高中數學函數概念的變式教學方法研究

范粵

【摘要】高中數學對于學生而言是難度十分高的一門學科，相較于初中數學具有更加抽象的數學理念、數學定理，使高中階段的學生學習經過與理解行為變得更加煩瑣。因此，文章根據高中數學函數概念的變式教學方法展開了一系列的分析和論述。

【關鍵詞】高中數學；函數概念；變式教學

一、引言

函數在高中數學課程中起到貫穿知識點的作用，是高中數學課程中一個非常重要的組成部分。函數的概念比較抽象，所以教師在教學過程中經常運用豐富的實際例子和一些易懂的變式進行教學，幫助學生對抽象函數思想進行理解，以便學生運用抽象的函數思想解決實際函數問題，讓學生的理解能力和解決問題能力得到提高。在函數的教學中，教師和學生都要注重對函數概念的認識，加強對三種基本函數模式的應用。

二、變式教學及其在函數教學中的作用

首先，我們要了解一下函數概念的發展歷史。每一個數學上的突破，都需要經歷一個漫長的過程和很多數學家的努力。“函數”一詞最早在1673年由德國數學家萊布尼茨在進行自變量數學研究時提出的，之后，函數概念就開始被很多數學家使用。函數概念從形成到應用經歷了三個階段。

（一）變量說

“變量說”有一個經典的函數符號，即 ，其含義是，函數是一個由變量與一些常數以任何一種方式組成的解析表達式。

（二）對應說

“對應說”是針對函數式 中 取值 取值的對應關系，就是 有不同的取值，那么就會有一個與之對應的 值，稱為 是 的函數。

（三）關系說

“關系說”是在19世紀末期被數學家提出的，它把函數的定義域和值域均突破了以往數集的限制，擴展到任意集合。在現代函數的數學教學中，把現代函數的“函數觀”以集合的形式展現出來，表達式為 。含義是，從集合 到集合 的一個函數。就是集合 與 的一種特殊關系——映射，它深刻地展現了函數的本質“對應關系”，也充分反映了函數的三要素。

了解了函數概念的發展史后，我們知道函數概念是有多么的深奧，所以在高中函數教學中，教師都運用變式教學來進行函數內容的教學。那么什么是變式教學呢？它是指在教學過程中，教師從不同的角度或者不同方面、不同層次，借助學生最容易看懂和接受的圖形表現出函數的概念和本質特征。

還有一種方法是變換概念，就是指向對象的非本質特征以突出概念或問題的本質特征，從而揭示概念或問題的本質屬性與非本質屬性之間的關系。變式教學在教學中常見的教學形式有一題多解、一法多用、圖形變式、教法、學法變式。其中前兩種是教師在數學教學中運用最多的。綜上可以看出，教師運用變式進行數學教學，是由具體到抽象、從特殊到一般的認知規律和思維過程。具體來說，就是教師在教學過程中運用變式教學，把函數的本質特征通過具體事例概括出來，然后總結出函數概念，讓學生通過變式教學區分出函數本質和函數的不同表現形式，讓學生在實際學習中運用得更加自如。

三、函數概念的變式教學

（一）函數概念的意義建構

函數概念從認知心理學上來說，屬于陳述性知識，也叫描述性知識。它的含義是，用來說明事物的性質、特征和狀態，用以區別和辨別事物。函數概念教學的關鍵，就是將新知識和長時記憶建立相關聯系，就是認知心理學中陳述性知識的獲得，讓新知識和原有命題網絡、原有知識之間相互聯系。所以教師在進行函數概念教學時，就要運用變式教學更好地幫助學生建立新知識與長時記憶。每個人的長時記憶系統實際上就是意義建構的過程，簡單來說就是我們記憶時，是根據信息的意義來進行記憶存儲的，而不是根據信息本身。所以，教師在概念數學教學中，要多角度、多層面、多形式地展現概念內涵各個方面。在教學中，教師要引導學生熟練掌握映射和集合概念，讓學生在頭腦中反映出感知過或思考過的數學知識，形成函數概念的意義建構。在教學過程中，關于對映射的理解，如下圖所示。

圖1 圖2 圖3

綜合映射的概念：集合 當中任何的一個元素在集合 當中都一定要有唯一明確的元素與其對應。圖1當中，集合 當中的任何一個元素在集合 中都有一個元素與其對應，也就是生成了集合 和集合 的“對應關聯”；圖2當中，集合 中的任何一個元素在集合 當中也具有唯一明確的元素和其相對應，生成了“多對一”的相對關聯；圖3當中，集合 到 的相對分別具有“一對一”和“多對一”的相對關聯。三個圖當中所展現的集合都和映射的概念特性相一致，也就是具備“任何性”和“唯一性”兩個前提。挑選的三個圖是相對簡單、直接的，有助于學生初步了解映射的概念。

另外，教師可以在教學過程當中設立特定的教學情景，使學生在其中以實踐經驗以及原有的認知構成當中提煉和新知識有關的舊知識，找出新知識和舊知識之間存在怎樣的關聯。比如，在學習指數函數概念的時候，可以通過概念來引入變式教學。

1.提出問題：我有張白紙，把它撕成兩半， 將它們重疊后再撕一次，重疊后再撕一次……那么撕扯4次之后把所有的紙重疊放置有幾層？8次呢？18次呢？（創設情境，激發學生的探究興趣。）

2.假如一張紙厚0.1毫米，那么撕紙15次后把所有的紙重疊放置有多高？有一個成年人高嗎？如果撕掉20次呢？（學生的注意力被吸引，紛紛討論起來，當計算出撕紙15次后得到32768張紙，重疊后高度為3.278米，撕扯20次以后重疊高度為104.8576米的時候學生都十分驚訝。）在概念導入的時候，選取實際的例子更能讓學生體會到數學其實就在自己的身邊，存在于平時的生活中，讓學生知道數學是有用的，所以要學，要好好學。

（二）不同函數模型的運用

在高中階段的函數教學當中，教師要重視學生運用函數模型處理現實問題水平的提高、對函數理念的把握，把提高運用水平練習作為目標。在課本內容的設定方面，高中時期主要牽涉指數函數、對數函數以及冪函數三個類別，這三種函數的上升轉變具有一定的復雜性，通過設置循序漸進的問題串，使學生在持續地觀察、思考以及探索的過程當中，弄明白三種函數的上升差距，培育剖析問題、處理問題的水平。第一，課本先設立一個確定投資計劃的問題情景，在處理問題的過程當中，老師可以提供解析式、數表以及圖像三種代表方式，之后提出問題，使學生能夠從當中感受直線上升以及指數爆表，另外有助于學生懂得怎樣挑選合適的代表方式對問題進行有效的剖析。第二，設立一個挑選公司獎勵模型的問題情景，使學生在觀察與探索的過程當中感受到對數函數上升模型的特性。第三，提出疑問：三種函數具有怎樣的上升差距？在這個環節，可以利用信息技術從數值與圖像兩個視角展現指數函數、對數函數、冪函數的轉變狀況，同時指引學生從不同視角觀察它們的上升圖像的差距，使學生感受這些函數模型在敘述客觀世界轉變規則時候各自的特性，加深學生對函數的連貫性、可微性、可積性等關鍵屬性的認知，慢慢提高學生運用函數知識去剖析問題和處理問題的技能。

（三）函數概念的認知誤區

1.函數就是曲線。從函數概念能夠看得出來，函數具有數形結合的特性，它是表達兩個變量對應關系的一個關鍵數學模型。一般來說，憑借曲線可以直觀呈現兩個變量之間的對應關聯。在教學當中，可以運用變式教學當中的錯誤例子進行說明，比如， ，它代表集合 到 的映射關聯，這也恰恰是當代函數的實質，它是經過集合而不是曲線來呈現映射關聯的，憑借此讓學生明白曲線和函數并不是同一個道理，曲線僅僅是函數的一種表達方式。

2.函數就是解析式。函數解析式屬于函數運算的一種改變，也就是從不利于參數加入運算的幾何狀態轉變成易于運算的代數狀態，在這樣的狀況下，解析式的函數概念應運而生。實際上，出現函數就是解析這樣的認知誤區最主要的原因是忽視了函數解析表達式的不唯一性，也就是一個函數要由不同的解析式來進行表達，例如：

和

這兩個解析表達式表達的是同一個函數。所以，一個函數其實就屬于一個解析式或者說一個解析式就屬于一個函數的理解都是不對的。在變式教學的例子方面，所挑選的表達式應該具備代表意義，例子不在于多而在于精，應該起到引起學生共鳴的作用，達到舉一反三的成效。

四、結束語

總而言之，再好的理論都是來源于我們的實際教學。函數概念的教學在整個高中數學教學當中是重點，也是困難點。不管運用哪一種教學方式，都應該重視基礎的函數概念教學。同時把先進的教學觀念到課堂教學當中去，持續歸納和探索，強化學生對函數概念的領悟、生成、同化、運用，培養學生學習的自主性和創造能力，幫助學生認識概念的意義以及外部的延伸，從而有效提高學生應用所學知識處理現實問題的水平。

【參考文獻】

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