淺析高中數學函數最值的解法

盧士琪

【摘 要】函數最值問題的概念性、綜合性和靈活性較強，考題的知識涉及面較廣，這對高中學生的分析和邏輯推理能力要求較高。通過對函數最值問題的相關探究，筆者總結歸納出了求解函數最值的幾種常用的方法，并討論了學習函數最值求解中應該注意的問題，這將有利于提高學生對函數的解題能力。

【關鍵詞】高中數學；函數最值；方法技巧

高中數學中函數的最值問題比較難以理解。而且，函數的最值問題既是歷年高考重點考查的內容之一，也是中學數學的主要內容。函數最值問題的概念性、綜合性和靈活性較強，考題的知識涉及面較廣，對于高中學生的分析和邏輯推理能力要求較高。通過對函數最值問題的相關探究，筆者總結歸納出了求解函數最值的幾種常用的方法，并總結了學習函數最值求解中應該注意的問題，這將有利于提高學生的函數解題能力。文章主要通過舉例說明的方式來闡述求解函數最值的幾種常用解法，希望能對提高廣大學生的解題能力有所幫助。

函數f（x）在區間I上的最大值和最小值問題，本質上是一個最優化的問題。求解函數最大值與最小值的實際問題，包括三方面的工作：一是根據實際問題建立目標函數，通常總是選取待求的最優量為因變量；二是按上述的求解方法求出目標函數在相應區間上的最大值或最小值；三是對所求得的解進行相應實際背景的幾何意義的解釋。同時一方面要深刻理解題意，提高閱讀能力，要加強對常見的函數的理解，弄清其產生的實際背景，把數學問題生活化；另一方面要不斷拓寬知識面，提高間接的生活閱歷，如了解一些諸如物價、行程、產值、利潤、環保等實際問題，也涉及角度、面積、體積、造價等最優化問題，培養學生實際問題數學化的意識和能力。

最值問題綜合性強，幾乎涉及高中數學各個分支，學好各個數學分支知識，透徹地理解題意，能綜合運用各種數學技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。

一、代數法。代數法包括：①判別式法（主要是應用方程的思想來解決函數最值問題）；②配方法（解決二次函數可轉化為求二次函數的最值問題）；③不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數最值問題）；④換元法（利用題設條件，用換元的方法消去函數中的一部分變量，將問題化歸為一元函數的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數換元法和三角換元法）。具體而言：①判別法：判別式法是等式與不等式聯系的重要橋梁，若能在解多元函數最值過程中巧妙的運用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應用判別式的核心在于能否合理地構造二次方程或二次函數，還需注意是否能取等號。②配方法：配方法多使用于二次函數中，通過變量代換，能變為關于t（x）的二次函數形式，函數可先配方成為f（x）=a[t（x）-m]2+n的形式，再根據二次函數的性質確定其最值（此類題的解法關鍵在于用“配方法”將二次函數一般式化為頂點式，同時要考慮頂點的橫坐標的值是否落在定義域內，若不在定義域內則需考慮函數的單調性）。③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個必要條件，因此當其中一些條件不滿足時應考慮通過恰當的恒等變形，使這些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當然這里還需要利用系數的湊合才能達到目的，具有一定技巧）。④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個部分看成一個式子，并用一個字母代替，這樣使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時，關鍵還是要在掌握好三角函數常用關系式的基礎上，結合所求解的函數式，慎重使用）。

二、數形結合法。數形結合法是數學中的一種重要的思想方法，即考慮函數的幾何意義，結合幾何背景，把代數問題轉化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數與形之間的對應和轉化來解題，有許多的優越性。將抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時函數最值也借助數形結合方法來求解。

①解析式：解析法是觀察函數的解析式，結合函數相關的性質，求解函數最值的方法；

②函數性質法：函數性質法主要是討論利用已學函數的性質，如函數的單調性求函數最值等；

③構造復數法：構造復數法是在已經學習復數章節的基礎上，把所求結論與復數的相關知識聯系起來，充分利用復數的性質來進行求解；

④求導法（微分法）：導數是高中現行教材新增加的內容，求導法求函數最值是應用高等數學的知識解決初等問題，可以解決一類高次函數的最值問題。

綜上可知，函數最值問題內涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定的模式，學生在解題時要因題而異；而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法。因此，解題的關鍵在于認真分析和思考，因題而異地選擇恰當的解題方法，當一題有多種解法時，當然應該注意選擇最優解法。以上幾種方法僅作為個人的一點愚見，僅是滄海一粟，希望在大家應用的時候千萬不能按部就班，難免會遇到瓶頸，只有弄清其本質，在應用時才能取得事半功倍的效果。

【參考文獻】

[1]李玉琪.中學數學教學與實踐研究[M].高等教育出版社，2001

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