立足核心素養，雕琢數學課堂

何曉麗 郭海萍

【內容摘要】核心素養是當代課程改革與發展的靈魂，教師是新課程推行的主體，課堂是教書育人的主要陣地，教師應將“學生為本”的理念與教學實際有機結合，培養并提升學生的核心素養。筆者結合《球的體積和表面積》的教學實際，談談自己在優化課堂教學過程中的實踐與思考。

【關鍵詞】核心素養?數學文化?生活實例?探究學習

核心素養是當代課程改革與發展的靈魂，旨在培養適應社會需要的全面發展的人。《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》指出：課程改革的深化“將提出各學段學生發展核心素養體系，明確學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力，突出強調個人修養、社會關愛、家國情懷，更加注重自主發展、合作參與、創新實踐”[1]。高中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象和數據分析[2]。教師應將“學生為本”的理念與教學實際有機結合，將核心素養的培養落到實處。筆者結合立體幾何中《球的體積和表面積》的教學實際，談談自己在優化課堂教學過程中的實踐與思考。

一、弘揚數學文化，培養家國情懷

中華民族的文化博大精深，數學文化更是燦爛的瑰寶，在古代數學發展的歷史長河中涌現出許多杰出的數學家，如劉徽、祖沖之、秦九韶、楊輝等，他們的豐功偉績為推動數學發展做出了巨大的貢獻。老師在課堂中應充分利用數學文化的寶貴資源，為學生展現他們嚴謹務實、堅韌執著的治學態度，讓他們的敬業品質和民族精神給學生以心靈的觸動。

【教學實例】由于球的體積和表面積公式在推導證明上比較繁瑣，學生在理解掌握上也比較困難，根據《數學課程標準》要求，學生了解即可，但對其中所蘊含的數學文化和思想的體會，對學生來說卻是難得的機會，因此在授課過程中筆者作了如下處理。

問題：我們回顧了柱體、錐體、臺體的體積和表面積公式及其推導，球既沒有底面，也無法展成平面圖形，那么，要怎樣求球的體積和表面積呢？

對體積問題，學生提出了自己的想法——排液法，“置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則校可知矣。”借助曹沖稱象之法，取一容器，放入小球，則排開的液體體積即為小球體積。老師首先肯定了同學們的想法，同時也指出局限性，排液法可操作性不強且沒有廣泛的應用性，每次測量都要取容器何其麻煩，測量較大的球體如星球則容器無處可尋，這時，老師介紹祖暅原理——“冪勢既同，則積不容異”，同時不失時機地說：“它是由我國南北朝杰出的數學家祖沖之的兒子祖暅首先提出來的，在西方，球體的體積計算方法雖然早已由希臘數學家阿基米德發現，但祖暅原理是在獨立研究的基礎上得出的，且內容更豐富，涉及的問題更復雜。17世紀，意大利數學家卡瓦列里在1635年出版的《連續不可分幾何》中提出了等積原理，他的發現要比我國的祖暅晚1100多年。”

老師結合教材內容，在課堂中介紹與所授知識有關的數學家、名言、故事等，展示豐富的數學文化，能讓學生在潛移默化中接受熏陶，增強民族自豪感，不但有利于培養學生思考問題的積極性，更重要的是通過人格品行的教育，激發學生的求知欲。

二、活用生活實例，靈動教學課堂

數學來源于生活，服務于生活，生活為數學提供了豐富的素材，教師要善于利用生活，就地取材，化腐朽為神奇，激發學生的興趣，幫助學生沖破思想的難關。

【教學實例】老師以問題形式引導學生推導球的表面積公式：球面不能展開成平面圖形，所以球的表面積無法用展開圖求出，那么，要如何推導球的表面積公式呢？

老師結合課件進行回顧：“我們把一個半徑為R的圓分成若干等分，然后重新拼接，把一個圓近似看成邊長分別是R和

R的矩形，當所分的份數不斷增加時，精確度就越來越高;當份數無窮大時，就得到了圓的面積公式。”圓面積的推導過程體現了分割、求近似和、化準確和的極限思想，學生自然而然地聯想到要對球進行分割，設想一個球由許多頂點在球心，底面在球面上的“準錐體”組成，那么問題來了，平面的近似可以理解，立體的分割卻不易接受，這時，老師話鋒一轉：“同學們對學校的田徑場相當熟悉吧，我們平常都把田徑場近似地看成一個平面四邊形，可田徑場也是地球表面的一部分呀。”學生恍然大悟：“這些準錐體的底面并不是真的多邊形，但只要其底面足夠小，就可以看成真正的錐體。”

為鞏固公式的應用，老師給出例題：一只飛蟲被長為2的細繩綁在棱長為4的正方體的底面中心，求飛蟲在正方體內活動范圍的體積。學生很快得出飛蟲的運動軌跡是半球，老師問：“若飛蟲綁在正方體的一個頂點上呢？”有的學生脫口而出“球的四分之一”，此時，老師借助多媒體將球進行復原：“我們把球看成一個西瓜，過球心橫切一刀，分成兩份，豎切一刀，分成四份，再切一刀，分成八份。”這樣，猶如切西瓜般，再現了球被切割的過程，因為貼近生活，學生很快就理解了。

三、適當探究學習，提升思維水平

數學思想方法大部分通過解題教學得以呈現，教師要精選課例，善于挖掘其中所蘊含的數學思想和延伸空間，讓學生從初始的模仿記憶，到主動的理解感悟，豐富學生的解題策略，提升學生的思維水平。

【教學實例】在教授完公式后，筆者設計了與球有關的切接問題的探究活動。

例題：已知小皮球直徑是10cm，在物流快遞中，郵遞員要將此球（充氣狀態）用正方體紙箱進行打包，怎樣才能做到用料最省？

探究一：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，如果球O和正方體的棱都相切，求球的表面積。

探究二：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，如果各個頂點都在球O的球面上，求球的表面積。

本題組以正確把握圖形結構特征為基礎，是空間想象力的直接反映。初學立體幾何，學生的圖形語言表達及空間想象能力相對不足，空間向平面轉化的意識也不夠，為方便學生觀察，筆者利用紙盒、建構球等工具制作了三個教具，并適時引導、鼓勵學生思考討論。

對例題，老師指導學生畫出平面圖形，并組織語言：球內切于正方體，它們的中心重合，切點是六個正方形的中心，過球心及四個切點作截面（球的軸截面），對面中心的連線是球的直徑，即直徑等于正方體的棱長。

教師：在解決此類問題時，一般要通過一些特殊點如球心、切點、頂點，或特殊的線如軸線、高線等，準確作出軸截面，再運用平面幾何知識研究有關元素的位置關系和數量關系。接下來請大家思考，探究題的解題關鍵是什么？

學生1：把空間問題轉化為平面問題，即作出過球心的軸截面。

老師：軸截面有無數多個，要找哪一個？請大家模仿例題描述自己的分析思路，并畫出相應的圖形。

學生2：探究一，球和正方體的中心重合，切點在各棱的中點，過球心作相應軸截面，對棱中點的連線是球的直徑，即直徑等于正方體的面對角線長。

學生3：探究二，球和正方體的中心也重合，頂點都在球面上，球心在對角面內，故過球心作過對角面的軸截面，則直徑與對角線相等。

老師乘勝追擊，讓學生繼續思考：

探究三：在球面上有四個點P、A、B、C，若PA、PB、PC都等于2且兩兩互相垂直，求這個球的體積。

探究四：已知正四面體的棱長為a，四個頂點A、B、C、D都落在球面上，求這個球的表面積。

對探究三，老師先利用課件進行演示和鋪墊：“我們把正方體沿著面對角線進行切割，可以得到側棱兩兩互相垂直的三棱錐，若正方體的八個頂點都在同一球面上，則三棱錐的四個頂點也在相同的球面上。”學生何其聰慧，一點就通，老師話音未落，馬上回答：“把已知的三棱錐補形成為正方體，本題就轉化成正方體的外接球問題了。”

老師：非常好，我們不知不覺已經利用化歸轉化思想實現了問題的解決。類比探究三，正四面體與正方體有何聯系？

學生4：正方體的面對角線相等，正四面體的六條棱也相等，取正方體中A、C、B 、D

四個頂點即可構成正四面體，所以正四面體的外接球即為對應正方體的外接球。

經過適當的引導，問題迎刃而解。數學問題表象不一，方法卻是相通的，通過探究活動，經歷了啟迪和反思，相信學生能夠更深刻地領會數學思想。

核心素養體系處于深化課程改革、落實立德樹人目標的基礎地位，教師是新課程推行的主體，課堂是教書育人的主要陣地，教師應與時俱進，更新觀念，聚焦核心素養，精雕細琢，畫龍點睛，優化課堂教學，讓課堂煥發生機活力，充分展現其潛在的教育功能，引導學生真正觸及數學問題的本質。實現提升核心素養的目標。

【參考文獻】

[1]孫宏安.數學素養探討[J].中學數學教學參考，2016（10）：7-10.

[2]教育部課程標準修訂組.普通高中各學科核心素養一覽表[EB/OL].

【本文系福州市教育科學研究“十三五”規劃2017年度課題“聚焦核心素養，優化課堂教學一一全國卷背景下高中數學有效教學策略研究”（課題編號：FZ2017GH104）的研究成果之一。】

（作者單位：福建省福清第一中學）