高中數學向量解題基本思想與技巧分析

摘 要：作為高中數學的重要組成部分，向量解題的基本思想是每年高考考察的重點，高中生需要明確向量解題基本思想及技巧，提高自身的數學成績。基于此，本文從高中數學向量知識的內涵入手，對其解題基本思路與技巧進行分析，高中生需要巧用抓基底的方法，提高對基礎知識的重視，并合理利用直角坐標系，準確解答向量問題，培養自身數形結合的思想。

關鍵詞：高中數學；向量；共線向量

一、 前言

向量具備代數和幾何雙重形式，與代數、立體幾何及三角函數等相關知識有密切的聯系，使得向量成為高中數學知識體系的重點內容。高考中關于向量知識的考察涉及填空題、選擇題及解答題等多種類型。學生對向量知識的學習可以培養自身的數學思維及數形結合理念，通過解題基本思想的培養，提升學生的數學核心素養。因此，對于高中數學向量解題基本思想與技巧的分析是很有必要的。

二、 高中數學向量知識分析

向量是高中數學中的新知識，主要包括平面向量和空間向量這兩方面的內容，不僅是高中數學學習的重點，與解析幾何以及三角函數的關系密切，還與物理學科中的矢量運算相關，更與高等數學中的柯西不等式等知識相關。因此，高中生需要提高對向量知識的重視，為未來的學習奠定良好的基礎。向量和數量有所不同，它既有大小，也有方向，對高中生的空間想象能力有較高的要求。高考大綱中關于向量考察內容的難度不算太高，平面向量的相關知識主要通過填空題或者選擇題進行考查；空間向量的相關知識主要與立體幾何聯系在一起，通過大題進行考察。在實際的向量學習中，只要高中生掌握向量解題的基本思想與技巧，就能夠準確解答向量相關問題，提高自身的數學成績。

三、 高中數學向量解題基本思想與技巧分析

（一） 巧用抓基底方法

高中數學中向量解題中應用最為廣泛的方法就是抓基底方法，在題目給出的圖形中含有多個向量時，可以根據位移分解定理，將一系列向量劃分為統一的一組向量，以此開展向量的運算。但是在實際的運算過程中，這種向量劃分方法較為混亂，很容易出現運算失誤。因此，高中生可以通過基底的設置，簡化運算流程。以下面一道例題為例：在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，|AD|=1，求出AD·AC的值。例題中的向量相對較多，我們可以選擇垂直的兩條直線作為基底，將AD設為b，將AB設為a，則BD=b-a；BC=3（-a+b），AC=AB+BC，則AD·AC=AB·AD+BC·AD=BC·AD=3（-a+b）·b=3b2-a·b=3|AD|2=3。在上述例題的解答過程中，垂直基底的應用有效簡化了向量分解流程，可以降低向量解題的難度。

（二） 通過極化恒等式進行向量解題

在高中數學中，極化恒等式主要是指向量數量積與向量和之差之間的關系，該方法能夠簡化向量解題流程，避免向量解題過程中出現運算失誤。以下面一道例題為例：已知a·b=0，而且向量符合下面關系式：（c-a）·（c-b）=0，|a-b|=5，|a-c|=3，求a·c的最大值。根據極化恒等式可知，可以根據a-c、a+c和a·c之間的恒等關系，求得a·c的最大值，a·c=14[（a+c）2-（a-c）2]=14[（a+c）2-9]，由此可以看出，問題解答的關鍵在于a+c。在△OAC中，將線段AC的中點設為M，則a+c=2OM，|a·c|的最大值就是|a+c|的最大值，即：|OM|的最大值。|OM|在這一圓中，AC為3，則OM通過圓心時其線段長度最大。因此，|OM|max=12BC+r=4.5，則|a+c|的最大值為9，|a·c|的最大值是18。需要注意的是，在應用極化恒等式進行向量解題時，不需要轉換內部數量關系。

（三） 合理利用直角坐標系

在向量問題中，時常會存在相互垂直或者某些特殊的夾角，高中生可以通過數形結合的方法，合理利用直角坐標系，將復雜的數量關系通過圖形直觀地展現，簡化向量問題的解答過程，提高解題效率。以下面一道例題為例：OA=OB=1，而且兩者為垂直關系，OC=λOA+μOB，（λ，μ∈R），AB的中點為點M，|MC|=1，求λ+μ的最大值是多少？根據題目已知條件，可以將A和B兩點置于直角坐標系中，A點設為（1，0），B點設為（0，1），則M點為（12，12），C點為（λ，μ），則MC=（λ-12，μ-12）；已知|MC|=1，則（λ-12）2+（μ-12）2=1。也就是說，C點在位于以M點為圓心，1為半徑的圓上。將λ+μ設為t，帶入圓的方程中可知：2λ2-2tλ+（t2-t-12）=0，Δ=（2t）2-4×2（t2-t-12）≥0，求得-2+1≤t≤2+1，所以λ+μ的最大值是2+1。

四、 結論

綜上所述，向量是高中數學的重點內容，需要受到教師和學生的重視。通過本文的分析可知，高中數學教師需要注重學生解題思想及技巧的培養，確保學生可以靈活應用數學思維及向量基本知識，準確解答向量相關問題，提高自身的數學成績，為未來的數學學習奠定良好的基礎。希望本文的分析可以為數學教師開展教學及高中生解答向量題目提供幫助。

參考文獻：

[1]劉偉華，張敏.高中數學平面向量解題策略[J].新課程（下），2018（8）：281.

[2]孫溥臨.淺析求解高中數學學習過程中特征值與特征向量的解題技巧[J].高考，2018（21）：208.

作者簡介：

茅建未，浙江省余姚市，余姚中學。