淺談函數思想在高中數學解題中的應用

摘 要：函數思想不僅有利于教師教學，還對學生學習具有重要意義。函數思想有利于學生將數學知識轉變為數學能力，使學生可以在構造函數、分析函數關系的基礎上對數學問題進行解決，進而培養學生的數學思維能力，提升他們的數學成績。基于這種情況，本文首先介紹了函數思想，并在此基礎上詳細分析了函數思想在高中數學解題中的應用，旨在為高中生提供一些參考建議。

關鍵詞：函數思想；高中數學；數學不等式

一、 引言

高中數學是高考的必考科目，并且占有較大分值，但是由于高中數學知識比較抽象、難懂，導致許多高中生都對它存在一種恐懼、抵觸心理，影響了他們的數學成績。而將函數思想應用到高中數學解題當中，可以培養學生的數學思維，有利于學生對數學知識的理解。所以，對于高中生而言，有必要在學習過程中培養自己的函數思想，并充分運用函數思想去解決高中數學難題。

二、 函數思想

函數思想所體現的是量和量之間的關系，并且這種關系不是一成不變的，而是運動變化的。對于函數而言，其本質是對應，比如對于函數y=f（x），其中對應法則f以及自變量的變化范圍是函數構成的基本要素，而自變量變化占據主導地位，對于函數值域而言，則是由對應法則和定義域所共同決定的。

應用函數思想去解決數學問題，實際上就是建立輔助函數，并將數學問題轉變成該函數的性質，進而得出正確結果。函數思想在具體應用過程中包括下述幾種方法：第一，整體法。通過對數學題的整體形式以及整體結構進行整體處理，進而讓解題變得更加便捷；第二，歸納假設法。對于歸納假設法而言，是一種探索問題的常用方法。先用歸納猜想法對數學試驗進行嘗試及觀察，再通過不完全歸納法對數學問題進行歸納假設，最后通過數學歸納法對自己的假設進行證明；第三，遞推思想法。這種方法指的是對數學問題中所涉及的遞推關系進行探索、構建及應用，進而解決數學問題。這種方法比較適合解決高中數學中的數列問題。

三、 函數思想在高中數學解題中的應用

函數思想在高中數學解題中應用的范圍比較廣泛，可以解決高中數學中的不等式、方程、數列以及實際問題優化等問題，具體體現在以下幾個方面：

（一） 函數思想在高中數學不等式中的應用

對于高中數學而言，其重要內容之一就是不等式證明。從本質上講，將函數思想應用到解決不等式問題當中，就是對相應函數的正負區間、零點以及單調性等問題進行研究。因此，通過函數思想來解決不等式問題，可以很快讓學生找到解決數學問題的方向。比如對于下面的一道數學題：已知不等式n2+mn+3>4n+m恒成立，并且0≤m≤4，求n的取值范圍。經過分析，可以將m視為自變量，并建立相應函數：y=（n-1）m+n2-4n+3，因此，不等式就轉換成y>0恒成立，再加上0≤m≤4，所以就很容易計算出n的取值范圍。

（二） 函數思想在高中數學方程中的應用

對于數學思想而言，函數方程思想是其重要的組成部分。在一些數學領域當中，函數和方程的關系是非常密切的，函數包含方程，方程是函數必不可少的組成要素，因此，運用函數思想去解決方程問題，是一種切實可行、極為有效的手段。比如：已知方程（x-a）（x-b）=2，且方程的兩個根分別是p和q，同時b

（三） 函數思想在高中數學數列中的應用

對于高中數學而言，數列算是一種特殊函數，可以將其看成方程或者是方程組，也就是函數解析式。對于數列而言，其主旨指的是通過自變量得到離散數值的一種特殊函數。所以，在對數列問題進行解答時，可以合理應用函數性質以及函數模式，進而增強學生對數列含義、等差數列單調性以及等比數列中的通項和中項等的理解。比如：在等差數列{bn}中，d=bn-bp/n-p，公差d的幾何意義在于坐標中表明這個等差數列的每一項點所處直線的斜率。再比如，對于等差數列的求和公式：Sn=（a1+an）n/2，在進行解題時，可以對這個等式做出相應變化：Sn=dn2/2+（a1-d/2）n，這個時候再進行解答時，就可以轉換成有關與n的二次函數，使解答變得更加容易。

（四） 函數思想在高中數學實際優化問題中的應用

函數思想對于解答高中數學中的實際優化問題也具有重要作用，因此在解答過程中應充分應用函數思想。函數思想可用于解決實際問題，使數學問題變得更加簡單、更加系統。在我們的現實生活當中，具有很多量與量之間的關系，比如對于路程而言，應該考慮路程、速度以及時間三者之間的關系；對于生產問題，應該考慮單價、總數以及時間的關系，而對于價格問題或者是采購問題等也都應用到了函數的變量。對于高考數學試卷而言，實際問題占有重要比重，應用函數思想解決高中數學里的實際優化問題，有利于提升學生答題的準確率。比如，在解答路程問題過程中，可以將總路程設成y，將速度變量或者是時間變量設成x，將實際問題轉換成函數問題。通過數量之間的關系，構造一個數學函數模型，再將相應數值帶入到函數當中，最后通過數學知識算出正確結果。另外，多數高中數學的實際問題都需要通過函數圖像進行分析、解答，所以，在解題過程中，也可以用圖像形式將變量關系描繪出來。并且在算出結果之后，要將其帶入到問題當中進行驗證。對于高中數學問題而言，有許多問題在解答過程中會出現兩個結果，所以學生應該仔細閱讀題目，并根據題目要求選取最合適的結果。

四、 結論

總而言之，函數思想對于解決高中數學問題具有重要意義，不僅可以培養學生的邏輯思維能力，提升學生學習數學的興趣，還可以提高學生解決數學問題的速度以及準確率，進而提升他們的數學成績。因此，對于高中數學教師而言，應該增強對學生函數思想的培養，將函數思想融入到課堂教學當中，用函數思想為學生講解數學問題。而對于高中生而言，應該增強對函數思想的重視，在教師正確引導之下，培養自己的函數思想，并將其應用到數學解題中去，進而提高自己的數學成績。

參考文獻：

[1]劉見樂，羅敏娜.用函數思想指導高中數學解題[J].中國數學教育，2011（10）：45-46.

[2]李正章.淺談函數思想在高中解題當中的應用[J].數學學習與研究，2015（20）：133.

作者簡介：

王予軒，遼寧省朝陽市，北票市高級中學。