高中數學導數思想研究不等式問題

趙明浩 牟文君

摘要：伴隨著素質教育的不斷推進，高考題目的靈活性更強，其涉及的知識面更為廣泛，將不同數學思想予以融合已經成為高考數學考試的趨勢，其中，合理利用導數思想解答不等式問題較為關鍵，各地高考數學中都會出現不等式的題目，這就需要教師對具體教學流程予以分析，給予學生更加有效的教學指導。本文簡要分析了不等式高考數學考點，并對具體的應用路徑展開討論，僅供參考。

關鍵詞：高中數學；導數思想；不等式

在高中數學教學中，不等式考點分析十分關鍵，借助導數思想對具體問題進行分析的過程中，要從多角度建立相應的分析框架，保證知識點分析效果較好。

一、 不等式高考考點分析

在高考數學試卷中，不等式一直就是較為重要的考點，學生只有充分掌握不等式的學習要點，才能有效梳理題目解答的過程，從根本上提高高考數學的成績。

近幾年，高考數學中關于不等式的題目主要分為四類，第一類，性質判斷類題目和具體應用。第二類，不等式求解。第三類，不等式證明。第四類，不等式應用，都需要將不等式內容的基礎和理論依據作為解題關鍵。尤其是在不等式證明中，利用導數思想進行題目求解較為關鍵，基于此，教師要引導學生將導數作為研究工具，結合不等式基本性質完成題目。

二、 高中數學導數思想研究不等式的基本流程

在高中數學中，學生要掌握導數的應用方式，充分發揮導數作為數學解題工具的優勢，合理證明相關題目，并且構建完整的函數關系，有效研究函數的單調性，從而快速解決不等式的問題。

第一，要建構新的函數關系，結合題目中相關數據信息，完善題目解答思路，并且構造F（x）函數。

第二，學生要借助導數對其單調區間進行分析，合理判定函數的關系，從而將單調性基本性質應用在題目解答中，不僅能提高題目解答的效率，也能一定程度上提高解答準確性，確保后續討論過程能滿足實際關系。也就是說，學生在構造函數F（x）后，就要對函數的單調性和區間予以判定。

第三，要對定義域予以分析，合理判定F（x）和0之間的關系，確保能有序開展不等式證明，完善數據分析效果和判定結構，確保能在優化定義域的基礎上得出最終的答案。

三、 高中數學導數思想研究不等式的具體應用

在掌握了基礎性解答流程后，在實際計算過程中，就要結合題目的基本信息和要點，按照標準化要求對題目中的關系進行梳理，確保能第一時間找到解題要點，從而形成良好的解題思路，確保答案的準確性。

【例1】已知f（x）=alnxx+1+bx，在點（1，f（1））外的切線方程為x+2y-3=0，

（1）求a和b的值；

（2）對任意x>0，且x≠1，則f（x）>lnxx-1+kx恒成立，解實數k的取值范圍。

解析：本文主要講解導數思想下研究不等式，故a和b求解不過于贅述，a、b均為1。將a、b代入到函數中得出f（x）=lnxx+1+1x，因此，對函數進行轉變可得出f（x）-lnxx-1+kx=11-x22lnx+（k-1）（x2-1）x，假設函數h（x）為2lnx+（k-1）（x2-1）x，其中x大于零，則能判定出h′（x）=（k-1）（x2+1）+2xx2就能對k的具體數值進行分類討論。

反思：結合本題目能對相關數據和信息進行分析判定，在構建新函數的過程中，要結合題目中的具體要求，并且巧妙應用導數的運算過程和基本運算法則，在及時觀察的基礎上，構造更加貼合題目要求的函數關系，確保能直觀判定出函數的單調性，為不等式證明過程的優化奠定基礎。

【例2】定義在區間x∈0，π2上的函數f（x）使不等式f′（x）cosx+f（x）sinx>0恒成立，其中f′（x）是f（x）的導數。求證：f（0）<2f-π4。

解析：這是一道較為典型的證明題，結合相關信息證明不等式。

首先，因為函數y=f（x）任意x滿足x∈0，π2且符合f′（x）cosx+f（x）sinx>0，所以，可以假設為f′（x）cosx+f（x）sinx=f′（x）cosx-f（x）（cosx）′，就能構造出符合題目要求的函數為g（x）=f（x）cosx，且函數滿足x∈0，π2，能得出g′（x）=f′（x）cosx+f（x）sinxcos2x>0，需要注意的是，此時的g（x）=f（x）cosx在區間內為單調遞增情況，則能判定出g（x）=f（x）cosx為偶函數，將數值代入后就能得出：g-π4=gπ4=2fπ4=2f-π4>g（0）=f（0），則能證明題目中要求的f（0）<2f-π4。

反思：結合題目不難發現，要想合理解答導數證明不等式的題目，就要對新函數構造過程予以分析，確保相應數據判定過程的有效性，能夠結合具體數值對區間內單調性予以判定，合理分析基礎數據之間的關系，最終對相關不等式進行集中證明和分析。另外，教師要想引導學生順利解答相應的證明題目，不僅僅要引導學生建立思維關系，也要確保學生能在很多數據和信息中搜索出更加具有導數普適性的關鍵點，以保證解題效果符合要求。

【例3】已知函數f（x）=x（x-a）（x-b），其中，b>a>0，若y=f（x）有兩個極值點s、t，s

解析：在對函數不等式進行分析和判定的過程中，要將求解的方程或者是不等式設定為新函數，從而完成一階導數分析。對導數進行求解后發現，f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，若是導數上取得極值，則證明f′（x）在x=s，x=t上均存在零點，若是f′（s）=f′（t）=0，且f′（0）=ab>0則意味著整個函數在（-∞，0）區間內呈現出單調遞減的情況，而在（b，∞）區間內單調遞增，那么就有一點使得f′（x）=0，加之f′（a）<0，f′（b）>0則在a，b區間內存在f′（x）=0，且拋物線就存在兩個根，可證明0

反思：本題對于單調性的應用較多，要在構造函數的基礎上對單調性予以分析和判定，需要教師結合題目對學生應用知識的能力予以判定，合理性優化相關參數結構后，對目標函數的單調性進行梳理，從而證明題目中的關系。

四、 結束語

總而言之，在對高中數學導數思想進行分析和講解的過程中，教師要引導學生發散思維，有效落實系統化教學結構和教學機制，保證學生和教師之間能形成有效的互動，指導學生更好地完成不等式內容的學習，能靈活應用相關知識。教師要結合高考中的相關考試要點，開展模塊化復習指導，提高學生對知識內容的內化能力，解決具體問題的基礎上，順利迎接高考并且取得好成績。

參考文獻：

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作者簡介：

趙明浩，牟文君，重慶市，重慶市楊家坪中學。