基于圖形計算器開展高中數(shù)學(xué)實驗探索

李峰 高學(xué)

摘? 要 圖形計算器被稱為移動的數(shù)學(xué)實驗室，為學(xué)生動手操作實驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提供了極大的便利。從教學(xué)實踐出發(fā)，對基于圖形計算器的高中數(shù)學(xué)實驗進(jìn)行探索，以期為一線教學(xué)提供參考和幫助。

關(guān)鍵詞 圖形計算器;高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實驗;核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）07-0123-03

1 前言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，學(xué)生需要具備六大核心素養(yǎng)，分別是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)運算、直觀想象。圖形計算器的出現(xiàn)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)提供了保障。借助圖形計算器，學(xué)生可以自主進(jìn)行觀察、操作、分析、比較。為此，在今后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有必要對基于圖形計算器開展數(shù)學(xué)實驗進(jìn)行更加深入的探索。

2 基于圖形計算器的曲邊圖形面積實驗

“曲邊圖形面積”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較有代表性的數(shù)學(xué)實驗。在這一數(shù)學(xué)實驗中，圖形計算器的運用，可為學(xué)生的實驗學(xué)習(xí)創(chuàng)造便利。筆者舉這樣一個例子：

向長方形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機撒N粒豆子（假設(shè)每一粒豆子都可以落到長方形區(qū)域內(nèi)。同時，陰影區(qū)域內(nèi)豆子數(shù)只與區(qū)域大小有關(guān)，與區(qū)域位置形狀無關(guān)），試問如何求概率P？具體詳見圖1。

在面對這一問題時，學(xué)生很容易想到用豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的頻率表示概率，這樣這一實驗問題就被轉(zhuǎn)換為“如何求豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的頻率”。此時學(xué)生就會有這樣的猜想，即通過“撒豆子”實驗，通過對實驗數(shù)據(jù)的記錄，將頻率“數(shù)出來”。但是很顯然，這一實驗操作是存在一定困難的，不僅操作過程煩瑣，還容易出現(xiàn)記錄錯誤問題。此時，圖形計算器就成為學(xué)生實驗中可借助的工具。

如在筆者執(zhí)教的班級中，通過學(xué)生之間的相互討論合作，做出基于圖形計算器的“曲邊圖形面積”實驗方案設(shè)計：

1）借助圖形計算器工具，在[-1，1]和[0，1]區(qū)域之間，選取兩個隨機數(shù)A和B，并構(gòu)建坐標(biāo)點（A，B）代替實驗操作中的豆子;

2）若是選取的點（A，B）滿足A2≤B的實驗條件，就表示撒落的豆子落到了陰影區(qū)域內(nèi);

3）在完成操作“撒落N個豆子”的實驗過程中，統(tǒng)計落在陰影區(qū)域中的豆子數(shù)，并將其記做K;

4）使用落在陰影區(qū)域內(nèi)的“豆子”的頻率作為概率，通過K/N≈S陰影/S矩形ABCD，從而得出關(guān)系式S陰影≈K/N×S矩形ABCD=2K/N[1]。

上述提及的問題被學(xué)生圓滿解決。但由于這一實驗操作還存在一定的困難，為此在實驗教學(xué)過程中，教師可以對學(xué)生做進(jìn)一步的引導(dǎo)，讓學(xué)生試想還有沒有更為簡單的實驗方法并大膽提出來。通過深入思考，又有學(xué)生提出實驗方案，具體流程步驟如下。

1）由于圖形計算器工具可直接產(chǎn)生[0，1]區(qū)域隨機數(shù)，這樣就可以將原圖的陰影面積轉(zhuǎn)化為圖2陰影面積乘以2。

2）利用圖形計算器工具圖形繪制功能，就可以對正方形ABEO和落在區(qū)域陰影面積的點（A，O）進(jìn)行繪制，從而使“撒落N個豆子”的實驗過程變得更加形象直觀。

3）利用圖形計算器工具中的內(nèi)部程序模式，將上述提及的步驟方案編制成特定的程序，這樣圖形計算器工具就可以進(jìn)行自動化的實驗操作，具體如圖3所示。

通過上述實驗，學(xué)生可以得出幾種結(jié)論。

1）當(dāng)豆子數(shù)N為500時，程序結(jié)果為陰影部分面積的估計值（即x=1，y=x2圍成的面積），這樣當(dāng)N被不斷放大時，面積的近似值就會無限接近4/3，由此就可以得出：

2）在本實驗中，若是將預(yù)先的實驗條件A2≤B改為A2=B，圖形計算器結(jié)果則顯示S=0，而這就表示當(dāng)豆子落在曲線y=x2方程的第一象限時，概率的近似值為0，但這并不表示豆子不會落在這一曲線上，因此可以說明概率為0的事件不一定是不可能事件。

3）通過這一實驗操作，學(xué)生還會得到這樣的啟示：通過幾何概型、隨機模擬的方式，可以對近似不規(guī)則的曲線圖形面積進(jìn)行計算。借助圖形計算器工具，使復(fù)雜的“曲線圖形面積”計算變得簡單，彰顯出圖形計算器在高中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中的應(yīng)用價值。

3 基于圖形計算器的概率實驗

概率是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的重要數(shù)學(xué)知識，為更好地幫助學(xué)生加深對概率知識的理解，實驗操作是不可或缺的。而與概率有關(guān)的數(shù)學(xué)實驗就可以利用圖形計算器開展。以探究班級中學(xué)生兩人生日在同一天的概率為例，在實驗開展前，教師可以通過導(dǎo)入：“我們班有50名學(xué)生，老師相信你們其中一定有至少兩人生日是同一天的。”很多學(xué)生表示不相信，認(rèn)為這樣的概率非常小。而此時教師就可以趁機引導(dǎo)學(xué)生：愿不愿意通過實驗操作的方式，否定老師提出的想法？此時學(xué)生實驗學(xué)習(xí)探究的積極性被調(diào)動，并積極踴躍地參與到實驗探究中來。

在班級學(xué)生探究思考過程中，有學(xué)生提出這樣的想法：“班級同學(xué)生日的結(jié)果是有限的，可在任何一天，因此，這一實驗問題符合古典概型條件，可將其視作古典概型問題。”在這一猜想下，就有學(xué)生進(jìn)一步指出可采用投硬幣的實驗方式，去進(jìn)行班級中學(xué)生兩人生日在同一天的概率實驗。如可以進(jìn)行數(shù)據(jù)調(diào)查，把班級學(xué)生的生日都統(tǒng)計一遍，就可以得到該事件發(fā)生的頻率。這樣的實驗方案的確是可行的，但問題是操作較為麻煩。對此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生：是否可以使用圖形計算器設(shè)計更為簡單的實驗方案？在這樣的引導(dǎo)下，就有學(xué)生做出實驗設(shè)計，具體步驟如下。

1）將[1，365]作為N個隨機數(shù)的產(chǎn)生區(qū)間，并以此代表班級所有學(xué)生的生日。

2）在N個隨機數(shù)中，若是有相鄰的兩個數(shù)相同，那么就表示班級之中有至少兩個學(xué)生的生日是相同的，這樣就可以驗證實驗的猜想，并將其記為K+1。

3）使用圖形計算器重復(fù)進(jìn)行這樣的實驗操作M次，最后記錄實驗成功的次數(shù)K，并與實驗操作次數(shù)M進(jìn)行比值計算，所得到的最終數(shù)據(jù)就為班級中學(xué)生兩人生日在同一天的概率。

利用圖形計算器工具中的內(nèi)部程序模式，將上述提及的步驟方案編制成特定的程序，這樣圖形計算器工具就可以進(jìn)行自動化實驗操作，具體如圖4所示。

而通過上述實驗，學(xué)生可以得出以下結(jié)論。

1）假設(shè)該實驗進(jìn)行200次操作，即M=200，圖形計算器顯示結(jié)果，若是一個班級中的學(xué)生人數(shù)超過24人，班級中學(xué)生兩人生日在同一天的概率要超過此次事件不可能發(fā)生的概率;而若是班級中的學(xué)生人數(shù)超出40人，則此事件的發(fā)生概率有90%的可能;而若是班級中的學(xué)生人數(shù)超過50人，那么這一事件則一定可能發(fā)生，因此，教師所作出的假設(shè)猜想是對的。

2）實驗操作次數(shù)M不斷增加，事件發(fā)生的頻率就會越趨近于概率，其中P=。

4 基于圖形計算器的割圓術(shù)驗證實驗

割圓術(shù)是中國古代數(shù)學(xué)家提出的一種求圓周率的猜想算法，最早是由魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽提出的（公元263年），主要是通過圓內(nèi)接正六邊形的方式，無限地進(jìn)行分割，從而最大限度地趨于接近圓的面積，這樣就可以獲得圓周率。其后，南北朝時期著名數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步對割圓術(shù)進(jìn)行研究，并將圓周率精確到小數(shù)點后七位，而這一演算結(jié)果是早于歐洲的，足以證明我國古代數(shù)學(xué)家的智慧[2]。

在古代，由于條件的限制，割圓術(shù)還只是一種猜想;但在當(dāng)下，尤其是隨著圖形計算器的出現(xiàn)，只需要輸入相關(guān)的數(shù)據(jù)，就可以進(jìn)行自動化的分割操作。這為數(shù)學(xué)實驗教學(xué)創(chuàng)造了極大的便利，同時可以進(jìn)一步幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)文化價值，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到有效培養(yǎng)。筆者在執(zhí)教過程中就曾從割圓術(shù)出發(fā)，為學(xué)生布置相關(guān)的實驗任務(wù)，并引導(dǎo)學(xué)生使用圖形計算器工具探索解決。

然后，教師可以帶領(lǐng)全體學(xué)生對π的數(shù)學(xué)模型計算公式進(jìn)行分析，并使用循環(huán)的術(shù)語進(jìn)行表達(dá)，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)割圓術(shù)計算的是圓內(nèi)接正六邊形、內(nèi)接正十二邊形……內(nèi)接正n邊形可表示為6×2N。然后利用圖形計算器工具中的內(nèi)部程序模式，將上述提及的步驟方案編制成特定的程序，就可以得到最終的實驗結(jié)果，具體如圖6所示。

而通過上述實驗，學(xué)生可以得出如下結(jié)論。

1）當(dāng)設(shè)定N=5時，圓內(nèi)接正多邊形數(shù)可達(dá)到192，這樣可以得到π=3.14，就得到數(shù)學(xué)家劉徽得出的計算結(jié)果，即“徽率”。而當(dāng)圓內(nèi)正接多邊形達(dá)到24 576時，就可以得到π=3.141 592 6，這是祖沖之計算出的圓周率。現(xiàn)下使用圖形計算器，很輕松地得出這樣的計算結(jié)果，但是早在千百年前，在計算工具極為簡陋的情況下，我國的數(shù)學(xué)家可以得到這樣的計算結(jié)果，體現(xiàn)了我國古代先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平。

2）當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形無限逼近于圓的面積時，圓的外接多邊形的周長也越趨于圓的周長，而這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的窮竭法。借助圖形計算器，對割圓術(shù)與窮竭法進(jìn)行比較，是中外數(shù)學(xué)文化研究智慧碰撞的體現(xiàn)。

5 結(jié)語

圖形計算器在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用是教學(xué)現(xiàn)代化的重要體現(xiàn)，符合課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合”的要求。學(xué)生在手持使用圖形計算器的過程中，在做中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，這就為教學(xué)效率的提升及學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)發(fā)展提供了保障。為此，在今后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)對基于圖形計算器的數(shù)學(xué)實驗開展進(jìn)行深入探索。

參考文獻(xiàn)

[1]高鵬，李師師，常磊.基于圖形計算器開展高中數(shù)學(xué)實驗探索[J].中國數(shù)學(xué)教育：高中版，2019（1）：11-14.

[2]陸高平.利用圖形計算器開展數(shù)學(xué)實驗的實踐探索[J].數(shù)學(xué)之友，2016（8）：69-70.