數學課堂的教學過程中引導學生對解題風險的認識

孫如敏

【摘要】自人類誕生以來風險一直與我們相伴，風險一詞我們并不陌生，也許在其他領域我們將會聽得更多，尤其是各種各樣的經濟活動中風險一詞出現的頻率是比較高的，其實何止是經濟活動領域，就算是在我們生活及學習的各種活動中，風險依然是客觀存在的.只不過有些時候風險在相對較小的情況下人們容易將其忽略而已.在當前的教育環境下，我認為應當在我們的教學過程中讓我們的學生在學習的過程中感到危機和壓力，即灌輸風險無處不在的理性風險意識.讓學生在學習過程中接受挑戰，而數學課堂的教學過程中對這一意識的培養無疑是很好的.

【關鍵詞】數學課堂；教學過程；引導學生；解題風險

在學習過程中如何培養學生的風險意識以及如何增強學生抵御風險的能力？我們就從“不挑食”這一說法開始吧！記得很小的時候母親就對我說要做一個不挑食的孩子，只有這樣才能吸收萬物的精華，只有這樣身體才能健康成長.而挑食的孩子在成長的過程中總有這樣或那樣的健康問題.數學學習也是如此，我們就主張學生們在青少年時代的數學學習過程中做一個不挑食的孩子，在學習的過程中只有“嘴不挑”的學生即各種知識和方法都敢擅于嘗試的學生抵御風險的能力才會強.

首先不得不說無論我們面對的是哪一個行業，勤勞的人總比懶漢更加有能力抵御各種事實存在的不確定和風險.這對于我們的學生而言尤為重要，對于一個中學生來說，如果希望在考試的過程中能夠取得較為滿意的成績，單單就在考場的狀態下問一名學生如何得到他所滿意的戰果即較高的分數.這樣的話顯然是片面的，至少是不全面的.想要對這一問題進行回答我認為自然離不開以下兩個方面：第一個方面就是平時“功夫”的修煉即完成對各類知識點及方法的記憶存儲.而要想做好這件事，則大致需做好這樣三個層次的事情就好：第一個層次是知識網絡結構的建立；第二個層次是從知識和方法中領悟各種數學思想方法；第三個層次就是選擇策略的權衡與把握.第二個方面：即在第一個方面完成較好的前提下如何在規定的時間內高質量完成試卷，而解決問題的根源在于考生對于試卷上難度較大的題目選擇方法上的博弈時間是非常有限的，選擇充滿了不確定性，而選擇的偏好往往決定在平時的學習過程，在平時的學習過程中形成的方法“偏好”，換句話講考試過程中對每道題方法的選擇就意味著選擇了做題風險，作為一名高中數學教師，我認為對此問題不能不引起足夠的重視，如果能有一個較為穩妥的解決途徑，即考生在做每一道題時盡量都能夠在較短時間內選擇一種相對高效的辦法去完成，那么在擂臺式的考試中定能立于不敗之地.到了這里也該亮出我在本文中的觀點了，即我們應當在數學課堂的教學過程中引導學生對解題風險的認識和把握.在數學的習題教學過程中，培養學生在較短時間內完成對題目上方法選擇的最優博弈.下面我就簡單從幾個不同角度闡述在數學課堂中如何引導學生在解決問題的過程中認識風險和把握風險的一些做法.

筆者先從習題課的講解中說起，我認為解決思考難題或陌生題最好的做法是引導學生善于從難題或陌生題中創造一個相對簡單的輔助題，而這個輔助題恰恰能夠對解決這道題有很大的幫助，從而降低解決這道題的風險，美國的數學教育家G·波利亞曾在《怎樣解題》一書中提過輔助題目一詞，即輔助題目是這樣的一種題目，我們考慮它并不是為了它本身，而是因為我們希望對它的考慮可能有助于我們解決另一道題.下面僅提供兩個案例給出兩種常見手段演示構造輔助題目的方法.

案例1已知函數f（x）=ex（2x-1）-ax+a（a∈R），e為自然對數的底數.若有且只有唯一整數x0，滿足f（x0）<0，求實數a的取值范圍.（題目背景：高三第一輪復習導數章節復習完畢）

案例分析這是一道函數與導數的綜合題，對于剛剛復習完這一章的高三學生而言難度相對較大，學生在思考這道題時也許一點思路都沒有，教師在評講這道題的時候可以引導學生反復閱讀題目.下面設計了師生之間的一段簡潔的對話.

T：同學們可以將題目反復細讀，覺得題目中哪個條件讓我們遇到困難，又有哪一部分我們是比較熟悉的，不要著急，反復揣摩，慢慢細讀.

S：從整個題目來看，這似乎是一個存在性的問題，對于這個問題的處理也許和恒成立一樣都是轉化為最值問題來做的.

T：問題是這個存在性問題和我們以往做的哪里不同呢？或者說這道題中讓你困惑不解的是哪里呢？

S：這不僅僅是存在實數的問題而是存在唯一整數x0的問題，看起來蠻讓人頭疼的.

T：能否將原題改造一下變成我們想要的題目呢？比方說將題目中的條件進行弱化，即將“若有且只有唯一整數x0”改成“若存在實數x”從而這道題目就被我們改造成以下這樣一道題.

輔助題目：已知函數f（x）=ex（2x-1）-ax+a（a∈R），e為自然對數的底數.若存在實數x，滿足f（x）<0，求實數a的取值范圍.

S：這樣一改題目就變得十分熟悉了，接下來就采用常規手段參變分離轉化為最值問題就可以了.由f（x）<0得ex（2x-1）

當x=1時，不等式顯然不成立.

當x>1時，a>ex（2x-1）x-1；當x<1時，a

記g（x）=ex（2x-1）x-1，

g′（x）=ex（2x+1）（x-1）-ex（2x-1）（x-1）2=ex（2x2-3x）（x-1）2，

∴g（x）在區間（-∞，0）和32，+∞上為增函數，（0，1）和1，32上為減函數.

∴當x>1時，a>g32=4e32，當x<1時，a

綜上所述，所有a的取值范圍為（-∞，1）∪（4e32，+∞）.

T：我們再回過頭來看原題，做一個比較就會發現這道輔助題的解決恰恰給我們幫了一個大忙，下面只要在這道輔助題的基礎上進行進一步思考就可以了.

S：是的，我們繼續在此基礎上完成原題即可.由輔助題可知知a<1時，x0∈（-∞，1），由f（x0）<0，得g（x0）>a，又g（x）在區間（-∞，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，且g（0）=1>a，∴g（-1）≤a，即a≥32e，∴32e≤a<1.當a>4e32時，x0∈（1，+∞），由f（x0）<0，得g（x0）

綜上所述，所有a的取值范圍為32e，1∪3e2，5e32.

首先，此案例是通過將其部分條件進行弱化處理，使其難度降低，從而相對擴大了其取值范圍，從中再進一步篩選.打一個比方，一個魚塘里有一條美人魚，很想把她撈上來，怎么辦呢？是只對準美人魚徒手撈嗎？有時候眼睛里只看到美人魚反倒效果不佳，倒不如回去弄張大網對美人魚所在附近一片區域進行打撈，也許打撈上來的不止美人魚，不管怎么只要我們要的美人魚在這個網里面不就解決問題了？

其次，讓我們盡可能從多角度思考解題的方法，這樣也有利于降低解題的過程中的風險，教學過程中盡量培養學生思考風險和降低風險的能力，比方我們在講授新課時，對某一例題的分析可以先著眼于本課節知識點和方法的運用，然后再放眼于之前的知識點和方法的融合.舉一案例講解加以說明.

案例2

如圖所示，已知矩形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM=13BD，AN=13AE.

求證MN∥平面CDE.

分析中應引導學生將線面平行轉化為直線的方向向量與平面的法向量互相垂直是關鍵，要引導學生探索得出.這是利用法向量和方向向量垂直關系來證明線面平行的一次運用，因此，這種手段對學生而言試一次全新的角度，是一種新的方法的演繹，題中的長度與欲證的結論無關，因此，為了便于運算，設它們的長分別為是合理的.學生對這種方法是充滿新奇的，讓學生回顧總結方法時可以回顧此題的一題多解即可以應用共面向量定理來證明的，甚至也可以用必修2中傳統的線面平行的判斷定理來證明.通過這道例題的講解，讓學生從不同角度、不同手段和方法去思考完成線面平行的證明，即在證明線面平行的問題中，多種方法的掌握有利于學生降低做題的風險.

當然在數學課堂的教學中引導學生對解題風險的認識的手段和方式是多樣的，比如，我們不單單是從具體的知識層面引導也可是解題意志和興趣的培養方面，比如，在教學過程中也可以通過數學史的有關趣味介紹提升學生學習的興趣，興趣是最好的老師，也是我們在解題過程中降低解題風險的潤滑劑.教學法雖不應該拘泥于某種固定的模式，但是我們可以嘗試先從某幾種模式開始，然后以此為起點輻射到數學教學中的各個方方面面.