讓學生在反思經歷中學會考究“思考”

【關鍵詞】反思經歷;考究思考;分數除法;數學思維

【背景】

杜威說：“我們不是從經歷中學習，而是從反思經歷中學習。”“讓學生在反思經歷中學習”是全景式數學教育編織思考力培養(yǎng)課程和實施思考力培養(yǎng)活動的重要方式和路徑。筆者在臺灣和第七屆中國教育創(chuàng)新年會上執(zhí)教的“分數除法”，就是一節(jié)讓學生在反思“思考經歷”中學習的典型范式。在教學中，筆者期望學生在自主探索、創(chuàng)新多樣算法的同時，著重回味、反思每一種新創(chuàng)算法的經歷，琢磨“它”到底是怎樣一步步想出來的，啟迪學生“思維的自我認知”，讓學生逐步學會洞察自己和他人的思考機制、思考流程、思考方法、思考規(guī)律。長此以往，學生就能養(yǎng)成自覺從反思經歷中學習的意識和習慣，養(yǎng)成自覺關注、重視思考機制、思考過程、思考方法、思考規(guī)律的意識和習慣，學會思考“思考”、考究“思考”，學會更好地獨立思考。同時，在不一樣的方法和思考中，看見更多的個性，產生更多的碰撞。而這，也正是讓學生的思維趨向多元、趨向完整、趨向深刻、趨向靈活、趨向批判不可或缺的重要磁場與路徑。下面，筆者把這節(jié)課的教學實錄以及相關思考簡述如下，敬請大家指正。

【教學過程】

一、奇算暖場

播放用十指直接掰“□□×9”的方法（□□的個位>十位）（詳見“全景式數學”微信公眾號“張宏偉老師陪你玩數學——數學手指游戲”系列https：//mp.weixin.qq.com/s/xyUP28cOmPbneh JYZPwIMA）。

學生大呼神奇，倍感驚異，原來兩位數乘9還可以這樣算。

師：很多數學知識都像這樣，背后隱藏著很神奇的秘密。

二、原態(tài)計算

生（出奇地一致）：簡單！

師：把大家都認為很簡單的事情做出不一樣來，是很不簡單、很了不起的事情。你能用5種以上不同的方法計算它嗎？

生（非常意外、異口同聲）：??？

師：只要你想盡一切辦法去做，大膽嘗試，你一定能！

三、另類計算

學生獨立嘗試，教師巡視，很快采集到了5種不同的算法。

師：少數學生研究出5種新算法后，就停止了嘗試和思考。2020年11月7日，我在臺灣上這節(jié)課時，全班的算法超過了7種！

一些研究出5種算法的學生又開始了新的探索，之后小組交流。

四、考究“思考”

師：我非常激動、非常自豪！你們又創(chuàng)造出了7種算法，加上剛才的1種，一共8種，太了不起了！想不想把這7種新算法都欣賞欣賞？

生：想！

師（一一板書7種方法）：比這些算法更重要的，是你要試著思考“思考”（板書），也就是看透每一種解法人家（自己）是如何一步步思考出來的，嘗試看見每一步觸發(fā)思考的節(jié)點，看見如何鏈接已有的知識和經驗，看見思考的流程、機制和規(guī)律，這是學習中最重要的事情。因為我們不是從經歷中學習，而是從反思經歷中學習（板書）。下面，我們先一起來反思“以童宇成同學為代表的算的經歷”，研究他們是如何一步步思考出這種算法的。

生：我猜他是看到分數想到了小數，就想，能不能把分數除法變成小數除法。

師：這種方法是由“分數÷分數”中的誰下手開啟思考的？

生：分數。

師：由分數聯(lián)想到小數，需要搜索、聯(lián)想學過的哪個知識，才能實現(xiàn)從分數→小數呢？

生：分數和小數互化，用分子除以分母，就變成了小數。

教師相機板書這種算法的思維流程和觸發(fā)機制：分數→小數→怎么變→子÷母→小數除法。

生：我猜她也是從分數下手，看見分數想到整數，然后想“怎么變成整數，商又不變呢？”，就用被除數和除數同時乘相同的數。

師：真好！0要除外。這是聯(lián)想學過的哪個知識點來解決的？

生：商不變的性質。

教師讓馬東籬自己說一遍自己是怎么一步步把這個想法想出來的，并板書：分數→整數→怎么變→利用商不變的性質→整數除法。

學生在討論中理清了曹同學的思維流程和觸發(fā)機制：分數→整數→怎么變→利用分數和除法的關系→分數就是整數除以整數→再利用學過的運算定律→整數除法。

引導學生對比：同樣是把分數除法變成整數除法，馬氏算法和曹氏算法在哪個思考節(jié)點上不同，為什么會產生這樣的不同？

生1：因為前面做出了結果是32，反過來看除法式子，發(fā)現(xiàn)用分子9除以分子3正好等于3，用分母10除以分母5等于2，所以就想用分子除以分子作分子，用分母除以分母作分母。

師：把已知的正確結果放回原題中，去尋找它們的關系和規(guī)律，這是一種非常棒的研究方法，叫“執(zhí)果索因”。還有不同的猜想嗎？

生2：我看到分數除以分數想起了分數乘以分數的算法“分子乘分子作分子，分母除以分母作分母”，順著這個思路，我就想是不是除法就是“分子除以分子作分子，分母除以分母作分母”，我一試，真的行。

師：這種算法與前面三種算法下手的點一樣嗎？

生：不一樣，他們是從“分數”下手，劉雨鑫是從“÷”下手……

教師板書：從除法下手，除法→乘法→乘法算法：子×子作子、母×母作母→除法：子÷子作子、母÷母作母。

生2：我想除法和乘法的意思是相反的，那么它們算的方法也應該是相反的，乘法是分子乘分子，現(xiàn)在分子不去乘分子了，反過來去乘分母作分子;分母也不去乘分母作分母了，反過來去乘分子作分母。

童宇成不住地點頭，說自己就是這樣想的。

六、驗證——從具體到一般、從歸納到演繹

師：我們研究出了11種算法，基本上搞明白了它們是怎樣一步步思考出來的，還分析了它們的共同點與聯(lián)系，到這里可以停止了嗎？

生：不能。

師：那下一步要做什么？（生茫然）這道題的確可以用小數計算，可是……

學生先后想到：（1）分數如果不能化成有限小數時，這種方法就不能用了;（2）這種方法不能做所有的分數除法;（3）這些方法都要驗證，看看是不是適用于所有的分數除法;（4）“子÷子作子”“母÷母作母”，只有分子、分母都能整除時才能用，而且簡便，但是，當分子、分母不能整除時不能用。

師：太棒了！不同的分數除法各有更適合自己的算法。我們要根據具體情況靈活選擇更合適的方法來解決。那么，這些方法到底怎么來驗證呢？

生：多舉一些例子！

師：舉例法是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律常用的方法，但是一些分數除法能用，并不能代表所有的分數除法都能用。想一想，在數學里，什么可以代替、代表所有的數？

生：字母！用字母來證明！

于是，師生一起完成了證明（如圖1，a、b、c、d 都不等于0）。

學生從上文所述的8（1）算法、8（3）算法、方程算法中自選其一嘗試用字母證明，因篇幅有限，這里僅分享學生對8（1）算法的證明（如圖2，a、b、c、d 都不等于0）。

七、第二次整體回顧——覺醒自己的改變

師：和上課之前相比，你的思想認識發(fā)生了哪些改變？有了哪些新的感受或感慨？

學生反饋如下：（1）我原來以為分數除以分數只有乘除數的倒數這一種算法，沒想到竟然有這么多種算法;（2）我知道了要思考“思考”，知道了怎么一步步去思考;（3）不僅要學別人怎么做題，更要學別人怎么思考……

【課程創(chuàng)生的價值和意義】

本節(jié)課教學，除了開篇提到的嘗試啟迪學生“思維的自我認知”，讓他們學會“在反思經歷中學習”，學會考究自己和他人如何思考，學會更好地獨立思考，鞏固、打通、提升分數除法的知識和技能，筆者還試圖達成以下幾項更重要、更深層的目標：其一，為學生打開更多的窗。讓學生看見通常學習中很多“沒看見”的東西——看見更多思考、更多方法、更多可能、更多驚奇;看見打通、印證、殊途同歸;看見更多聯(lián)系、更豐富多彩的數學世界，進一步開闊學生的視野，激發(fā)他們對數學學習的興趣、信心和好奇心。其二，高年級要延續(xù)歸納能力的培養(yǎng)，更要注重演繹能力的培養(yǎng)（后面的字母證明就是），讓學生不僅看見歸納的數學，更看見演繹的數學。其三，拋磚引玉。數學教學實質上是數學思維活動的教學。筆者希望大家在日常教學中能像“分數除法”這節(jié)課一樣，在教每一項內容、上每一節(jié)課甚至做每一道題時，都能明晰：它培養(yǎng)學生數學思考的課程價值到底是什么？它能給學生的思考力帶來哪些增量？即它能在豐富思維方法、改善思維方式、啟迪“思維的自我認知”等方面提供哪些支撐？為學生的思維成長做出哪些貢獻？……努力把數學學習的重心從過度注重數學知識技能的獲取，更多地轉移、回歸、聚焦到數學思考能力的系統(tǒng)培養(yǎng)上，啟生心智，開其慧根，使數學知識的教學轉變?yōu)閱⒌蠑祵W智慧的教育。