以垂徑定理為例探究數學命題的教學設計

孫立萱

【摘要】數學命題是數學學習的重點，因此，教學過程的設計，成為教學成功的關鍵.現以“垂徑定理”的教學設計為例，整理歸納關于“數學命題”的教學設計.

【關鍵詞】數學命題;垂徑定理;教學設計

一、對數學命題的初步認識

在數學中，用來表示數學判斷的陳述句或符號的組合叫數學命題.數學中的命題教學，主要是指數學公理、定理、公式和法則的教學.

對數學命題的教學，基本要求是：使學生分清命題的條件和結論;掌握命題的推理過程、證明思路及相應的數學方法;其中在講解數學命題證明時，應著重分析證明的思路，并將證明思路的探索過程展示在學生面前，使學生充分感受命題及證明方法背后深藏的數學思想方法，以便學生可以利用所學命題解決實際問題.因此，良好的教學設計是達到這些要求的有力保障[1]-[2].

二、以“垂徑定理”為例進行數學命題教學設計

數學命題教學設計的重點主要是結論的發現過程和推導（證明）的思考過程，針對命題的教學要求，將“垂徑定理”的教學設計分為引入、證明、應用三部分.

（一）“引入”的設計

在“學生參與學習活動，主動地發現問題解決問題”的基礎上引進課題.

1.引導學生思考：我們所學的圓是否為軸對稱圖形;若是，對稱軸在哪？

組織學生利用課前準備的圓形紙片進行實驗：沿著過圓心的任意一條直線對折，重復幾次，得到結論：首先圓是個軸對稱圖形;其次圓有無數條對稱軸;并且對稱軸是各個直徑所在的直線[3].

2.接下來引導學生在自己準備的圓中作圖：① 任意作一條不是直徑的弦AB;② 作直徑CD垂直弦AB垂足為E.讓學生分析直徑CD與弦AB之間的關系.發現結論：“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”引出命題[4].

（二）“證明過程”的設計

1.對定理的結構進行分析

教師啟發學生分析討論，寫出題設、結論.

2.實驗—觀察—猜想：引導學生將上述圓形卡片沿直徑CD對折，觀察重合部分，發現對應的線段、弧完全重合，由此得出猜想：如圖1所示，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE，AC=BC，AD=BD.

3.證明：引導學生用“疊合法”證明此定理.

4.向學生滲透證明過程中的“轉化劃歸”的數學思想.

5.結合圖形用幾何語言表述，教師板書出規范的簡明的證明過程[4].

（三）“應用”的設計

學習數學命題定理的目的是應用：在建立實際問題的數學模型后，使用相應的定理來解決問題.所以在數學定理的學習中，我們要更加注重在“應用”方面的培養，其中“轉化劃歸思想”是解決數學問題的一種重要思想方法.

例 如圖2所示是一名同學從“日出”照片上抽象出來的畫面，太陽與海平面交于A，B兩點，測得“太陽”的半徑是5 cm，AB=8 cm，若從目前太陽所處的位置到太陽完全跳出海面的時間為16 min，則太陽升起的速度為多少？

解析 本題解決的關鍵是利用“轉化”的數學思想，將實際問題轉化成數學模型，利用垂徑定理構造直角三角形，接著運用勾股定理求出海平面到圓心的距離，進而求出太陽全部跳出海平面的距離.

作與AB垂直的直徑，交AB于點C，交⊙O于點D，連接OB.

根據垂徑定理可知BC=12AB=4 cm.

在Rt△OBC中，OC=OB2-BC2=52-42=3 cm.

所以DC=OD+OC=8 cm，

則速度為8÷16=0.5 cm/min.

我們要善于發現身邊可用“垂徑定理”來解決的實際問題（拱高問題、圓管問題、最短距離問題），然后建構數學模型，利用“轉化劃歸”的數學思想進行解決[5].

三、結 語

數學命題的廣泛應用體現了數學的工具性特征和數學的力量.在命題的發現中，不但要讓學生參與學習，還要讓他們在獲取命題的過程中，逐步學會數學的認識方式;在命題的證明中，首先要分清題設與結論，逐步體會到數學“言必有據”的推理特征，揭示證明中的數學思想與方法，重視書寫格式與要求;在命題的運用中，感受到數學的工具性和功用性，初步感受到數學技術對人類的貢獻[5].

【參考文獻】

[1]潘瑞.基于數學命題教學下的勾股定理教學設計研究[D].成都：四川師范大學，2014.

[2]孫素珍.高中數學定理的教學設計[J].數理化解題研究，2013（10）：18.

[3]江治.垂徑定理教學設計[J].課程教育研究，2014（15）：190-191.

[4]孫奇靜.《垂徑定理》教學設計與反思[J].中小學教學研究，2013（10）：48-50.

[5]徐章韜，陳林.數學命題的認識及其課堂教學設計[J].課程·教材·教法，2014（11）：81-85.