題目條件可以看出之間的關系具有圓錐曲線的特性，但卻不能看出有什么特殊性質，因此先將改寫為

可設，，則

將其變形可得

要使用判別式法，還需將變量進一步縮減，利用萬能公式，改寫得

這里將看作變量，等式必然是有解，因此可做進一步

求解。

當時，可解得，此時，；

當時，利用判別式法，關于要有解則必有，即，解得，因此，此時，對應的，。

所以的最小值為-1，最大值為1。

三、技巧解析

1.從題目入手總結規律

極值和最值問題的求解是比較有規律的，這些規律不在于課本上的概念，而在于對題型的總結。在大量練習的基礎上，自發地從習題總結其規律性，可以加深對考點的理解，起到事半功倍的效果。

2.多種方法活學活用

對于諸如文中所舉第五類題型，需要熟練使用多種解法綜合解題，這就需要不僅對各種解法十分熟悉，還要對不同解法之間的聯系十分熟悉。這樣才能在了解每一種方法使用場合的基礎上，根據對題目的理解隨機應變。

3.細心計算大小兼顧

掌握了方法不代表就一定能把題目做對，還需要細心的計算，并且沒有疏漏，在考試時千萬不能因為找到了解題方法就一時興奮導致求解不完整。

結語

函數的極值與最值問題是高中數學函數題的必考點，同時也是一個規律性較強的考點。作者根據自身的經驗，提出了相關的學習技巧，即在平時訓練中總結解題規律，深入探究不同方法的綜合運用，并且需要十分注意計算的準確性和完整性。通過本文的解析，希望能給眾多學子帶來裨益。

參考文獻

[1]朱鵬翚.關于連續函數極值求法的分析[J]. 赤峰學院學報（自然科學版），2017，（05）：8-10.

[2]吳水成，陳國華. 數形結合法求函數最值策略[J]. 教育教學論壇，2014，（47）：260-261.

[3]陳宇.函數極值的求法及其在經濟管理中的應用[J]. 教育教學壇，2016，（27）：199-200.endprint