高中數學微專題“巧”用設而不求方法的應用

朱清

【內容摘要】“設而不求”是高中數學教學中一種重要的教學思想，蘊含“代換”思維，通過“媒介”作用發揮，從而發散解題思路，優化解題過程，在本文中筆者將以微專題的形式方式，透過方程、幾何、導數、定值四種微專題，從而解析如何在高中數學教學中“巧”用設而不求，希望本文能夠起到拋磚引玉的作用，為更多的教師同仁提供參考借鑒。

【關鍵詞】高中數學 微專題 設而不求

前言

數學是學生在高中階段學習的一門重要學科，很多數學知識都存在一定的抽象性，因此學生容易在數學解題中遇見困難，并影響答題效率和答題速度。而“設而不求”作為一種重要的數學問題解題方法，通過“設參”、“構造”等方式，巧妙的對數學問題進行轉換，從而減少解題中很多不必要的麻煩，對于學生而言，掌握“設而不求”是有助于推動自身數學進步成長的。

一、方程問題的設而不求

方程是學生在高中階段學習的重要知識點，而顯然在方程問題解題中，“設而不求”的解題思想是十分適用的，為此在筆者以微專題的形式，對高中階段比較具有代表性的方程問題進行總結，從而闡釋如何在方程微專題問題中“巧”用設而不求。以這樣問題為例，如已知一橢圓方程為1/2x2+y2=1，而（0，2）為橢圓方程外的一點，過這個點處任意引出橢圓并與A、B兩點的直線，求A、B兩點中點的軌跡方程。在解決這一問題時，我們就可以從“設而不求”的思想出發，將A、B兩點的坐標分別設（x1，y1）和（x2，y2），同時將中點P設為（x，y），由于A、B兩點在橢圓方程上，因此可以得出：①1/2x12+y12=1；②1/2x22+y22=1，而①-②則可以得出1/2（x1+x2）（x1-x2）+（y1+ y2）（y1-y2）=0，最后化簡得出x（x1-x2）+2y（y1-y2）=0，同時根據直線斜率公式，KAB=（y1-y2）/（x1-x2），因此最終可以得出，A、B兩點中點的軌跡方程為2-y/-x=-x/2y=x2+2y2-4y=0，這就是通過“設而不求”解決方程問題的一種體現，可以化解方程問題的求解難度。

二、幾何問題的設而不求

幾何問題是學生在高中階段學習的一個重要知識點，同時也是近些年高考中的要點，在解析平面幾何微專題問題時，我們經常會遇見兩條曲線相交或者直線與圓錐曲線相交的問題，對于學生而言，這樣的問題整體的計算量很大，容易出現解題困難，而“設而不求”在幾何問題中的應用，可以幫助學生化解這種困難。以這樣的問題為例，在海岸線L的一側C處，有一個小島，而在海岸線L上有A、B兩個起航點，其中A、B、C任意兩點之間的距離為10km，為了將游客從A、B兩點送至C島，制定了這樣的路線方案，即將A、B處的游客送到D處，由D處統一發游輪將游客送至C島，其中A航點處需發車2輛，而B點處需發車4輛，而每輛汽車沒千米耗油2元，而游輪每千米耗油12元，游客運輸成本S，問中中轉點D距離A點多遠時，運輸成本S最小，具體詳見下圖。

此時，我們可以將∠CDA設為α，先求出α的取值范圍，明確當α為極小值時，運輸成本S則為最低。

三、導數問題的設而不求

導數也是學生在高中階段學習的一個重要知識點，并且是教學中的難點，為此在教學過程中，筆者將導數知識進行整合，以微專題的形式對學生進行集中訓練，同時在微專題訓練過程中，要求學生從“設而不求”的數學思想出發，進行導數問題解題。如已知函數 f（x）=（x3- 6x2+3x+t）ex，問若是此函數有三個極值點，請求出t的取值范圍。在解這一問題時，通過“設而不求”的思想，可以將問題導數問題轉化為存在實數t屬于[0，2]，使對任意x屬于[1，m]，這樣我們就可以得出e-x-x2+6x-3≥0 在[1，m]也是恒成立的，這就是使用“設而不求”的數學思想解決導數問題的一種體現，在今后的教學中教師多組織學生進行導數“設而不求”微專題訓練，可以幫助學生化解導數問題解題難度。

四、定值問題的設而不求

定值問題也是學生在高中階段經常會接觸到的一種習題類型，同時也是近幾年的高考熱點，在解決定值問題時，教師也可以引導學生使用“設而不求”的解題思想，在筆者的執教過程中，就曾以定值問題為微專題，對學生進行了這方面的“設而不求”解題訓練，在這里筆者以這樣個一道習題為例，如已知拋物線為x2=4y，并且該拋物線的焦點為F，而A、B兩點則為該拋物線上的動點，若是AF=λFB，過A、B兩點做拋物線，并設其交點為M，證明FM·AM為定值。在解決這一定值問題時，從“設而不求”的解題思想的解題思想出發，可以將A、B兩點的坐標分別設（x1，y1）和（x2，y2），同時根據已知條件AF=λFB，這樣我們就可以得出（-x1，1-y）=λ（x2，y2-1），最終通過帶入求解就可以證明FM·AM為定值，并且該定值為0，這就是使用“設而不求”解定值問題的一種體現。

總結

“設而不求”在高中數學教學中擁有廣泛的應用，在“設而不求”數學思想中，具體解題不一定要直接求出，可以通過“媒介”轉換的方式，曲線解決問題，這樣就極大的化簡了數學問題解題難度，在今后的高中數學教學中，教師同仁有必要對教學中“巧”用設而不求深入研究。

【參考文獻】

[1] 唐雪芳. 運用“設而不求”思想 化解圓錐曲線難題[J]. 高中數學教與學，2017（18）：42-43.

[2] 傅昌敏. 巧用“設而不求法”求解高考題[J]. 考試周刊，2015（83）：3-4.

（作者單位：江蘇省沭陽如東中學）