數學思維素養：兒童帶得走的智慧

梁培斌

摘要：數學教學即是數學思維的教學。數學思維的培養，還存在深刻性不夠、發散性欠缺、敏捷性滯后、批判性不足等諸多問題?；诎l展兒童核心素養的視角，培養數學思維要注意三個轉向，即教學取向要從“教例子”轉向“用例子教”，教學過程要從“靜態講授”轉向“動態生成”，教學評價要從“關注學會”轉向“關注會學”。從整合的視角出發，培養數學思維的策略包括動手操作、類比遷移、變式思考等。

關鍵詞：數學思維；動手操作；類比遷移；變式思考

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2018）07A-0094-04

數學教學即數學思維的教學。培養學生“運用數學的思維方式觀察分析現實社會，解決日常生活和其他學科學習中的問題”已成為學生適應更高層次學習和社會發展需要的關鍵能力，也是當下數學教學改革的風向標。

一、現狀叩問：尋找數學思維素養形成的生長點

近年來，培養數學思維已引起一線教師的普遍關注，但因為種種原因，數學思維能力的培養還存在諸多問題，主要包含如下幾點。

（一）數學思維的深刻性不夠

思維的深刻性是數學思維的基礎。它能讓學生從簡單的、普通的、司空見慣的數學現象中發現問題，進而全面思考、探究概括，把握問題的核心。但調查結果顯示：許多學生對數學材料理解不到位，不能深刻把握問題的本質，理不清條件之間的邏輯關系，不能做出正確的推理和判斷。

（二）數學思維的發散性欠缺

發散性思維是重要的思維方式。它能讓學生用不同方法、從不同角度進行思考，找到新的或更好的解決問題的路徑。但受思維定式的影響，許多學生不能迅速抓住問題本質，思維缺乏流暢性；不能獨立解決數學問題，需要同伴或教師的幫助，缺乏獨立性；不能根據已知條件的變化及時地改變或調整思維方式，從新的角度來思索數學問題的過程，缺乏變通性。

（三）數學思維的敏捷性滯后

在解決問題的過程中，敏捷的數學思維能讓學生迅速、正確、合理地利用概念、性質、法則等數學基本知識進行積極思考，做出判斷與選擇。但調查結果顯示：許多學生不能短時間內找到解決問題的有效方法，即使短時間內解決問題，但正確率偏低。思維敏捷性滯后已經成為不爭的事實。

（四）數學思維的批判性不足

批判性思維是有目的的、自我校準的判斷。它能讓學生對已有的數學表述或論證提出自己的見解，以謀求改善，從而更新原有的認知，提高學習的效率。但調查結果顯示：學生缺乏批判的意識，不敢對權威的觀點提出疑問，人云亦云、盲目附和；缺乏批判的方法，不愿在解決問題中思考解決問題的思路是否恰當，不想檢驗結果的正確性[1]。

二、出路審視：把握數學思維素養形成的關鍵點

培養良好的數學思維，必須從轉變教學理念開始。

（一）教學取向——從“教例子”轉向“用例子教”

教學取向決定著教學目標和教學內容的方向。傳統的數學課堂更傾向于“教教材中的例子”，至于例子中所包含的算理、算法、公式等全靠教師講授或學生記憶，即舍棄探究的過程，將所有的知識全部當作陳述性知識進行教授或學習。基于數學思維培養的數學課堂，更傾向于“用教材中的例子教”，即通過教材中例子的學習，教給學生思考的方法、解決的策略等程序性知識，并在程序性知識的學習中培養學生的數學思維。

（二）教學過程——從“靜態講授”轉向“動態生成”

傳統的數學教學主要以掌握基本數學知識、訓練基本數學技能為主要內容，課堂往往采取教授、練習等教學方法為主，課堂基本呈現“靜態講授”模式?！皠討B生成”的課堂，注重學生動手操作、參與探究、理性思考的動態參與過程，重視在此過程中對基本數學思想的領悟和基本數學經驗的積累。因此，教學應從“靜態講授”轉向“動態生成”。

（三）教學評價——從“關注學會”轉向“關注會學”

長期以來，課堂上對學生學習的評價傾向于學會既定的知識與技能的評價，關注學習的結果。如此指向，容易造成教學只重結果，不重過程，一定程度上弱化了師生對知識獲取過程或思維培養過程的關注。因此，教學評價應從關注結果走向兼顧過程，從“關注學會”轉向“關注會學”，讓學生成為有主動學習意識和學習能力的終身學習者。

三、策略整合：尋求數學思維素養形成的落腳點

（一）注重操作，強化對比，培養思維的深刻性

數學學習的關鍵在于數學思維的發展，數學思維發展的關鍵在于思維的深刻性的培養。

1.注重動手操作，在深入探究中培養思維

小學生還處在動作思維階段，其思維活動往往從動作開始。因此，在數學教學中，教師應給學生充分的動手操作機會，讓學生在課堂上擺擺、拼拼、畫畫、折折，在“表象—思維—抽象”的活動中，讓學生經歷數學知識的產生、形成與發展過程，獲得思維的深刻性的發展[2]。

【例1】蘇教版數學三年級下冊“長方形和正方形的面積計算”設計片段

首先，動手操作，初步感知。小組合作，用邊長1cm的小正方形擺出不同的長方形，并記錄擺成的長方形的長、寬、面積各是多少。初步感悟長方形的面積可以用“長×寬”計算。

接著，交流深入，推理抽象。教師出示：用1平方厘米的正方形量下面兩個長方形的面積（如圖1），請學生與同學交流是怎么量的，讓學生在想象、驗證、交流中抽象出長方形的面積計算方法。

最后，拓展延伸，遷移運用。先不用擺正方形，運用總結的長方形計算方法求出面積，再深入思考：如果是正方形，面積該怎么算。

這樣設計，環環相扣，逐步深入，教師引導學生經歷從形象到抽象再到延伸的過程，完善長方形和正方形的面積計算方法。在此過程中思維逐步走向深刻。

2.加強相似對比，在前勾后連中培養思維

正如烏申斯基所說：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切?！币驗椴簧贁祵W概念、定理、公式等既有聯系，又有區別，容易混淆。如果重視它們的形成過程，弄清它們的來龍去脈，以形成清晰的數學認知，對于培養思維深刻性大有裨益。

3.引導類比推理，在觸類旁通中培養思維

類比是一種重要的推理形式。在教學中，教師引導學生運用已有的知識經驗進行類比遷移，由已知到未知，逐步解決問題。學生的思維就會在“解決問題—形成理論—解決問題”這一過程的反復中不斷走向深刻。

【例2】蘇教版數學六年級上冊“列方程解決實際問題”

圖2練習鞏固的是“和倍”與“和比”問題，對于這樣的問題，就可以結合四年級學習的“和（差）倍關系”的問題，引導學生在“讀題—找出等量關系—列方程解答—檢驗反思”中對比溝通、類比遷移，讓知識觸類旁通，深化理解。

（二）舉一反三，變式思考，培養思維的發散性

教學不僅是繼承和吸收，更是應用和創新。在保持本質不變的前提下，教師把問題的條件或結論略加變化，通過變式教學，開拓學生思路，使學生在縱橫發散，知識串聯、綜合貫通中舉一反三，形成發散性思維，進而深刻把握問題的本質，形成良好的數學學習素養。

1.調動一題多問，在素材發散中培養思維

在教學中，教師按照一定的邏輯結構精心設計一組問題，進行一題多問的發散性練習，既可以激發學生強烈的學習動機，深化對數學性質、概念、法則、公式等知識的理解，又可以訓練學生對基本數學方法和技能的運用，培養數學思維的發散性。

2.追求一題多解，在殊途同歸中培養思維

學習中，學生以需要解決的問題為發散點，充分運用習得的數學知識、數學思想、數學技能、數學方法等，從不同方向、不同層面思考數學問題、解決問題，以開闊解決問題的視野，優化解決問題的思路，提高解決問題的能力，在此過程中培養學生的發散性思維[3]。

【例3】蘇教版數學五年級上冊“組合圖形的面積”

在初步認識“割”“補”等基本方法之后，教師充分放手，鼓勵學生從不同角度思考、計算組合圖形的面積。如圖3，教師在教學中不拘泥于一種解法：有的將多邊形分割成一個三角形和一個正方形的和，有的將多邊形分割成一個小三角形與一個梯形的和，有的將多邊形添補成一個梯形與一個小正方形的差。

學生的思維在碰撞中打開，能從不同的角度分析、解決問題。經常進行類似的思維訓練，學生數學思維的發散性與靈活性必將得到有益提升。

3.鼓勵一題多變，在靈活多變中培養思維

“一題多變”是培養學生思維發散性的有效方法。它從不同角度、不同層面對問題進行變化，引出一系列與本題相關的問題，形成一題多變的教學指向，使學生形成“弄懂一題，學會一片”的能力。同時，在一題多變的練習中，學生逐步掌握知識之間的內在聯系，完善知識體系，擺脫思維定式，舉一反三，觸類旁通，使思維更加發散和靈活。

【例4】蘇教版數學六年級上冊“解決問題的策略”

練習十一的第11題：師徒二人一共做了120個零件，師傅比徒弟多做16個，兩人各做了多少個？

這一問題學生在四年級學習“解決問題的策略”時已經用畫線段圖的方法解決。同樣的題，在六年級的練習中，相比四年級的解答，這里要運用“假設”的策略，假設都是師傅做或者假設都是徒弟做，再通過師傅與徒弟所做零件個數之間的相差關系，分別求出師傅和徒弟所做的零件個數。同樣的題，運用不同的策略解答，思維的含量在提升。

（三）激發聯想，數形結合，培養思維的敏捷性

數學思維的敏捷性集中反映了學生掌握知識的熟練程度和反應速度兩個方面的內容，是重要的思維品質，可以從以下幾個方面入手。

1.引導知識遷移，在知識建構中培養思維

知識的類比遷移有利于培養思維的敏捷性。教學中，以大概念、大問題為引領，引導學生把所學的數學概念、公式、定理等融會貫通，形成清晰的、系統的基本知識結構，有利于充分發揮數學知識的聯結、轉換、遷移功能，培養思維的敏捷性。

【例5】蘇教版數學四年級下冊“認識多位數”

教師引導學生從含有兩級數的讀法、寫法類推到含有三級數的讀法、寫法，在比較中發現：含有兩三個數級的多位數的讀寫方法與只有一個數級的多位數的讀寫方法是一樣的，都要按照從高到低的順序讀（寫），不同點在于每一級數讀完后要在后面添上一個“萬”或“億”字；同樣的道理，比較萬以內數的大小，類推到比較億以內的數的大??；求一個億以內數的近似數，類推到求比億大的數的近似數等都是充分發揮數知識的聯結、轉換、遷移功能，使學生更好、更快地掌握新知識，進而培養了思維的敏捷性。

2.鼓勵多向思考，在變通求解中培養思維

沒有大膽的猜想就沒有偉大的發現。多向思考，即從一個目標出發，沿著不同途徑去思考，探求多種答案，尋求多種解決問題方法。它有利于發展學生多角度思考問題的能力；同時引導學生從橫向、縱向、逆向等多角度思考數學問題，也能拓寬學生思路。長期堅持，數學思維的敏捷性必將得到提高。

（四）質疑問難，查錯究因，培養思維的批判性

具有批判性思維的重要表現就是具備科學的質疑態度。具有批判性思維，可以排除慣性思維的干擾，直指問題的本質所在。教學中可從以下幾方面著手。

1.鼓勵質疑問難，在認知深化中培養思維

問題是思維的先導。數學學習就是一個發現問題、探究問題、解決問題的過程。教學中，教師應引導學生對問題解決的思維過程、結果以及所用的方法策略等進行質疑問難，促使學生自省學習行為、完善認知結構，并在此過程中培養思維的批判性。

2.引導查錯究因，在學習自省中培養思維

科學家、哲學家波普爾曾言：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素，發現的方法就是試錯的方法?！币虼?，從心理學角度看，引導學生查錯究因就是利用“差異的刺激”喚醒學生的注意，讓學生在識錯、議錯、糾錯中達到“觸類旁通、訓練思維”的目的。因此，教師可以適時設計一些“致誤型”事例，誘使學生“上當受騙”，以此展開探究，培養思維的批判性[4]。

在日常教學中，教師應將思維培養作為數學教學的核心目標，靈活運用多種方法引導學生發現問題、分析問題、解決問題，在此過程中提高學生綜合能力、發展數學思維。如此堅持，學生的數學思維必將有質的飛躍和發展。

參考文獻：

[1]楊麗.小學生數學思維培養存在的問題及對策研究——以成都市龍泉驛區第×小學五年級1班為例[D].成都：四川師范大學，2016：12-17.

[2]曹彬.讓數學實驗成為學生思維的生長點[J].教學與管理，2017（14）：32-33.

[3]常磊.國內外高層次（數學）思維研究述評[J].數學教育學報，2016（5）：28-30.

[4]邱廷建.數學教學是數學思維活動的教學[J].教育探索，2015（12）：37-40.

責任編輯：石萍