初中幾何最值問題解法探究

成政榮

[摘 ?要] 數學教學已經面臨著核心素養培育的需要，在幾何最值問題的教學中如何兼顧學生的解題能力與核心素養，值得思考. 基于核心素養培育的需要，對初中幾何最值問題解法的探究，主要分兩步進行：第一步是給學生提供一些基本的最值問題;第二步是讓學生進行總結. 總結的目的在于分類，以及分類基礎上的方法總結. 初中幾何最值問題的方法探究，一定要面向學生，面向學生的思維，這有利于核心素養強調的關鍵能力的落地.

[關鍵詞] 初中幾何;最值問題;解法探究

初中幾何知識體系中，最值問題是一個重要的知識領域，其不僅與幾何知識有關，更與數學思維有關，其既在教材上明確出現，同時又是中考的重要內容. 因此，無論是教師還是學生，對幾何最值問題常常都是高度關注的. 從學生的角度來看，由于最值問題常常不知道“最”在哪里，因而學生在解題的時候，常常不像其他類型的題目那樣心里有數，也因而客觀上造成了學生解題時的心理緊張、無序等情形. 在解決這一問題的過程中，有數學教師嘗試從方法總結的角度去尋求一類解法，這從應試效果角度來看有一定的作用，但學生總感覺自己學到的是一技之法，而不是對幾何最值問題的完整認知. 今天的數學教學已經面臨著核心素養培育的需要，在幾何最值問題的教學中如何兼顧學生的解題能力與核心素養，成為筆者重點思考的問題. 下面就針對幾何最值問題解法的探究，談談筆者的一些淺顯觀點.

初中幾何最值問題概述

總體而言，初中幾何最值問題因為能夠綜合地考查包括二次函數以及軸對稱、一次函數、特殊三角形、相似三角形、特殊四邊形、圓等重要知識，具有較強的靈活性、創新性和挑戰性，故一直備受全國各地中考命題者的青睞. 但是命題者在享受出題成功的同時，往往較少考慮到學生會經過什么樣的思維過程，才能達到問題解決、素養提升的效果，而站在核心素養培育的背景之下，對初中幾何最值問題的進一步闡述，顯然是非常必要的.

如上所說，幾何最值問題考查的知識點涵蓋如上那些方面，有同行從知識分類的角度去實現解題方法的歸類，筆者以為是值得商榷的. 因為不同的知識點中，最值問題解決的思路未必相同，而不同的知識點中，最值問題的解題思路卻有可能相近，因此從方法角度去對最值問題進行分類更加可行. 但是這里又存在一個挑戰，那就是對于初中學生而言，數學方法、解題方法的形成與歸類原本就不容易，其歸類結果有可能班上只有三分之一左右的學生能夠明白，這就給面向整體教學帶來了難度.

在這樣的背景之下，筆者在教學中當遇到幾何最值問題時，在很長的一段時間里，都不給學生進行知識或者方法上的分類，而只是強調一道題目的提供與解法的形成. 這從解題心理的角度來看，其實是比較合適的，原因就在于幾何最值問題對于學生而言，其實是一個經驗非常缺乏的知識點，而經驗缺乏就意味著需要積累，遇到一題就分析一題，解決一題就記住一題，這就是一個經驗積累的過程，所積累的經驗不僅包括知識點上的認識，也包括解題方法上的積累. 等到積累到一定的程度，那學生就會對幾何最值問題產生一定的直覺，這種直覺是進一步提升的基礎.

結合該問題在中考試卷上的體現，通過研究也可以發現，幾何最值問題近年來確實頗受各地中考命題者所青睞，而且向著多形式的題型發展，并有拓寬和加深的趨勢. 這類問題涉及的知識面廣，綜合性強，要求解題者具有較強的數學轉化能力和創新意識. 這種數學轉化能力和創新意識的培養，是上述經驗積累到一定程度之后的必然之舉.

初中幾何最值問題解法

基于以上分析，基于核心素養培育的需要，對初中幾何最值問題解法的探究，主要分兩步進行：

第一步是給學生提供一些基本的最值問題——這里所說的基本，其判斷依據是學生能夠在解題之后，形成一定的方法認知. 這些基本題當中，簡單如將軍飲馬問題，學生一旦成功解決就能夠意識到軸對稱知識在其中所發揮的關鍵作用;而略微復雜一點的則來自各地的中考題.

例1 ?在邊長為2的等邊三角形ABC中，點D是BC邊的中點，點E是AC邊上的一點（如圖1），則BE+DE的最小值是______.

這道題目的解決關鍵在于作出B點關于直線AC的對稱點. 所以從承上啟下的角度來看，這道題目既是對將軍飲馬問題的升華，同時又強化了學生對軸對稱知識在解決最值問題中的認識，實際上也就是強調了學生的方法認知.

大量事實表明，通過這一步的努力，可以幫學生形成較為豐富的解決幾何最值問題的經驗，即使是中等偏下的學生，也能夠在成功解決問題的過程中獲得方法上的認知，這一認知將為后面的分類以及方法提煉奠定基礎.

第二步是讓學生進行總結. 總結的目的在于分類，以及分類基礎上的方法總結.

基于循序漸進的原則，對學生進行最值問題的訓練，可以由“靜”向“動”，譬如給學生呈現這樣的例題：

例2 ?如圖2，已知四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，且點M，N分別為線段BC，AB上的動點（包括端點，但M與B不重合），點E和F分別是DM，MN的中點，EF的長度有無最大值或最小值？其結果是多少？

這一題目的難度，在于最值是由動點引起的，而且要判斷最值是最大值，還是最小值. 難度的提升意味著學生的思維有了更大的挑戰，同時也意味著思維有了更大的空間. 借助于輔助線，如連接圖中的DN等，可以完成問題的求解. 而在方法的總結與反思中，需要學生認識到構建△MND，并借助于三角形的中位線定理，從而將求EF的最值轉化為求DN的最值，然后去判斷其是最大值還是最小值.

通過以上分析可以看出，在初中幾何最值問題中，不管題目怎樣變化，最值問題最終涉及的就是這樣一些知識點：垂線段最短、兩點之間線段最短、動點與定點最遠（近）時距離最大（?。狱c與定直線最遠（近）時距離最大（?。?、一次函數、二次函數在某個范圍內具有最大（?。┲档? 基于這種知識分類走向方法分類，則可以發現幾何最值問題常見的有兩種：兩點之間線段最短和直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短，這是我們解決幾何最值問題的出發點和歸宿. 而最終總結出的方法則是：直接解決法（對于基礎的最值問題，如將軍飲馬問題），轉換法（如上述例2），數形結合法（通常與二次函數相關）……

特別需要指出的是，這些方法一定要經由上述兩個步驟，讓學生在體驗的過程中不斷地去總結和反思，只有當方法屬于學生時，學生才會在遇到新題目的情況之下，有意識地調用自己所總結出的方法去主動解題. 如果不尊重學生在方法總結中的自主性，那無論教師多么努力，都不能保證學生在遇到新題目時能夠得心應手.

面向學生思維實施教學

說白了，強調學生在解決幾何最值問題過程中的方法自主總結，其實是強調學生在解決此類問題中的思維培養. 如同本文一開頭所說的那樣，幾何最值問題與其他類型的習題并不相同，除了一些最基本的最值問題可以直覺性地形成反應之外，絕大部分題目都需要學生均有一定的思考，才能發現問題解決的方向. 作為教師，常常會為學生在解題無序時的著急而施以援手，但這種幫忙并不利于培養學生的思維. 因此在實際教學中，筆者還是傾向于讓學生去自主探究，自己總結最值問題的解法.

根據筆者的經驗，學生在總結的過程中，可能會有一個比較膚淺的過程. 學生總結的時候，大多只會想到“兩點之間線段最短”“點到直線的距離垂線段最短”及“平面內一點與圓上各點連線中，到過該點和圓心的直線與圓的近交點距離最短、遠交點距離最長”等，這些結論實際上是針對具體題目總結出來的，不具有一定的概括性，但是教師這個時候必須冷靜，不能急于求成而去拔苗助長，最好的做法應當是給他們更多的題目——這些題目教師必須精選，主要的目的是豐富他們原有的認識. 可以肯定地講，當學生對一道題目進行了總結之后，這道題目在學生大腦中的印象一般是深刻的，此時教師基于變式教學的思路，給學生提供一些變式題目，就可以豐富學生的認識，從而讓他們總結出求線段或線段和、差的最值問題，及其相關的思路. 事實上，學生在這樣的過程中，經常會有新的發現，比如有些題目看起來與函數無關，但是如果構造出了二次函數，就可以利用函數性質求最值. 這就是一種了不起的方法總結與發現，學生掌握的是幾何最值問題的解決方法，培養的是自身的思維.

總體而言，初中幾何最值問題的方法探究，一定要面向學生，面向學生的思維，不追求學生記住方法的名稱，而追求學生在遇到不同類型的最值問題時，都能夠有所感悟，是這一內容的教學的最佳思路，有利于核心素養強調的關鍵能力的落地.