小學數學知識背景選擇的標準與反思*

吉智深

摘? ? 要?? ?小學數學教材都會給出數學知識的一個或者幾個背景。教師在課堂教學中呈現這些背景，引導學生主動探索，從而讓學生獲取隱藏在背景后的新知識。選擇數學知識背景時必須考慮兩個問題：一是數學知識背景選擇的標準，這是選擇前考慮的問題;二是數學知識背景選擇的反思，這是背景選擇后反思的問題，兩者都要引起教師的重視與研究。

關鍵詞? ?數學知識 數學本質 背景選擇

近年來的小學數學教育教學研究，把主要精力放在教學方法的改進上，卻很少關注并系統研究數學知識背景的選擇問題。事實上，數學知識背景選擇是非常重要的，教師一定要選擇那些能夠揭示數學本質的背景，這是總的要求和目標。那么，數學知識背景選擇有哪些具體標準呢？多種版本數學教材的并存使教師面對同一數學知識背景有了多種選擇。同時，必須研究與反思數學知識背景的實際效果，這兩個問題值得廣大教師認真研究與反思。

一、選擇數學知識背景的標準

數學知識背景的選擇標準首先要從數學的本質特征出發，其次要考慮學生的認知水平與接受能力，最后還要把數學作為一種人類活動這一側面展示出來。

1.現實性

數學知識源于現實生活，并且在日常生活和社會生活中有著廣泛的運用，所以數學知識背景必然離不開現實世界。除法的知識背景是分物，例如把一些物體平均分給一群人;乘法計數原理的背景是加法的簡便運算，例如如果A、B之間有3條道路可走，B、C之間有4條道路可走，那么從A經B到C共有多少不同的走法？數學知識離不開與其相關的生活實踐，當數學知識離開了現實生活，學生離討厭數學學習也就不遠了，所以說數學知識背景的現實性顯得尤其重要。

2.有效性

進行數學化的數學知識背景應具有有效性。學生是數學學習的主體，所選擇的數學知識背景要符合學生的認知水平與接受能力。有些數學知識背景雖然存在于我們的現實世界中，但對學生來說，這些數學知識背景并不在他們的兒童世界里，不能用成人的眼光來考慮這些數學知識背景。例如以銀行利率為背景來說明百分數的應用，這樣的數學知識背景對從未親身存過錢，甚至沒有關注過銀行的小學生來說，可能就不是一個有效的背景。所以，在選擇數學知識背景時，教師必須考慮到小學生的認知水平和接受能力，選擇那些對小學生而言是有效的背景。

3.明確性

數學知識背景的目標要明確，每一個數學知識背景對數學知識都有明確的指引，學生借助知識背景能準確地理解與揭示其中所蘊含的數學知識。如平行線的兩種定義，一種從“不相交”的背景出發，定義為“在同一平面，兩條不相交的直線叫平行線”;另一種從“可畫，可證”的背景出發，定義為“兩直線若同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行”。從學生的接受能力來看，第一種定義很顯然沒有第二種定義明確。再比如，算法所給的知識背景要對學生理解算理有幫助，如果沒有任何幫助，即使學生會計算而不能理解算理，這樣的知識背景也毫無價值。

4.豐富性

同一數學知識可能有許多知識背景，如果只用一個知識背景可能無法體現知識的本質。如認識負數，如果僅僅有溫度的零上與零下，海平面以上與海平面以下，這樣的背景可能無法完全體現負數的本質。事實上，收入與支出、增加與減少、贏與輸、溫度的零上與零下、海拔的高與低、方向的向東與向西等都是意義相反的量，也都是負數的知識背景，教材應借助這些豐富的背景，通過學生主動建構，讓他們更好地理解負數的本質。

二、數學知識背景選擇的反思

不同教材的編寫者對知識背景的理解不同，呈現的知識背景也就不同。在使用這些教材的過程中，我們可以對照數學本質從以下幾個方面反思數學知識背景的選擇問題。

1.實際問題不應成為數學化的唯一來源

新課程改革以來，教材在引入某個數學知識的時候，一般會給出一個實際問題，從實際問題中抽象出數學問題，在解決問題的過程中體現數學的價值。廣大小學數學教師在課前也想方設法設計出一個好的實際問題，從而激發起學生的學習興趣。為什么有人把真實情境當作數學化的唯一來源，這里可能有幾個誤區。一是數學化就是從生活世界出發進行數學化，其實，數學化分為橫向數學化與縱向數學化，橫向數學化就是把生活世界引向符號世界，縱向數學化就是“在符號世界里，符號生成、重塑和被使用，而且是機械地、全面地、互相呼應地;這就是縱向數學化”[1]。二是實際問題情境更能體現數學在生活中有著廣泛的應用，但事實并非如此。除了前面所講的百分數在生活中的應用——“利息”問題，對小學生來說并不真實以外，還有一類例子從另外的角度說明看似真實的問題，在日常生活中卻并不是用數學化的方法來解決的。如：AA制聚餐時，如果每個人平攤的費用不是剛好一樣多時，解決的方法不是通過計算把費用精確到幾角、幾分，而是其中某個人多出一元或幾元就行了。

其實，關于數學與真實性之間的關系，弗賴登塔爾早就有過精辟的論斷。他在《數學教育再探》一書中指出：“真實性是歷史地、文化地、依賴環境地、個別地和主觀地確定的?！彼€舉例說明：“不管經歷多長時間的抵制，……負數、復數以及它們的運算已經成為數學家的事實，……如今它們屬于已經學過一些數學的大多數人的真實性?！盵1] 也就是說，實際不等于真實，只要學過的知識和經驗對學生來說就是真實的，就是學生學習的起點與背景。

2.靜態背景難以反映知識的本質屬性

教材一般都給出一個主題圖，包括生活場景、問題情境等等，作為數學知識背景。這些背景有一個共同的特點就是靜態的，但這些靜態的知識背景是否都能反映知識的本質呢？比如：1～5的認識，對教材編寫，史寧中、王永春等認為，不能用不同類的事物來表示不同的數，而應該用同一種事物動態地演示。獵人打獵，打了5只羊，5只羊排隊進入羊圈，第一只進來了，我們認識1，接著第二只進來了，在1只的基礎上增加了1只，就是2，以此類推。這樣動態的背景可以讓學生理解自然數是一個加一個大起來的，也可以讓學生更好地理解自然數的基數、序數的意義和大小關系。

對負數的認識與理解，張奠宙也強調用動靜結合的方式理解負數的本質。他指出：“以某地的氣溫為例，可以有下列幾種情形：靜態的描述有：今天最高氣溫是18℃，記為+18℃;今天最低氣溫是零下3℃，記為-3℃。動態的描述有：今天最高氣溫比昨天升高5℃，記為+5℃;今天最低氣溫比昨天下降4℃，記為-4℃”、 “靜態的描述便于引出數直線。但是，負數一旦引入了，理解了，在數直線上可以標記了，那么 ‘收入和支出之類模型的動態描述，則是日后方程教學的重點?！盵2]

十進位值制是小學數學低年級學生難于理解的概念之一，這一概念可以借助計算器來形成和強化?？梢宰寣W生觀看計算器上顯示的數字，注意看某一位數出現變化，如果學生在計算器上不斷加1，他們就可以看到每次個位上的數都在變，而十位數變得很慢，通過觀察動態的變化，讓學生有機會討論并解釋產生這些變化的原因，對他們更好地使用和理解十進位值制這一概念是非常有幫助的。

靜態的背景如果不能反映知識的本質，那么就用動態的背景或者動靜結合的方式來體現知識的本質，這樣的例子很多，需要教師在教學過程中認真挖掘與研究。

3.單一背景不能真正支持數學的整體性

課程開發者和教師總想選擇豐富的知識背景，把它們作為數學的起源來教和學，但小學生面對如此豐富的知識背景，會不會被教得暈頭轉向呢？鑒于此，一些數學教材有意無意地選擇知識的單一背景，讓學生進行數學化，很典型的例子就是除法背景的選擇。張奠宙在《教材編寫要注意防止片面的思維定式》一文中指出：“我國的除法教學和教材編寫，都畸形地偏向等分除，而忽視包含除，如果沒有包含除這一除法的背景，學生可能無法理解分數除法”[3]。他在文中進一步指出，這“會讓學生形成片面的思維定式，不利于培養學生分析問題和解決問題的能力”[3]。類似的例子還有，教材為了利用直觀來說清楚算理，把點子圖作為背景貫穿于整數的乘法計算，這看起來好像體現了數的乘法的整體性，但這樣單一的背景卻可能影響學生對十進位值計數法的理解。

鑒于前面的分析，在教學兩位數乘以兩位數時，教師可以直接提出問題：兩位數乘以兩位數，怎樣計算？而不是模式化地先提出一個實際問題。這樣的引入違背了教學設計的一般程序，但這樣的好處是：讓學生利用已有的知識和經驗去建構知識，即使使用表征來說明算理，也不一定總回到點子圖，而應該有更高層次的表征。教學應追求一種理想的境界：讓學生通過縱向數學化將兩位數乘以兩位數的計算轉化為兩位數乘以一位數來解決，而兩位數乘以一位數是轉化為表內乘法來解決的，這才是數學標準算法的核心思想。

弗賴登塔爾指出：“當前已經有不少人對數學教育提出了數學化的要求，但我擔心其結構太狹隘，常常把數學化理解成最低層次的活動……最時髦的提法就是為了現實中某個微小而孤立的片段——所謂‘情境進行數學化。”[4]由此可見，我們不能因為過分注重單一的背景，而忽視了數學知識的內在聯系，應該通過高層次的建構來體現數學的整體性。

4.特殊背景難以準確指向一般性的算理

算理一直是計算教學研究的重點，也是一個難點。特別是分數除法的算理是難點中的難點。不同版本的數學教材給出不同的背景來說明分數除法的算理，但是不是每一個背景都能準確地指向一般性的算理呢？

為什么除以一個分數等于乘以它的倒數，蘇教版教材中出現了“倒果汁”的背景：量杯里有■升果汁，玻璃杯的容量是■升。量杯里的果汁倒入玻璃杯，能倒滿幾杯？■和■兩個分數太特殊，■÷■為什么等于3呢？因為■有9個■，■有3個■。其實這樣的范例是不能準確地說清算理的，最多只能算得上是對算法正確性的一次驗證，對學生理解分數除法的算理幫助不大。

相比較而言，人教版數學教材所給出的背景：小明■小時走了2km，小紅■小時走了■km，誰走得快些？人教版所給出的兩個分數不是同分母的分數，而是同分子的兩個分數相除：■÷■，從這個角度看，人教版的背景更能指向算法的一般性，利用前面2÷■算理的遷移，借助線段圖理解了（■×■）×12=■×■的道理。

要讓學生理解分數除法的算理，是比較困難的，但我們不能因此降低難度，讓所給的背景不具有一般性。恰恰相反，我們要讓學生意識到，從背景中獲取知識要付出艱辛的腦力勞動，在此過程中讓學生研究算理、理解算理，培養他們敢于堅持不懈地解決問題的品格。

總之，教材的編寫與教師的課堂教學要重視數學知識背景的選擇問題，只有選擇那些符合標準的知識背景，并積極開展反思，才能使數學知識背景體現數學的本質，激發學生思考，引導學生從背景中主動地建構新知識。

參考文獻

[1] 弗賴登塔爾.數學教育再探——在中國的訪學[M].劉意竹，楊剛，等，譯.上海：上海教育出版社，1999.

[2] 張奠宙.多多注意數學本質的揭示——剖析“用溫度計引入負數”的優缺點[J].小學教學：數學，2015.（01）.

[3] 張奠宙.教材編寫要注意防止片面的思維定式——評小學數學教材中忽視“包含除”的傾向[J].小學教學：數學，2015（09）.

[4] 弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等，編譯. 上海：上海教育出版社，1995.

[責任編輯：陳國慶]