球與多面體外接問(wèn)題的歸類與探究

摘要：縱觀近十年文科卷中與球有關(guān)的高考題，盡管對(duì)球與多面體外接問(wèn)題的考查絕大多數(shù)相對(duì)較為基礎(chǔ)，但這并不意味著高考復(fù)習(xí)可以忽視這部分的教學(xué)，畢竟，此部分的考查仍是較為頻繁且有時(shí)較難一些，筆者將就此進(jìn)行歸類與探究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；球與多面體；歸類與探究

球是一個(gè)特殊的幾何體，是高考中的高頻考點(diǎn)之一，常與其他幾何體構(gòu)成組合體，這類題型能夠很好地考查空間想象能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力。為了能更好把握難度，提高復(fù)習(xí)的效率，收集了近十年與球有關(guān)的文科試題，不難發(fā)現(xiàn)，主要都是在考查球及其截面圓性質(zhì)，考試往往與球的體積和表面積及其他多面體的知識(shí)相聯(lián)系綜合命題。下面，筆者將就近十年高考文科試題中關(guān)于多面體的外接球進(jìn)行歸類與探究，與同行交流。

一、 直接利用球的有關(guān)性質(zhì)確定球心

球的性質(zhì)：1. 球面上的點(diǎn)到球心的距離都等于球的半徑；2. 用一個(gè)平面去截球，截面是圓；3. 過(guò)球心的截面是大圓，不過(guò)球心的截面都是小圓；

4. 球心與截面圓心的連線垂直于截面。計(jì)算時(shí)常用到的結(jié)論有：①球心O到截面的距離d與球的半徑R、截面圓的半徑r的關(guān)系有R2=d2+r2；②球的表面積公式：S=4πR2，體積公式：V=43πR3。

案例一：1. （2013新課標(biāo)Ⅰ·文）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為。

本道題直接用到基本性質(zhì)及公式R2=d2+r2即可求出球的半徑R，進(jìn)而求其體積或表面積。近十年中與之相類似的還有[2012新課標(biāo)·文]、[2013新課標(biāo)Ⅱ·文]。

2. （2015全國(guó)Ⅱ·文）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）

A. 36π

B. 64π

C. 144π

D. 256π

分析：球與三棱錐結(jié)合。三棱錐的體積的決定因素是底面積和高，注意到∠AOB=90°，則S△OAB是定值，三棱錐體積的最值轉(zhuǎn)化為研究高的最值，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐OABC的體積最大。近十年中與之相類似的還有[2017全國(guó)Ⅰ·文]、[2007夏、海南·文]。

二、 構(gòu)造長(zhǎng)方體

利用球的性質(zhì)及長(zhǎng)方體的對(duì)稱性，不難證明長(zhǎng)、寬、高為a，b，c長(zhǎng)方體的外接球的半徑為R=12a2+b2+c2。

案例二：（2017全國(guó)Ⅱ）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的球面上，則該球O的表面積為

。

本道題直接考查長(zhǎng)方體外接球近，十年中與之相類似的還有[2016全國(guó)Ⅱ]、[2010新課標(biāo)·文]，但有時(shí)并非直接考查，而是考查三棱錐的外接球，某些特殊的三棱錐可通過(guò)轉(zhuǎn)化，補(bǔ)形成長(zhǎng)方體。歸類如下：①如圖1，三個(gè)面兩兩互相垂直的三棱錐（或有三條側(cè)兩兩互相垂直的三棱錐）；②如圖2，三棱錐A′ACD中，A′A⊥面ACD，AD⊥DC；③如圖3，三棱錐A′BCD中，A′D⊥CD，A′B⊥BC，BC⊥CD；④如圖4，四面體AB′CD′中，AB′=CD′，AC=B′D′，B′C=AD′（三組對(duì)棱兩兩相等的）。

此外，由兩個(gè)有公共斜邊的直角三角形組成的三棱錐，即如圖5中，三棱錐D′ABC中，AD′⊥AB，BC⊥CD′，則BD′的中點(diǎn)O是其外接球的球心。

三、 構(gòu)造直棱柱

根據(jù)球的對(duì)稱性及性質(zhì)可知，若上、下底面的截面圓的圓心分別為O1、O2，半徑為r，則其外接球的球心O是O1O2的中點(diǎn)，且球的半徑R=O1O222+r2，事實(shí)上，長(zhǎng)方體是特殊的直棱柱，其外接球的半徑也是可這樣求的。

案例三：1. （2008寧夏、海南）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為3，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為。

2. 三棱錐PABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=23，AB=4，∠BAC=30°。若三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為。

第1題直接考查了直六棱柱，第2題并非考查直棱柱，但它有個(gè)面面垂直關(guān)系，可以補(bǔ)成直三棱錐。對(duì)于一些有垂直關(guān)系且可以補(bǔ)成直棱柱的，就比較易求得其外接球的半徑。我們以三棱柱ABCA1B1C1為例（如圖6），歸類如下：①如圖7，四棱錐CABB1A1中，平面ABC⊥平面ABB1A1，四邊形ABB1A1是矩形；②如圖8，三棱錐CBB1A1中，CB⊥BB1，BB1⊥A1B1；③如圖9，三棱錐CABA1中，平面ABC⊥平面ABA1，AB⊥BB1。四、 棱錐的外接球

通過(guò)上面的探究，我們可對(duì)棱錐的外接球作如下歸類：

（一） 可轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體或直棱柱的棱柱。

（二） 正棱錐（以三棱錐為例）如圖10，正三棱錐SABC，球心O在其高SH上，設(shè)SH=h，CO=R，CH=r=33a，OH=|h-R|，在Rt△OCH中，由CO2=CH2+OH2即可求解。

（三） 一般棱錐的外接球：分別過(guò)兩個(gè)面的外接圓圓心作對(duì)應(yīng)面的垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)即為球心（如圖11）。此方法也是求多面體外接球球心的通用方法。

案例四在三棱錐SABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA=3，SB=23，二面角SABC的大小為120°，則此三棱錐的外接球的表面積為。

參考文獻(xiàn)：

[1]湯傳誠(chéng).高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)策略研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010（5）.

[2]馮國(guó)明.關(guān)于球與多面體的組合體解題方法探討[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（7）.

作者簡(jiǎn)介：吳鋒遠(yuǎn)，福建省泉州市，福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)。