讓思維可見 讓學習發生

張玉平

[摘 要]為了讓數學課堂體現數學的思維價值，為了讓學習真正發生，教師要讓學生充分經歷推理的過程。以“圓的周長”的教學片段為例，教師要為學生搭建思維推理的平臺，引導學生親身經歷觀察、猜想、驗證等過程，才能使學生的思維從直觀走向抽象，從底層走向高層。

[關鍵詞]數學教學；數學思維；數學推理

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）29-0024-02

張奠宙與趙小平教授在《當心“去數學化”》一文中指出：“君不見，評論一堂課的優劣，只問教師是否創設了現實情境？學生是否自主探索？氣氛是否活躍？是否分小組活動？用了多媒體沒有？至于數學內容，反倒可有可無起來。”盡管充滿了美麗的詞語，如“自主”“探究”“創新”“聯系實際”“貼近生活”“積極主動”“愉快教學”等，但我們應該始終牢記這一點，“任憑‘去數學化的傾向泛濫，數學教育無異于自殺！”

【教學片段一】

師（在黑板上畫好一個圓（沒有標出圓心））：這是一個圓，我忘記圓心在哪里了，怎么找到它的直徑呢？

生1：連接圓上任意兩點得到一條線段，量出它的長度，找到它的中點，垂直畫下來就能找到圓的直徑。

師：還有別的方法嗎？

生2：可以把它想象成一張紙，將它對折；也可以拿一張紙覆蓋在上面，描出這個圓后再對折。

師：說得很好！通過想象把黑板折起來。誰還有其他的方法？

生3：可以在圓外畫兩條直線。

師：這兩條直線要怎么樣？

生3：兩條直線要平行。

師：這個方法很好，它就是我們的工具卡尺的量法。

生4：找出圓外兩條平行線之間的最小距離就是直徑。

師：這樣找圓心就容易了吧？

【自悟：如何讓復習或檢測不是簡單的重復，而是讓學生在回顧中再提升？這個問題值得研究。在此，我通過設計一個找圓心的活動開啟學生的思維之旅。學生給出的三種方法中，后面兩種在我的預設之中，而第一種方法，通過課后訪談得知該學生是從她爸爸那里學來的，這種方法已經是初中幾何的知識了。在接下來找圓心的過程中，我把半徑和直徑的概念有機地融為一個整體，這樣的認識是網狀結構而非點狀的，能有效地促使學生自主建構知識，形成完整的知識框架。】

【教學片段二】

師（讓學生在已畫好的一個圓中找到直徑后，教師用三角尺的60°角沿直徑畫了一個三角形）：你覺得張老師要提什么問題？或者你有什么想法？

生1：為什么要畫三角形？

生2：這個圓里可以畫多少個這樣的三角形？

生3：這個三角形的周長是多少？

生4：這個三角形的面積是多少？

師：我們要學了圓的面積后再研究三角形的面積。

生5：這個三角形有什么特殊的地方？

師：你覺得有什么特殊的地方？

生5：老師用的是三角尺中的60°角畫的角。

師：生5觀察得非常仔細，她看到我是用60°的角來畫的。學習不光要聽，還要觀察，觀察后還要思考。從這個角度考慮，它是一個什么三角形？

生6：是一個等邊三角形。

師：你量過嗎？

生6：沒有。

師：你沒有量過，張老師也沒量過，只知道其中一個角是60°，你怎么就能確定三角形OAB是等邊三角形呢？能給出理由嗎？給大家30秒的時間想想為什么是等邊三角形，同桌之間可以討論交流。

生7：這三個角的度數都是60°。

師：你是從等邊三角形的三個角都是60°，或者說每個角都是60°的三角形肯定是等邊三角形出發考慮問題的？

生8：一開始是用60°的角畫的，之前說過“三角形的內角和都是180°”，用180除以3，每個角就是60°，所以是等邊三角形。

師：你心里已經默認了三個角都是相等的，所以得到180°除以3等于60°。

生9：用60°的三角板去量一下。

師：量一下是可以的，但是這樣能說清楚問題嗎？

生10：因為還有兩條邊是相等的。

師：哪兩條邊是相等的？請指一指。

生10：OA、OB這兩條邊都是圓的半徑。

師：圓心到圓上任意一點的距離都是半徑，怎么知道AB這條邊也和半徑一樣長呢？

生11：因為如果有兩條邊相等的話，它就是一個等腰三角形。因為下面兩個角的度數是一樣的，且它們的度數之和是180°-60°=120°，所以它們的度數都是120°除以2，都等于60°。所有的角都相等，都是60°，所以是等邊三角形。

師：等腰三角形的兩個底角就應該相等。 120°除以2等于60°，說明兩個底角都是60°。由180°減去60°等于120°，再用120°除以2等于60°，這個過程看起來只是一小步，但是生11帶著我們跨進了一大步。

師：現在我把他的思路再說一說。這個角是60°，這兩條邊是半徑，所以兩邊相等，可以知道這是一個等腰三角形。等腰三角形的兩個底角應該是相等的。三角形內角和是180°，180°減60°等于120°，120°除以2就等于60°，每個底角都是60°，這樣三個角都等于60°，說明它是等邊三角形。

師：我們用這么長的時間來說明這是一個等邊三角形，你從中能否感受到快樂？現在請大家繼續思考，可以畫多少個這樣的三角形？

生（齊）： 6個。

師：畫出6個三角形，就能看到這個圓里面有一個正六邊形。看看這個正六邊形的周長和這個圓的周長有什么關系？誰長誰短？endprint

生12：圓的周長長。

師：顯然圓的周長比6r多一些。還可以怎么說？

生13：圓的周長比3d多一些。

師：對，圓的周長比6r多一些，也可以說圓的周長比3d多一些。

【自悟：探索圓的周長和直徑的倍數關系是本節課的重點。以前的教材都是讓學生先去測量大小不同的圓的直徑和周長，再通過計算得到近似數。而學生在測量中往往由于材料的原因或是操作的原因得出誤差很大的結論，這對學生認識圓周率的確定性反而造成了不利的影響。想到用圓內接正六邊形的方法來證明圓的周長比直徑的三倍多一點，這是源于在之前的教學中布置給學生的一個任務“你能用什么方法說明圓的周長比直徑的三倍多一些？”其中有一個學生就用了這樣的方法，現在新修訂的教材也給出了這樣的圖示。但是如何讓學生經歷這樣的推理過程呢？是淺顯的直觀還是嚴密的邏輯？我想應該選擇后者。因為通過動手測量圓形物體表面的周長，抑或是通過滾一滾的方式，雖然能加深學生的體驗，但通過這些方式得到圓周率是十分困難的。

我用大量的時間讓學生去證明所畫的三角形是一個等邊三角形，這個證明過程看似簡單，但因為學生對圖形的認知普遍是靠“看”，因此調動學生所有的知識儲備去進行嚴謹的證明，看上去有點“殘酷”，但這卻是學生思維邁出的一大步：從直觀思維走向邏輯推理思維。學生觀察、思考，用數學的思維方式去發現蘊藏其中的數學問題，教師用數學知識本身的魅力吸引學生，使學生感悟到數學的內在美，正是在這樣一種潤物無聲的深度對話和思辨過程中，數學的美化作為學生再思考的力量源泉。】

【教學片段三】

師：請大家再想一想我們現在學的圓的周長和以前學的長方形和正方形的周長有沒有聯系？我來畫張圖，長方形的周長c除以（a+b）等于2；正方形的周長c除以a等于4。

師：如果讓你來選擇，你會用長方形還是正方形來剪一個圓？

生1：正方形。

師：為什么？

生1：3.14更接近4。

師：大家都聽明白了嗎？因為圓周率更接近4，所以你也會選正方形是不是？

師：數學家就是數學家，喜歡看數字，3.14更接近4。大家下課后可以試一試。

【自悟：推理作為一種演繹系統，一方面使得數學內容與邏輯意義相關聯，另一方面可利用從知識結構所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法，再去獲取更多的知識。教師要引導學生去尋找、發現和探索知識之間的相互聯系，因為這是學生良好思維品質的建構與生成的必經之路。學完圓的周長，再與以前學的長方形周長和正方形周長的公式進行比較，學生自然能更深刻地理解規則圖形中的規律性，這就是數學教學的本質所在，也是課程標準所追求的目標：用數學的眼光去觀察、用數學的知識去說明、用數學的方式去分析、用數學的思維去處理。因為只有擁有思考，才會擁有數學文化的力量。】

總之，教師在教學中要盡力為學生搭建思維推理的平臺，通過引導，使學生的思維一步步向數學的本質靠近。因為只有親身經歷觀察、猜想、驗證等推理的過程，學生的思維才能從直觀走向抽象，從底層走向高層，真正走向思維的更深處。

（責編 金 鈴）endprint