淺談在數學教學中如何促進“數學理解”

高原

[摘? 要] 數學理解是一種理解的深度，是一種體驗的高度，是一種創新的廣度.有深度的數學理解，從揭示知識的來龍去脈開始，從呈現教師的思維過程出發，從暴露學生的思維過程展開，并在自編題中實現從理解知識到數學應用的升華.

[關鍵詞] 高中數學;數學理解;暴露思維;自編題

目前，高中生在數學學習中普遍存在著以下困惑：數學概念、定理、性質以及例題等的講解一聽就懂了，而在習題訓練或考試中卻無從下手，這是當下嚴重影響學生數學成績提升的一大“瓶頸”. 目前，狂刷習題是大部分學生學習數學的常態，尤其是高三學生，刷題的時間和數量是無以計數的，而效果卻又是極小的. 這與師生中普遍存在的認識“數學學習就是做題和計算”有著相當大的關聯，久而久之，就會出現學生缺乏對所學數學知識必要而深刻的理解，自認為知識的掌握已經成型，而事實上卻是淺顯的、模仿性的.

章建躍先生提出需“理解數學”，所謂的“數學理解”，就是學生的頭腦中形成一個強大的知識網絡，吸收該數學知識的同時，使之快速與已有數學認知結構建立聯系，從而內化為一個完整的數學知識結構網絡，在不斷建構和修正數學知識結構網絡中可以促進數學理解的形成. 一般來說，讓學生理解數學是提高教學質量的前提條件. 不少一線教師對數學教育的本質理解不夠透徹，在把握教學本質上有所偏差，僅僅追求表面上的知識輸送，從而抑制學生思維的發展. 因此，在教學中如何促使學生深刻理解所學數學知識是值得廣大數學教師研究的問題. 下面筆者就圍繞“促進學生理解數學知識”這一主題，談談自身的一點思考，與同行交流.

數學理解，從揭示知識的來龍去脈開始

高中數學課程內容所包含的不僅僅是數學的結論，還需囊括數學結論的形成過程以及其中蘊含的數學思想方法. 這樣一來，教師就不可以機械地將數學結論拋給學生，而需注重學生親身經歷數學知識，尤其是數學概念、定理、公式、發展等的學習過程，從而真正理解其中蘊含的數學思想方法，以促進學生對數學知識的真正理解[1].

例如，在教學“等差數列的通項公式”時，筆者為了讓學生真正理解定義的來龍去脈，讓學生親身經歷等差數列定義an-an-1=d（n≥2）向通項公式an=a1+（n-1）d的推導過程，使學生對公式中每一個字母的含義有深層次的認識，并實現滲透“消項累加”的數學思想的目的.

案例1：在“球體的體積”的教學過程中，筆者沒有直接呈現球體的體積公式V=πR3，而是引導學生逐步探究和推導此公式，讓學生對探求方法有一定的認識，對體積公式有深刻的理解. 具體探究過程如下：

首先，研究如何計算半徑為R的半球體積，借助一個幾何體，該幾何體與半球相同高度，且在用任何水平面截取時，所得截面面積均相等. 接著，設與大圓平行且與球心距離是l的平面截半球所得圓面半徑是r=，可得截面面積S1=πr2=π（R2-l2）=πR2-πl2. 此處的S1可視為在半徑是R的圓面被挖掉一個半徑是l的同心圓而得出的圓環面積. 然后，取一個底面半徑與高都為R的圓柱，并去掉一個以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點的圓錐，將得到的幾何體和半徑為R的半球置于同一水平面.最后，任意水平面截取這兩個幾何體，得到的截面分別為圓面與圓環面. 由此可得：圓環大圓半徑是R，小圓半徑是l，面積是S2=πR2-πl2，可得S1=S2，據祖暅原理，以上兩個幾何體的體積相等，則有V=πR2R-πR2R=πR3. 因此球的體積V=πR3.

數學作為一門理性學科，理解和思維是數學學習的關鍵詞. 在課堂教學中，只有充分暴露知識的形成過程，才能讓學生生成最真實的體驗，才能真正地理解數學知識，獲取數學知識. 這樣的經歷過程，是一種有效的、必要的體驗，只有當學生獲得了對數學知識的本質理解，學生在應用時才能做到游刃有余[2].

數學理解，從呈現教師的思維過程出發

在課堂教學中，教師不僅需將教材中的思維結果傳授給學生，更需要向學生呈現自身的思維過程，使學生得到啟迪. 教師將自身的思路或是從學生的角度進行思考的過程分析給學生，將自己解決問題時遇到的一系列困惑、難題甚至于失敗暴露給學生，將自身的調整、修正以及一步步走向成功解題的過程演示給學生. 這樣一來，在教師與學生的同步思維中，可以幫助學生正面解決困難，促進對數學問題的本質認識.

案例2：以一道拋物線習題的探究過程為例

問題呈現：一直線過拋物線y2=2px（p>0）的焦點，并與該拋物線相交，兩個交點縱坐標y1，y2，證明：y1y2=-p2.

生（證明過程略）

師：現將條件“過焦點”向“過定點（a，0）”推廣，可得到什么結論？

探究1：一直線過定點（a，0）并與拋物線y2=2px（p>0）相交于縱坐標為y1，y2的兩點，那么y1y2為常數.

因為直線過定點（a，0），設直線方程y=k（x-a），聯立拋物線方程y2=2px（p>0），消掉x后，可得y2-y-2pa=0，所以y1y2=-2pa，即為常數.

探究2：已知拋物線y2=2px（p>0）上的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且有y1y2=k（k為常數），那么直線恒過定點.

設直線AB方程是x=my+a，代入拋物線方程y2=2px，可得y2-2pmy-2pa=0，有y1y2=-2pa. 又y1y2=k，則有k=-2pa，a= -，所以直線恒過定點

教師以教材中的一道習題為載體，有目的地向學生重點暴露變式探究的思維過程，讓學生看到例題、習題的多種變化，讓學生體驗到數學學習的趣味性，讓學生真正參與到知識的生產和發展中來，讓學生牢牢把握思維問題的本質，對知識體系有一個全面認識，讓學生從教師的探索過程中，汲取營養、受到啟示，讓學生真正理解數學、理解知識.

數學理解，從暴露學生的思維過程展開

當然，作為教師，不僅僅需向學生展示自己的思維過程，讓學生獲得深層次的理解，取得思維方法的借鑒，還需善于引導學生暴露自身的思維過程，展示學生問題解決的思維過程，暴露學生解決問題過程中的錯誤. 教師再以“錯”來做文章，讓學生既能找到自身錯誤的根源并糾正，又能在展示中逐步學會探究性學習，并實現再創造等高階思維的培養[3].

很顯然，以上的錯誤源于求解過程中學生忽略了x，y之間的相互制約關系. 教師點撥和誘導學生發現錯誤根源，并與學生一同探究得出正確的解題思路，從而深化了學生的認識.由此得出以下正確解題思路：

讓學生在自編題中實現從理解知識到數學應用的升華

作為一名數學教師，要清楚地指引學生深層次理解數學知識的關鍵步子在哪里. 鼓勵學生多做自編題這種新的探究活動，高起點地吸引學生的注意力，迫使學生轉變被動接受知識的現狀，充分調動學生的學習積極性，激發他們的挑戰和智慧，促發學生更高的求知欲.

例如，在學完“幾何體積公式”這一內容后，筆者會引導學生自編與體積相關的數學問題. 學生們躍躍欲試，形成了多種創編思路，盡管所編題目較為淺顯，有些還略顯“低級”，不過很顯然他們都參與到了積極思考的氛圍中去，有效迫使學生自主回歸知識基礎并完善自身的知識體系，做到了用“自編題”進入數學思維火熱碰撞的殿堂.

總之，數學教學的落腳點是提升學生的數學素養，發展學生的終身學習能力. 因此，教師需轉變傳統教學的思想，真正從學生出發，基于學生視角去演繹教學. 只有這樣，數學教學才能事半功倍，學生火熱的思維才能得到提煉，得以深化，從而不斷提高他們的思維水平.

參考文獻：

[1]? 余業兵，李蓉. 揭示數學概念產生過程，促進數學知識的有序建構——例談高中數學概念教學過程建構[J]. 中小學數學（高中版），2014（06）.

[2]? 袁永春. 注重知識形成過程的初中數學教學案例研究[J]. 中學數學，2019（02）.

[3]? 張昆，張乃達. 暴露數學思維過程的課堂教學研究——透過培養學生數學核心素養的視點[J]. 中學數學，2018（04）.