數學思維何以“進階”

陳莉瓊

摘要：數學課堂是鍛煉學生思維、培養學生良好思維習慣的主陣地。為了幫助學生“窮盡思維可能”，提倡讓學生的思維“進階”。對《解決問題的策略——列舉》第一課時的教學，從不同的學生創造相同的信息、不同的學生創造不同的信息、同一個學生創造不同的信息三個思維層次來觀察課堂并反思課堂。

關鍵詞：數學思維 思維進階 課堂觀察 列舉策略

一、主題解讀

數學課堂是鍛煉學生思維、培養學生良好思維習慣的主陣地。目前，大部分學生在思考數學問題時比較片面或者浮于表面，缺乏全面、深入探究的學習品質，影響了數學學習的效率。為了幫助學生“窮盡思維可能”，我們提倡讓學生的思維“進階”，即讓學生全方位、完整地思考數學問題，形成良好的思維習慣，增強思維品質，提高學習能力。思維有無限可能，并且受年齡、知識、學習習慣等因素的影響，是很難達到“高階”的。但是，我們可以此為目標，盡可能動用各種教學方式，讓學生的思維不斷“進階”。

帶著對這份“進階”的渴望，我校數學組對蘇教版小學數學五年級上冊《解決問題的策略——列舉》單元進行了教學設計，并觀察了陳怡老師執教的第一課時。

二、觀察與分析

第一課時，我們整合、改編了教材的兩道例題和一道“練一練”，設計了兩大評價任務。

學習目標如下：

1.在解決問題的過程中，掌握列舉的方法。

2.會用合適的方式列舉解決實際問題，做到思考有序，列舉現象不重復、不遺漏。

評價任務如下：

1.對例題1，知道怎樣有序列舉。（匹配學習目標1）

2.對例題2和其后的“練一練”，做到有序列舉，不重復、不遺漏。（匹配學習目標2）

評價任務簡約而不簡單。讓學生的思考做到“有序、不重復、不遺漏”，不是一蹴而就的，而是思維不斷完善的過程。因此，我們從以下三個思維層次來觀察：

（一）不同的學生創造相同的信息

第一個評價任務具體展開如下：

王大叔用22根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？

（1）你知道“用22根1米長的木條圍一個長方形花圃”的意思嗎？要知道“怎樣圍面積最大”，先要知道什么？想一想，想好了說給你的同桌聽一聽，同桌同意你的想法嗎？

（2）你打算怎樣解決這個問題？請選擇文字、算式、列表或畫圖等你認為合適的方式表示出來。

（3）同桌互相說一說解決問題的過程，比一比誰的“一一列舉”能做到不重復、不遺漏。你們是怎么做到的？

（4）怎樣一步一步說清楚？做好上臺發言的準備。

這個任務的目的是讓學生通過探索做到有序列舉，不重復、不遺漏。這是一個嘗試的過程。所以，陳老師通過與學生對答的形式，用了4分多鐘的時間來引導學生回答第一個問題，師生共同得出：長與寬的和是11米。接著，放手讓學生開始第二個問題和第三個問題的探索。在探索的過程中，我觀察的小組有這樣一段對話：

（生1對第一個問題還存在疑慮，遲遲沒有下筆解決第二個問題。此時，生2發聲。）

生2長與寬之和是11米，也就是11可以分成幾和幾。

生1哦！我知道了。

生3那要重復嗎？

生2剛才10的分與合是重復的。

完成這樣的對話后，三位小組成員各自解決第二個問題。觀察發現：兩位學生在思考與交流中創造了學習信息——進行有序的列舉，并且不遺漏;一位學生通過自我思考，舍去了重復的情況。之后，通過整班交流，個別學生修改了自己的學習信息，把重復的情況舍去了。陳老師再次明確目標：有序、不重復、不遺漏。

（二）不同的學生創造不同的信息

明確了上述列舉目標后，如何讓學生的思維更上一層樓，讓學生進行方法的“再創造”？陳老師出示了第二個評價任務的第一個子任務：

學校舉行足球賽，有4支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要安排多少場？

（1）根據條件和問題，你能想到什么？

（2）你打算怎樣解決這個問題？請選擇用文字、算式、列表或畫圖等方式，在下面的方框里表示出來。

（3）與同桌說一說你解決問題的過程，問一問同桌有“友情提示”嗎？

這個任務旨在讓學生通過自己的方法做到有序、不重復、不遺漏。陳老師引導學生圍繞“每兩支球隊比賽一場”的信息開展小組交流和全班交流，共用了約2.5分鐘。我觀察的小組有兩位學生下筆解決問題，但是有一位學生不知從何下手，是在另一位學生的分析下，理解了“每兩支球隊比賽一場”的含義的。從學生呈現的學習信息中，我們發現：學生用不同的方式展現了自己的思維過程，如文字加算式、畫圖、列舉組合等，并且都做到了有序、不重復、不遺漏。顯然，學生在這個任務中完善了自己的思維，并且有自我的創新，實現了不同學生創造不同的信息。

（三）同一個學生創造不同的信息

本節課更高階的思維內容是用不同的方法來完成同一個任務。這給學生的思維增加了難度，他們必須在掌握基本技能后有更多的創新。這也給教師的任務設計增加了難度。陳老師出示第二個評價任務的第二個子任務：

小強、小華和小麗是好朋友，六一兒童節他們互相寄了一張賀卡，你知道他們一共寄了多少張賀卡嗎？

（1）想一想，“他們互相寄了一張賀卡”是怎樣的情景？

（2）怎樣解決這個問題呢？繼續選擇用文字、算式、列表或畫圖等方式，在下面的方框里表示出來。

（3）與同桌說一說你解決問題的過程，比一比誰能更有效地解決問題。

同樣地，第一個問題也是通過小組交流與全班交流回答的，共用了約1.5分鐘。這次，我觀察的小組沒有組員提問，都直接下筆完成。從學生填寫信息的變化中，我們看出：學生的思維確實在不斷地完善，能靈活運用自己的方式來解決問題，但跟上一個任務比，思維水平沒有明顯提高，還是沿用了之前的思維方式。

三、基于思維“進階”的思考

（一）任務設計要能促進學生深度思考

要讓學生“窮盡思維可能”，任務設計非常重要。任務要有內容、有層次、有值得思考及討論的問題。任務中的問題要能夠結合真實的生活情境，有效利用學生的生活經驗和前概念，激發學生的學習興趣，促進學生積極思考，進而發展學生的數學思維能力。本節課中，陳老師設計的任務是有內容、有層次、有值得思考及討論的問題的，依托學生已有的關于周長和面積的知識及關于圍欄的生活經驗。因此，在活動中，學生能夠思考、討論。在討論、交流中，我們看到，學生的思維有了不同的提升。而在第二個任務的第二個子任務中，我們想要看到的第三個思維層次“同一個學生創造不同的信息”沒有出現。這不是因為學生的思維沒有提升，而是因為設計的任務沒有“加料”。如果增添第四個問題“你能用不同的方法來解決這個問題嗎？”，或許，我們想要看到的思維層次便會出現。任務設計需要加入讓學生“咀嚼”的“料”，并且在分析學情及掌握學生思維能力的前提下設計這些“料”。這樣，才能“窮盡思維可能”。

（二）任務實施要能催生學生思維生長

有了可行的評價任務，實施任務也很重要。教師如何組織學生完成任務是一個技術活。教師要讓學生去思考，并且會思考，必須舍得放手，而不是扶著學生。“一問一答”的引導方式不能促進學生思維的發展，只會使學生的思維產生依賴性。這堂課中，每一個任務的第一個問題都是陳老師帶領學生思考，沒有真正放手讓學生自己去發現關鍵信息，這就會讓學生養成思維的“依賴性”。如果我們把整個任務都拋給學生，讓學生自己去發現、去分析。即使分析錯了，學生至少經歷了“獨立思考”的過程。所以，要讓學生窮盡思維可能，教師在實施任務時就要盡量少“一問一答”，多放手。