數形結合

馮少萍

【摘要】“數形結合”是通過結合形象思維與抽象思維的數學思想指導方法，既可把傳統計算數學中的各種算式推理形象化，也可使抽象的現代數學概念直觀形象化，將復雜的數學問題簡單化，從而可以幫助廣大學生更深入地理解學習現代數學，提高學生的數學綜合素質，理解數學理論本質。在數學課堂教學中，教師們還可以根據實際教學情況以“以形助數”“由數解形”以及“數形交替”等具體的教學方法適當開展滲透運用數形結合思想，能有效性地提高小學生的數學思維能力，有利于有效促進小學生思維的健康發展。

【關鍵詞】數形結合;數學思維;數學素養

“數學是研究現實世界中的數量關系和空間形式的科學。”數學教學研究的實驗研究對象大致可以分成兩個主要部分，其中一個內容主要是“形”，另一個是“數”。而“數形結合”的數學本質就是把抽象的數學語言、數量空間關系與直觀的數學幾何圖形概念結合發展起來的一種系統數學理論思想方法。數形結合可以使“數”和“形”可以各施自身所長，互補自身不足，實現抽象思維與形象思維的有機協同綜合運作，從而可以使復雜思維問題簡單化，抽象思維問題形象化。

數形結合在中學數學學習中已經是師生都非常熟悉的數學思想方法了，甚至在小學高年級里解決很多數學問題也是經常會用到。而低年級的小學生在學習數學的過程中，其思維雖然是以形象直觀思維為主的，但其邏輯抽象思維也處于萌芽發育的重要階段中。教師在數學課堂中適時適度地滲透“數形結合”的數學思想，能夠幫助小學生更好地開拓思維，為邏輯思維的發育過程注入了新的營養成分。

在日常的教學過程中，教師在尊重低年級小學生思維發展的客觀規律的前提下，怎么樣才能有意識地滲透“數形結合”的思想方法，從而有效地促進學生發展數學思維呢？

一、以“形”助“數”，變“抽象”為“形象”

數的產生來源于計數，但用來表示“數”的工具卻一系列的“形”。尤其是在數概念的建立、數的運算等內容的教學中，蘊含其中的數形結合的思想方法需要教師有意識地滲透在課堂中。

（一）以“形”助“數”——在圖中培養“數感”

數感是學生數概念學習過程中必須要建立的一種基本素養，也是數學學習的前提和關鍵。而數形結合是培養學生數感的一個非常有效的思想方法，尤其是對于以形象思維為主的小學生，結合圖形來認識數字，才能深刻把握數的本質內涵。

在一年級上冊《認識10》的學習過程中，其中一個教學目標是讓學生對10的概念獲得比較全面的認識和掌握，尤其是突破“1個十是10個一，10個一是1個十”這個知識難點。在課堂上，要通過圖片要讓學生強化認識1根小棒表示“1個一”;1捆小棒表示“1個十”;“1個十”打開就變成“10個一”;“10個一”捆起來就變成了“1個十”這樣有助于幫助學生“1個十”和“10個一”的數感。

二年級下冊的《萬以內數的認識》，教師可以通過利用一個方塊計數模型直觀地繪圖呈現出兩個計數單位和他們相互間的“十進制關系”。方塊這種基于幾何數量形體的直觀視覺形象，幫助小學生從直觀視覺上直接經歷了計數單位的直接產生和單位轉化的整個過程，逐漸初步建立了一起抽象的幾何數量和現實生活中的幾何模型之間的轉化關系。“形”的作為學習的承載體，有效地幫助學生更加有效、深刻地建立了數感。

（二）以“形”助“數”——在圖形中理解“算理”

計算是小學數學教學的重要內容，算法教學過程中不僅需要做到讓學生明白應用算法算理規則的形成過程，也更需要做到讓學生在直觀中正確理解應用算理，對應用算理進行一個整體的深層次的理解，才能有效促進學生對具體應用算法的準確性，從而能夠學會靈活運用算法規則。

二年級上冊學習《兩位數加兩位數》例3（進位加）的過程中，也常常借用小棒模型、計數器模型或者位置圖模型等“形”的具象來刻畫“數”的抽象運算過程，能夠充分突破“個位相加滿十，向十位進1”這個知識難點，從而幫助學生更好理解進位加法的算理。

（三）以“形”助“數”——在圖形中理解“數量關系”

對于以直觀形象思維方式為主的低年級小學生而言，抽象的數學文字語言表述常常可能會成為他們解決數學問題的一大攔路虎。于是，用畫圖的方法來梳理題目中的數量關系，用“形”的方式表示“數量關系”，可以達到“一圖抵百語”的神奇效果。

例題：哥哥今年16歲，弟弟今年10歲，問哥哥要是弟弟這個年齡的時候，弟弟幾歲？

學生在解決這道問題的時候，經常梳理不清哥哥和弟弟年齡之間的數量關系。教師在引導學生理解題意的時候用線段示意圖的方式畫出來，數量的邏輯關系就一目了然，問題也就迎刃而解了。

在小學的數學學習中，“線段示意圖”是非常重要的一種解決問題的工具，它可以形象、直觀地幫助學生解決簡單的實際問題。尤其是在解決有關“和倍、差倍、和差、路程問題、比的應用、分數（百分數）的應用”等問題中都發揮著其他方式無法替代的作用。所以從低年級開始，教師就應有意識地進行適當的滲透，讓學生能夠親身體驗將實際問題抽象成數學模型的過程，最終達到解決數學問題、理解數學本質、開拓數學思維的目的。

三、由“數”解“形”，變“繁瑣”為“簡潔”

“形”雖然具有直觀化、形象化的優勢，但也有其粗略、和不便于表達的劣勢。如果加以簡潔的數學描述、形式化的數學模型來表達“形”的特性，就能更全方位地展現數學抽象化與邏輯化的魅力。

例：數線段的問題：

要數清楚上圖有多少條線段，可以用畫“彩虹線”（左圖）的方法有序地把所有線段畫出來，然后再數數。但是隨著數量的增加，圖就會越畫越混亂，很難數清楚線段的數量。

可見直接畫圖數數有一定的局限性。但如果教師在講完畫圖的方法后，引導學生歸納總結方法，用“標數字再相加”（右圖）的方法來解決，就顯得簡潔明了，而且有利于學生發展邏輯思維能力。

以此類推，數“不共線”的線段，數角等類似的問題也可以用同樣的方法來歸納解決。除此之外，數“三角形”，數“長方形”，數“正方形”的問題也是一樣的方法：那就是以恰當的數量關系來表達圖形中隱含的信息，將幾何問題代數化。

四、“數”“形”交替，變“糊涂”為“靈活”

數形結合的思想可以有效使抽象的復雜數學問題直觀形象化，使繁難的復雜數學解決問題內容簡潔化，進而盡可能有效啟發中小學生抽象思維的橫向發展。“數”“形”交替是指在解決難題的時候，可以將題目內容中的各種數量空間關系首先用“形”的方式表現出來，然后再慢慢利用“形”來將抽象的“數”關系變得直觀具體，最后對“形”關系進行仔細觀察、分析和邏輯聯想，把圖形翻譯成代數算式，從而幫助學生準確地解決問題。

例如，排隊問題：聰明班的同學在排隊買票，從前面數聰聰是第8個，從后面數聰聰是第10個，一共有多少個同學在排隊？

許多學生對聰聰的位置如何算進人數里弄不明白，就很容易出現錯誤。如果教師能夠引導學生用圖形來表述題目的意思，從“形”中分析邏輯關系和數量關系，就能列出準確的算式，就可以幫助學生從糊涂混亂的數學困惑中變得清晰明了。

如果學生從低年級起，教師就能幫助他在日常學習中持續自然地“引入輸出”這種滲透數形結合的發散數學多維思想，學生就能夠得到有效的數學思維的發散訓練。在這樣有效的思維培養下，學生進入高年級后解題思路會慢慢得以拓寬，解題方法也會靈活多樣。

例：計算：

如果只看算式進行解答，大部分學生可能會受思維定勢的影響，采用通分的方式進行計算：

為了幫助學生克服思維定勢，教師可以引導學生畫出圖形，然后通過圖形來分析。圖中的正方形表示“1”，要求的式子的和就是正方形涂色部分的大小。當結合圖形分析后，學生就能在直觀圖形的啟發下，一目了然地體會到“涂色部分的大小就等于1減空白部分的差”。

主動解決上述問題的學習過程中，學生真實經歷了“數—形—數”的數學認識深化過程，獲得了比較優化的數學解題技巧方法。這樣數形交替的思想方法啟發了學生從新的角度去思考數學問題，可以有效跳出學生思維不確定式的限制局限，從而有效促進學生學習思維的整體靈活性和學習思維的創造性。

數學思想方法是數學學科教學的基本精髓，是引導學生將基礎知識能力轉化到成為綜合能力的很重要的一條思想紐帶。對于學生來說，從感悟數形結合思想方法，到理解數形結合思想，再到嘗試聯系數形結合思想，再到自覺地運用數形結合思想，掌握數形結合思想是一個長期積累、反復訓練的過程。

在小學數學的日常教學中，教師要積極引導中小學生通過各種方法溝通理解“數”與“形”的密切聯系，同時鼓勵學生積極使用多種表征去解決數學問題，真正培養小學生在解決問題中有意識地運用數形結合思想，使學生從中深刻感悟數形轉化結合的思想，并能夠有創造性地學會運用數形結合思想方法解決實際問題。“數形結合”是小學生數學思維發展的助推器，真可謂是名副其實。

參考文獻：

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[2]吳存明.小學數學教學問題與對策[M].北京：中國輕工業出版社.

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