淺談高中生數學邏輯思維的培養

張文林 張慧愿 張府柱

摘 要：思維在數學教學和數學學習中起著關鍵性的作用，邏輯思維在思維的形式中具有代表性和關鍵性。任何一門學科都不能離開邏輯思維而以一種單獨的形式存在，數學這一門學科更是邏輯思維的附屬。文章將高等數學教學思想融入高中數學教學中，探討如何從化歸與轉化思想、齊次化思想等方面來達到更好的培養學生邏輯思維的能力。

關鍵詞：高中數學；邏輯思維；化歸與轉化思想；齊次化思想

數學對學生邏輯思維能力的培養無處不在。數學這一學科不得不讓教學者對現實世界的空間形式和數量關系產生思考，它具有邏輯嚴密性和抽象性等特征，現代教學論這樣認為：數學教學是數學邏輯思維教學的過程，并不僅是數學活動的結果，即數學知識的教學任務是滲透那些具有邏輯數學思維方法的智力活動過程。我們從實際的數學問題出發，將高等數學教學思想融入高中數學教學中，結合化歸與轉化思想、齊次化思想探討高中數學邏輯思維培養的過程。

一、 化歸與轉化思想在求解函數最值問題中的簡單應用

化歸與轉化思想的實質是揭示聯系，實現轉化.除極簡單的數學問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的。如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，高次向低次轉化，超越式向代數式的轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現，化歸與轉化應遵循熟悉化、簡單化、和諧化、直觀化、正難則反五個基本原則。

【例】 設x，y∈R，求（3-4y-cosx）2+（4+3y+sinx）2的最小值。

解：此題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，兩點間的距離公式的幾何意義，事實上，由于3（3-4y）+4（4+3y）-25=0，則（3-4y-cosx）2+（4+3y+sinx）2表示的是直線3x+4y-25=0上的一點到圓x2+y2=1的距離的平方。

從而原點到直線的距離d=|3·0+4·0-25|32+42=5，即（3-4y-cosx）2+（4+3y+sinx）2的最小值為（5-1）2=16。

化歸與轉化思想主要考查學生分析問題的能力，對學生熟悉高中數學知識、靈活運用數學知識解決實際問題的要求較高。

二、 齊次化思想在證明不等式問題中的簡單應用

由于一些重要不等式本身就是齊次不等式，所以在遇見非齊次不等式的證明時，常常考慮將其齊次化，再利用重要不等式加以證明，如柯西不等式（∑aibi）2≤∑a2i·∑b2i，（ai，bi，i=1，2，…，n為兩組實數）就是一個關于ai和bi的齊次不等式。

【例】 設a，b，c，d∈R+，abcd=1，求證：∑1a（b+1）≥2。

證明：設a=xy，b=yz，c=zw，d=wx（x，y，z，w∈R+），則原不等式等價于∑1xyyz+1≥2∑yzx（y+z）≥2∑1x1y+1z≥2，

由柯西不等式有∑1x1y+1z≥∑1x2∑1x1y+1z=∑1x2+2∑1xy2∑1xy≥2∑1xy+2∑1xy2∑1xy=2。

柯西不等式在高中不等式選講中占有一定地位，在本題中我們通過換元，把原不等式齊次化，再用柯西不等式證明結論成立。

三、 總結

數學題目中，往往包含很多的邏輯思想方法，因此數學這一門學科在培養學生邏輯思維能力方面占有突出的重要的地位。中學生只有真正具備良好的邏輯思維能力，才能對許多客觀事物問題清晰的理解，對待問題能做出正確的解答。從而，正確認識中學生數學邏輯思維能力的培養以及提醒中學數學教師在教學中應該重點培養我們學生的邏輯思維能力顯得尤為重要，通過對數學知識的學習和邏輯思維的培養，讓學生能達到從感性到理性的一種變化，徹底改變只有題海戰術才能學好數學的觀念，從根本上理解和運用數學解決實際問題。

參考文獻：

[1]安寶琴.淺談“化歸與轉化思想”在高中數學解題中的應用[J].數學學習與研究，2015，3：93.

[2]李歆.巧用柯西不等式的變式解競賽題[J].中學數學教育，2010，12（1）：40-42.

作者簡介：

張文林，張慧愿，張府柱，貴州省六盤水市，六盤水師范學院數學與信息工程學院。