淺談三角函數解題方法

陽辰雨??

摘要：在現在的高中課程及考試中，我們可以很清楚地看到，三角函數占的比重比較大，選擇題、填空題及后面的大題，三角函數的身影無處不在。為什么三角函數會成為老師的命題熱點？可以從兩個方面來解答。一是：三角函數的題目非常的靈活，每一個公式的變式非常多樣，一道題目可以運用不同的公式進行解答。二是：就我們的教育而言，學習數學的目的在于開拓思維，能夠舉一反三，通過不斷的思考提升我們的思辨能力。本文就三角函數的解題方法做了一些簡單的總結，希望能夠對我們高中生有所幫助。

關鍵詞：三角函數；高中數學；解題方法；思路；分析

一、 針對基礎知識出題并解答

首先，我們需要知道高中階段所學習的三角函數的基礎知識有哪些，常見的有正弦、余弦、正切這些基本概念及公式，同時，我們需要知道以上三種基本函數的圖形，很多時候考題中比較簡單的題目就會將以上三種函數進行簡單的排列組合進行運算，所以，在學習基礎知識的時候，我們不僅需要熟練掌握每一函數的公式，圖形，還應該熟練掌握其公式的變式及三者之間的相互轉化方法。在最短的時間里，找到最佳解題方法，這樣不僅可以提高效率，還能幫助考場上的我們找到自信。說了這么多，下面讓我們來看一道題仔細體會一下。

【例1】已知ɑ和β均是銳角，當cosɑ=4/3，tan（ɑ-β）=1/3時，求cosβ的值。

分析：這是我們在學習過程中非常容易碰到的題目，也是三角函數最為基本的出題方式。這種題目主要考察三角函數的各種函數類型之間的轉化，因此，我們必須熟練掌握正弦余弦之間的關系以及他們之間的轉換公式。

解答：cosβ=cos[ɑ-（ɑ-β）]=cosɑcos（ɑ-β）+sinɑsin（ɑ-β）

因ɑ是銳角，可得cosɑ=4/5，sinɑ=3/5，

同時因ɑ、β均是銳角，-90°<ɑ-β<90°，

又tan（ɑ-β）=1/3，0°<ɑ-β<90°，

所以cos（ɑ-β）=310/10，sin（ɑ-β）=10/10，

所以cosβ=4/5*310/10+3/5*10/10=310/10。

上述題目中我們使用了三角函數的誘導公式、和差公式等，題目并不難，題目并不難，只要我們能夠理解出題人的意圖，充分發掘已知信息，將問題轉化為我們所學過的函數變換，題目就迎刃而解了。但是如果我們對于三角函數的誘導公式以及其他相關公式不熟練的話，我們依舊無法解答出此類題目，白白浪費了本應該可以到手的分數。

二、 豐富解題技巧，應對拓展難題

很多同學在解答三角函數的過程中，常常只是做一道題會一道題，缺乏歸納總結問題的能力，每道題目都是新題。這種學習態度及方法讓我們在面稍稍有點難度的問題上就一籌莫展，我們需要從好的題目中學習好的解題方式，在難題甚至偏題上提高我們的競爭力。讓我們再來看下面這一道題，看看我們可以從中學到什么。

【例2】化簡sin50°（1+3tan10°）。

分析：這道題目包括正弦和正切，并且不是我們常見度數，不能直接進行化簡，我們需要使用切割化弦法進行解決。

解：因為1+3tan10°=cos10°+3sin10°cos10°

=212cos10°+32sin10°cos10°

=2（sin30°cos10°+cos30°sin10°）cos10°

=2sin40°cos10°，

可得：sin50°（1+3tan10°）=sin50°·2sin40°cos10°=2sin40°cos40°cos10°=sin80°sin80°=1。

三、 利用最佳三角函數解題

題目中常常只會給出某一個三角函數的信息，但是通常會要求我們求另一個三角函數的值，函數之間的轉換關系式非常多，因此，要想快速答題，我們要選取最佳轉化關系式，因此，我們需要掌握每一函數的性質以及他們之間的區別。還是通過題目來進行一個直觀的體驗。

【例3】已知ɑ、β為銳角，sinɑ=25/5，sinβ=10/10，求ɑ-β的值。

分析：這是一道非常典型的題目，出題者意圖在于考察學生是否能夠合理選取誘導公式，因此，我們的答題思路應當是根據三角函數的性質合理選取變換公式。

解：因為ɑ、β為銳角，sinɑ=25/5，sinβ=10/10，

所以cosɑ=1-sin2ɑ=55，cosβ=1-sin2β=31010，

所以sin（ɑ-β）=sinɑcosβ-cosɑsinβ=22，

又因為ɑ、β為銳角，

所以-π2<ɑ-β<π2，

所以ɑ-β=π4。

實際上，在這道題中，我們有一個逆向思維的應用，也就是我們常說的“給值求角”。在解題過程中還有一些細節需要我們注意：注意題目中給出的或隱藏在已知信息中所求角的范圍，以幫助我們在最后的象限的選取中不要犯錯，從而能夠選擇出恰當三角函數用來解題。

參考文獻：

[1]賀連軍.例析高中數學三角函數解題中存在的問題[J].新課程（中旬），2013，（10）：211.

[2]張夢瑤.淺析高中數學中的三角函數變換[J].文理導航（中旬），2016，（1）：16.

作者簡介：

陽辰雨，湖南省長沙市，湖南省長沙市明德中學K382班。endprint