例談高中含參不等式恒成立求解策略

李萌

摘 要 “含參不等式恒成立問題”把不等式、函數、導數、三角、幾何等知識有機地結合起來。其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而備受高考、競賽命題者的青睞。在解決這類問題的過程中涉及的“函數與方程”“化歸與轉化”“數形結合”“分類討論”等數學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養其思維的靈活性、創造性都有著獨到的作用。

關鍵詞 高中數學 含參不等式 恒成立 求解策略

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A

0前言

已知不等式恒成立，來求參數的取值范圍，不僅是高中數學的重要內容之一，也是高考的重點。不等式恒成立問題是將多知識點有機融合，綜合性強，滲透著函數與方程、等價轉換、分類討論、換元等多種數學思想方法。學生對于這一類問題感到難以尋求解題的切入點和突破口，同時也是教師教學的難點。本文將通過實例對此類問題的求題策略作探討和歸納，以對學生解答此類問題有所幫助。

1用具體實例談恒成立問題求解策略

1.1分類討論

通常情況下，求解參數范圍，是將函數直接求導，有時可能需要二次求導，從而通過討論在定義域上的單調性確定參數范圍。

例1 若時，不等式恒成立，求的取值范圍。

解：設，則問題轉化為當時，的最小值非負。

（1）當即：時， 又所以不存在；

（2）當即：時， 又 ；

（3）當即：時， 又；綜上所得：.

1.2分離參數轉化為最值問題

不等式恒成立問題中，常常將不等式變形，參編分離，也就是，使參數和主元分別位于不等式的兩邊，然后再巧妙構造函數，最后轉化為最值法求解。

例2 已知函數，若對恒有，試確定的取值范圍。

解：依題得：在上恒成立，即：在上恒成立，設，則，當時，，所以.

最值法常用的結論：恒成立； 恒成立；恒成立；恒成立.

1.3變換主元

使用變換主元法的前提是根據題意中所給出參數范圍，通常是將參數作為該題中的主元。運用變換主元法通過將主元進行變換，進而轉換思考角度，從而避免分類討論，打破思維定勢，輕松解決恒成立問題。

例3 對于滿足的一切實數，函數恒成立，求的取值范圍.

解：

恒成立。當時，（不合題意，舍去）；當時，或，故的取值范圍為.

1.4端點效應

在遇到給出關于的函數在一定區間內大于等于或小于等于，單增或單減，就讓在端點處滿足上述條件，從而進行求解。

例4 已知當時，.求的范圍。

解：由必要性：...在上成立.在上單調遞增.

2結束語

含參不等式恒成立問題求解的策略有很多，除了上述幾種求解方法外，還有放縮法、數形結合法等等，這些方法并不是孤立的，它們是相互聯系、相互滲透的，其核心是等價轉化。如在分類討論以及變換主元法中，雖然沒有明確指出需要分離變量，但其中滲透了分離變量的思想。含參不等式恒成立問題是聯系不等式、函數、方程等知識的一個良好素材，是高考命制能力型試題的理想命題點，因此，教師在教學中應對此問題給予高度重視。

參考文獻

[1] 趙春琴.含參不等式恒成立問題的解法研究[J].數理化解題研究，2017（22）.

[2] 張虹.一道含參不等式恒成立問題的多種解法及分析[J].中學數學月刊，2016（02）.